1、總結總結第十章曲線積分與曲面積分重點兩類曲面積分及兩類曲面積分的計算和格林公式、高斯公式的應用二、難點對曲面側的理解，把對坐標的曲面積分化成二重積分，利用格林公式求非閉曲線上的第二類曲線積分，及利用高斯公式計算非閉曲面上的第二類曲面積分。1三、容提要曲線（面）積分的定義：（1）第一類曲線積分Jf（x,y）dsAlimEf（,n）AS（存在時）AS表示第i個小弧段的長度，（&E）是AS上的任一點小弧段的最大長度。i實際意義：ii當f（x,y）表示L的線密度時，Jf（x,y）ds表示L的質量;當f（x,y）三1時，Jds表示L的弧長，當f（x,y）表示位于L上的柱面在點（x,y）處的高時，Jf（x

2、,y）dsL表示此柱面的面積。（2）（2）第二類曲線積分JPdx+QdyAlimZP&,Q）Ax+Q&,q）Ay（存在時）L=必0iiii=1實際意義：iiih*is-設變力F=P（x,y）i+Q（x,y）j將質點從點A沿曲線L移動到辛點，則作的功為:W=JF-dS=JPdx+Qdy，其中dS=（dx,dy）事實上，JPdx，JQdy分別是F在沿X軸方向及Y軸方向所作的功。（3）（3）第一類曲面積分JJf（x,y,z）dsAlimE,Q工）AS（存在時）iiAS表示第i個小塊曲面的面積，（己用工）為AS上的任一點，入是n塊小曲i面的最大直徑。實際意義：iiif（x,y，z）表示曲面2上點（x,

3、y,z）處的面密度時，JJf（x,y,z）ds表示曲面2的質量，當f（x,y,z）三1時，JJds表示曲面2的面積。2（4）（4）第二類曲面積分JJPdydz+Qdzdx+RdxdyAlimEp也R工）（AS）+Q&R工）（AS）+R&R工）（AS）2（存在時）其中（AS），（AS），iyzizx=心0I，iyzi=1iiiizxiiiixy（AS）分別表示將2任意分為n塊小曲面后第I塊ASixyi在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz，dzdx，dxdy分別表示這三種投影元素；（己用工）為AS上的任一點，入是n塊小曲面的最大直徑。iiii實際意義：設變力V（x,y,z）=P（x，y

4、，z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k為通過曲面2的流體（穩VdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy定流動且不可壓縮）在，上的點（VdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy表示在單位時間短，的一側流向指定的另一側的流量。2、曲線（面）積分的性質兩類積分均有與重積分類似的性質（1）被積函數中的常數因子可提到積分號的外面（2）對積分弧段（積分曲面）都具有可加性（3）代數和的積分等與積分的代數和第二類曲線（面）積分有下面的特性，即第二類曲線（面）積分與曲線（面）方向（側）有關JPdx+Qdy=JPdx+QdyLLJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJPdydz+Qdzdx+Rdxd

5、yT3、曲線（面）積分的計算（1）曲線積分的計算a、a、依據積分曲線L的參數方程，將被積表達式中的變量用參數表示b、b、第一（二）類曲線積分化為定積分時用參數的最小值（起點處的參數值）作為積分下限（2）曲面積分的計算方法1、第一類曲面積分的計算a將積分曲面投向使投影面積非零的坐標面b將的方程先化成為投影面上兩變量的顯函數，再將此顯函數代替被積表達式中的另一變量。C將ds換成投影面上用直角坐標系中面積元素表示的曲面面積元素2、第二類曲面積分的計算a將積分曲面投向指定的坐標面b同1c依的指定的側決定二重積分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（1）格林公式JPdx+Qdy=

6、JJ（迎）dxdyLd.xdy其中P、Q在用區域D上有一階連續偏導數，L是D的正向邊界曲線。若閉區域D為復連通閉區域，P、Q在D上有一階連續偏導數，則JJ（絲竺）dxdy=JJ（絲竺）dxdy=dxdyZJPdx+QdyD其中L.（=1，2i（2）（2）i=1Lin）均是D的正向邊界曲線。高斯公式3Q.dPdR.U：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=（+）dxdydz3xdy&Q其中P、Q、R在閉區域Q上有一階連續偏導數，是Q的邊界曲面的外側（3）斯托克斯公式JJ（3）斯托克斯公式JJdydzdzdxdxdy3333x3y3zPQR（3）=JPdx+Qdy+Rdzr其中P、Q、R在包含曲面在

7、的空間區域具有一階連續偏導數，是以r為邊界的分片光滑曲面，r的正向與2的側向符合右手規則。5、平面上曲線積分與路徑無關的條件設P、Q在開單連同區域G有一階連續偏導數，A、B為G任意兩點，則以下命題等價：（1）JPdx+Qdy與路徑L無關LAB（2）對于G任意閉曲線L,JPdx+Qdy=0LdQdP（3）當=在G處處成立TOC o 1-5 h zc.x0y（4）在G，Pdx+Qdy為某函數U（x,y）的全微分6、通量與散度、環流量與旋度設向量I+-H-rA（x,y,z）=P（x,y，z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k則通量（或流量）=壓ands-2其中n=（cosa,cosB,cos

8、Y）為2上點（x,y,z）處的單位法向量。散度-cQ-cQcPdivA=+CxCy蒞對坐標的曲面積分與與的形狀無關的充要條件是散度為零。旋度rotA=旋度rotA=IcCxP-jCCyQkCCzR環流量向量場A沿有向閉曲線r的環流量為JPdx+Qdy+Rdz=JAGdsrr四、四、難點解析本章中對A在xoy面上的投影（A5）為xy（Ao）,cosy0 xy（a5）=jxy一（A（a5）=jxyxy0,cosy三0其中cosy為有向曲面A5上各點處的法向量與Z軸的夾角余弦。（Ao）為A5在xoyxy上投影區域的面積。此規定直接決定了將一個第二類曲面積分化為二重積分時正負號的選擇，此規定貌似復雜，

9、但其最基本的思想卻非常簡單：即基于用正負數來表示具有相反意義的量。比如，當溫度高于零度時用正數表示，當溫度低于零度使用負數表示。從引進第二類曲線積分的例子看是為了求穩定流動的不可壓縮的流體流向指定側的流量。如果我們用正數來表示流體流向指定側的流量，很自然，當流體流向指定側的反向時用負數表示就顯得合情合理了。因此上面的規定就顯得非常自然合理了。五、五、五、五、典型例題例1、計算I=Jx2dsx+y2+z2=R2j：圓周x+y+z=0解：由輪換對成性，得II=Ix2dsJy2dsI=TOC o 1-5 h zIz2ds=11x2+y2+z2ds=Lr2Ids=KR3r3r3r3iryriy3一x3

10、一例2、設L：x2+y2=a2為成平面區域D,計算J-dx+-dyl33解：I-1dx+-號dy=(格林公式)II(x2+y2)dxdy=41：doIar2rdr=a4L33002例3、求IIz2dxdy，其中2為曲面x2+y2+z2=a2的外側。Ei解法一、將E分為上半球面E1：z=A加2-x2-y2和下半球面E2：z=-*I1a2-x2-y2II=II+II=IIa2-x2-y2dxdy-IIa2-x2-y2dxdy=0EE1E2x2+y2a2解法二、利用高斯公式用z2dxdy=JJJ(0+0+2z)dxdydz=0(對稱性)例4、求曲線y=x2,y2=2x及y2=x所圍成的圖形的面積。解

11、：求曲線的交點B(1，1)，C(V2,3；4)法一、定積分法則所求面積為A=I1(y2-?)dy+I?4(v:y-0)dy=1+1=1TOC o 1-5 h z0202663法二、二重積分法設所給曲線圍成的閉區域為D.則A=IIdo=I11y2dx+j4dyIydx=I1(y2)dy+I34Qy)dy=-0y20y202023法三、曲線積分法設所給曲線圍成的圖形的邊界曲線為L,則Ixdy=11y2dy+13Ixdy=11y2dy+134%ydy+10_二dyCo01342.LOBBC1221=+()=3333從點A(-R,0)到點B(R,0)的上半圓周x2+y2=從點A(-R,0)到點B(R,

12、0)的上半圓周x2+y2=R2。L解：法一用曲線積分與路徑無關一，3Q.dP_,一、dQ5P一因為k=1=在xoy面上恒成立，且丁及丁在xoy面上連續，所以曲線積分dxdydxoy1ydx+xdy與路徑無關。于是Iydx+xdy=Iydx+xdy=IR0dx=0AB法二、用曲線積分與路徑無關，則Iydx+xdy=0(其中C(0,R)ACBA法三、用曲線積分與路徑無關，則d(xy)=xy(R,0)=0(-R,0)(-Rd(xy)=xy(R,0)=0(-R,0)(-R,0)(-R,0)法四、用格林公式idQdPdQdP_因為J=且個及丁在閉曲線ACBA上圍成的閉區域D上連續。故由格林公式dxdyd

13、xdyJdQdP、77cydx+xdy=-(-)dxdy=0acAdxdyBA于是Jydx+xdy=0-Jydx+xdy=0BA法五、用定積分計算，則L的參數方程為x=Rco9.八，L的起點A對應與9=兀，綜點對應于9=0，于是y=Rsi由R2J0cos29d9冗Jydx+xdy=J，Rsin9(一Rsin9)+RcosR2J0cos29d9冗L冗R2sin290=02冗例六、計算對坐標的曲面積分JJ(yz)dydz+(zx)dzdx+(xy)dxdy其中2是z2=x2+y2(0z0)2、L為xoy面直線x=a上的一段，則JP(xy)dx=L*I+，lr*I3、設A=(x2+yz)i+(y2+

14、xz)j+(z2一xy)k，則divA=4、JJ(x+y+2z)dydz+(3y+z)dzdx+(z-3)dxdy=其中士：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所圍成的立體的表面外側。1、選擇題(4x51、1、設A=P(x,y)i+Q(x,y)j，(x,y)eD,且P、Q在區域D具有一階連續偏導數，z%又L：AB是D任一曲線，則以下4個命題中，錯誤的是若JPdx+Qdy與路徑無關，則在若JPdx+Qdy與路徑無關，則在D必有若JAds與路徑無關L則在D必有單值函數u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC若在D則必有JAds與路徑無關DA若對D有一必曲

15、線C，恒有DA若對D有一必曲線C，恒有JPdx+Qdy=0，2、-13、已知(x+g)dx+ydy為某函數的全微分(x+y)2則JPdx+Qdy與路徑無關L則a等于;B0;C1;D設曲線積分Jxy2dx+y隼(x)dy與路徑無關2;其中(x)具有連續得到數，且LJ(1,1)xy2dx+y隼(x)dy叭x)=0，則(0,0)等于A3;B-;C3;D1;8244、設空間區域Q由曲面z=a2-x2-y2平面z=0圍成，其中a為正常數，記Q的表面外側為S,Q的體積為V，則&x2yz2dydz-xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=D3V;xD3V;x2+y2+z2=Rx+y+z=0A0;BV;C2V;三