1、Boundary Element Method1第一章 緒 論工程中邊界元法 邊界積分方程離散法當代三大數值解法之一2邊界元法特征奇異降維數值解法2階微分方程轉換邊界積分方程降維 降階奇異矩陣非對稱 滿陣3邊界元法發展史始于1978年Brebbia 1 C. A.等（英國南安普敦大學）邊界元法的基礎和應用躋身于當代計算力學數值解析理論與工具（有限差分法、有限元法、邊界元法）之林4應用領域土木建筑工程機械工程海洋工程航天工程環境工程強、弱電工程生物工程推動各工程理論解析和創新技術的發展發揮了巨大作用51.簡史邊界元法有了迅速的發展（高性能、大容量微機出現）大型和非線性科學工程結構靜力學裂紋的生成

2、及擴展流體運動骨骼生長接觸問題等研究領域6國內簡史在國內，1978年起步杜慶華院士率先推動工程中邊界元法馮康、胡海昌、何廣乾院士等加入到邊界元法的研究者行列我國邊界元法研究得到了迅速的發展7研究起點和熱點我國大部分工程中邊界元法固體力學方面開始后迅速轉入非線性問題領域出版自然邊界元法19938彈塑性BEM彈塑性問題的邊界元法Swedlow Cruse 和Mendelson上世紀70年代初分別給出二維彈塑性問題的邊界積分方程Mukherje和Kumar提出平面問題公式中的錯誤并作了修正Tells和Brebbia給出了邊界應力的計算方法和奇異積分的數值處理方案。岑章志博士采用初應力形式給出三維彈塑

3、性問題邊界元法，取得奇異積分的計算法及加速收斂方法9彈塑性BEM陳政清博士給出彈塑性大變形邊界元法完成了拉伸試件頸縮定量數值模擬肖宏博士建立三維彈塑性有限形變邊界元法和軋制過程模擬邊界元法源程序給出板帶軋制過程變形面力應力場很好的處理奇異問題10規模局限性典型邊界元法計算結構（邊界積分方程影響系數數值積分矩陣方程及消去法求解）局限性系數積分計算和方程組的求解時間長，占用大量的計算機內存和主機CPU的時間抵消邊界元法降維特性對單一三維彈性體靜力學問題，當離散網格節點數超過2000時，因計算時間過長而失去可行性工程接觸問題的矛盾更加突出，如果再疊加彈塑性和摩擦非線性，在微機上將無法得到收斂解11研

4、究熱點與方向邊界元法發展至關重要問題擴大運算規模提高計算效率普遍注意到邊界元法求解過程運算量主要集中在兩個方面影響系數計算和方程組求解法 1）分域法2）網絡并行法3）多極展開法122. 多極邊界元法多極展開法（Fast Multipole Methods，簡稱FMM方法）求和項的近似計算方法計算的近似程度和展開的項數密切相關直接計算的計算量和n2成正比上世紀80年代后期Greengard等 提出快速多極展開法，基于球諧函數在空間中的多級展開，采用遞歸算法結構使計算量級降為一階1999年底 清華大學的姚振漢教授在國內介紹了多極展開法在邊界元法的應用 13多極展開法FMM法來源于計算電荷集中各個電

5、荷間相互作用力的方法，如二維靜電模等離子體粒子模擬Rokhlin將多極展開法用于Laplaces邊界積分方程的迭代求解在二維問題中運算等價點是 三維橢圓邊值問題中等價點是 最近，Greengard and Rokhlin提出了三維多極展開法，并且將其運算等價點降為 14多極邊界元法簡史G. etal給出二維雙調和方程的多極邊界元法Peirce and Napier給出二維線彈性Navier方程多極邊界元法，計算效率較差Sangani and Mo對三維低雷諾數方程（Stokess方程）的積分方程適應多極展開法，或者使多極展開法適應積分方程，上述適應變換是繁瑣而往往使問題特殊化，因為剛性質點，不

6、能擴展到三維線彈性問題Greenbaum etal的多極邊界元法方法不能擴展到三維問題15國內多極邊界元法近幾年在國內銀燕等將多極展開法用于無網格等離子體靜電模粒子的模擬王浩剛對多極展開法中不變項的計算進行了優化清華大學姚振漢教授課題組率先將泰勒級數展開式適用于2維彈性問題邊界元法中，模擬了復合材料不同粒子變形應力場燕山大學申光憲教授課題組將域多極展開法擴展至邊界展開法，給出3維彈塑性摩擦接觸多極邊界元法，完成四輥軋機板帶軋制模擬計算163. 軋制工程中邊界元法軋制理論板帶和軋輥耦合軋制理論重要的研究方向軋制過程數值模擬 有限差分法主要的方法有：有限元法 邊界元法17板帶和軋輥軋制理論回顧起始

7、于20世紀40年代Hitchcock給出軋輥彈性壓扁公式20世紀50年代Stone提出平板壓縮與Hitchcock壓扁公式相結合的二維薄帶軋制耦合理論、軋制力公式及最少可軋厚度公式20世紀80年代戶澤康壽與石川孝司首次用有限差分法求解3維軋制控制方程，給出了軋制變形區三維變形場和應力、面力場18戶澤石川軋制模型19柳本木內軋制模型20世紀90年代初柳本潤和木內學給出拉格朗日乘數3維剛塑性有限元法和流線速度接觸彈性有限元法耦合計算寬厚比為15和238給出變形區內三維6個應力分量分布單位軋制壓力分布圖中看到 “貓耳”形凸峰趨勢顯出變形區入口和出口單位軋制壓力不等于零（剛塑性有限元法模擬帶鋼變形的結果）20模擬算例21耦合軋制接觸模型邊界元法陳一鳴在肖宏和黃慶學等人基礎上給出3維彈塑性摩擦接觸邊界元法及滾動軋制FORTRAN源程序將板帶的彈塑性變形同軋輥彈性變形耦聯起來，“同時”、“并行”模擬軋制過程給出了9組不同軋制參數、寬厚比為200板帶冷軋過程數值模擬結果帶材邊部出現了明顯的“貓耳”形凸峰22軋制壓力分布23接觸區表面摩擦力分布24壓下率與軋制壓力關系（橫向）25壓下率與軋制壓力關系（縱向）26耦合軋制理論動態(1)建立四輥軋機三物體