1、勾股定理知識(shí)技能和題型歸納（一）知識(shí)技能一、本章知識(shí)內(nèi)容歸納1、勾股定理 揭示的是平面幾何圖形本身所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系。1）重視勾股定理的敘述形式：直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上的正方形的面積.直角三角形斜邊長(zhǎng)度的平方，等于兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度平方之和.從這兩種形式來(lái)看，有“形的勾股定理”和“數(shù)的勾股定理”之分。（ 2）定理的作用：已知直角三角形的兩邊，求第三邊。證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系。作長(zhǎng)為n的線段。 （利用勾股定理探究長(zhǎng)度為2,3, 的無(wú)理數(shù)線段的幾何作圖方法，并在數(shù)軸上將這些點(diǎn)表示出來(lái)，進(jìn)一步反映了數(shù)與形的互相表示，加深對(duì)無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。）2、勾股定理的逆定理1）勾

2、股定理的逆定理的證明方法，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)三角形與直角三角形全等，達(dá)到證明某個(gè)角為直角的目的。2）逆定理的作用：判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。3）勾股定理的逆定理是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是利用代數(shù)計(jì)算來(lái)證明幾何問(wèn)題。要注意敘述及書寫格式。運(yùn)用勾股定理的逆定理的步驟如下：首先確定最大的邊（如c）驗(yàn)證 a2b2 與 c2 是否具有相等關(guān)系：若 a2b 2c2，則 ABC 是以 C 為 90的直角三角形。若 a2b 2c2，則 ABC 不是直角三角形。補(bǔ)充知識(shí)：當(dāng) a2b 2c2時(shí)，則是銳角三角形；當(dāng) a2b 2c 2時(shí)，則是鈍角三角形。（ 4）通過(guò)總結(jié)歸納，記住一些常用的勾股數(shù)。如：3， 4， 5； 5，

3、12， 13；6， 8，10； 8， 15， 17；9， 40， 41；以及這些數(shù)組的倍數(shù)組成的數(shù)組。勾股數(shù)組的一般規(guī)律：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子 m 2n 2 ,2mn, m2n2 (mn 的正整數(shù)）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的： 2n1,2n 22n,2n 22n1（ n 1 的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的： 2 ,21,n21（ n1的整數(shù)）n n3、勾股定理與勾股定理逆定理的關(guān)系（ 1）注意分清應(yīng)用條件：勾股定理是由直角得到三條邊的關(guān)系，勾股定理逆定理則是由邊的關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)角是否為直角。2）根據(jù)課標(biāo)要求，對(duì)原命題、逆命題及命題之間的關(guān)系只要求根據(jù)例子了解即可，不必專門訓(xùn)練 .二、本章解題技能歸納1、直角三角形的

4、性質(zhì)與判定小結(jié)（ 1）直角三角形的性質(zhì)：角的關(guān)系：直角三角形兩銳角互余。邊的關(guān)系：直角三角形斜邊大于直角邊。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。邊角關(guān)系：直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。雙垂圖： 雙垂圖中的線段關(guān)系。2）直角三角形的判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。兩邊的平方和等于第三邊（最長(zhǎng)的邊）的平方的三角形是直角三角形。2、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，會(huì)求第三邊長(zhǎng)設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,b, 斜邊長(zhǎng)為c ，由勾股定理知道：a2b2c2 。變形得：ac 2b2 ,bc 2a2 , ca

5、2b 2，因此已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可求出第三條邊。3、當(dāng)直角三角形中含有30與 45角時(shí)，已知一邊，會(huì)求其它的邊（ 1）含有 30的直角三角形的三邊的比為：1： 3:2。（ 2）含有 45的直角三角形的三邊的比為：1:1:2 。（ 3）等邊三角形的邊長(zhǎng)為a ，則高為3a，面積為3 a 2 。24三、閱讀與思考“希波克拉底月牙形”（ 1）C如左圖： C=90，圖中有陰影的三個(gè)半圓S2的面積 S1,S2,S3有什么關(guān)系？CS1答：（ 2）如圖： C=90， ABC的面積為20，在 AB 的同側(cè)，分別以AB,BC,AC 為直徑作三個(gè)半圓，AS3B則陰影部分（即“希波克拉底月牙形”）

6、的面積為BA勾股定理知識(shí)技能和題型歸納（二）題型一、基礎(chǔ)練習(xí) （要求熟練掌握 ）1、在ABC 中， a, b, c 為三邊長(zhǎng) .(1)當(dāng) A=90時(shí)，三邊關(guān)系.(2)當(dāng) C=90時(shí)，三邊關(guān)系.(3) 當(dāng) a 2c2b 2 時(shí)，=90.2、如圖，在Rt ABC 中， C=90， BC=a,AC=b,AB=c.（ 1）已知 a=5, b=12, 則 c=;（ 2）已知 b=6, c=10,則 a=（ 3）已知 a=2, c= 5, 則 b=；BcaCbA（ 4）已知 a=15,b=20,則 ABC 的周長(zhǎng) =；（ 5）已知 a=2, c =2.5,則 ABC 的面積 =；（ 6）已知 a: c =

7、3:5,a+ c =32, 則 b=;（ 7）已知 c =10, a: b=3:4, 則 a=, b=，斜邊上的高 =3、已知 ABC 是直角三角形，AC =3， BC=5， 求 AB 的長(zhǎng)。4、在 ABC 中， C=90， AB =20。1）若 B= 45，求 BC、AC。（ 2）若 A=60，求 BC、AC。5、求下列圖中未知數(shù)x、 y、z 的值：。x=;144y=;z;81 xyz =625576169二、與其它章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系144b2 c 2a4b4 ，判斷 ABC 的形狀。6、在 ABC 的三邊 a,b, c ，且 a 2c 27、若 ABC 的三邊 a, b,c 滿足條件 a2b2

8、c2338 10a 24b26c ，判斷 ABC 的形狀。8、 ABC 的三邊 a, b, c ，滿足 a 2b210012b16 a, c 邊的長(zhǎng)是2x35的解，求 ABC 中最大角的度數(shù)。x 5x59、用本章學(xué)過(guò)的知識(shí)判斷直線y3x3 與 y1 x 3 的位置關(guān)系，說(shuō)明理由。310、在 B 港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí)8 海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15 海里的速度前進(jìn)，2 小時(shí)后，甲船到M 島，乙船到 P 島，兩島相距海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？11、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30 平方米的草皮鋪設(shè)一邊長(zhǎng)為10 米的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求

9、出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。12、如圖，鐵路上 A、B 兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25、千米，C D為兩個(gè)村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA AB 于 A，CB AB 于B ， DA=15千米， CB=10 千米， 現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得 C、D 兩村到 E 的的距離相等， 則 E 應(yīng)建在距 A 多少千米處？13、在河 L 的同側(cè)有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)A、B 相距 1640 米，其中 A距河 210米， B 距河 570 米，現(xiàn)要在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉(cāng)庫(kù)到碼頭的路程和最短，問(wèn)：這個(gè)最短路程是多少？碼頭應(yīng)建在何處？三、典型數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練( 一 ) 方程思想進(jìn)行計(jì)算14、小明用一根

10、長(zhǎng) 30 厘米的繩子折成三段，圍成一個(gè)三角形，他用尺子量了一下，其中一條線段的長(zhǎng)度比較短線段長(zhǎng) 7 厘米，比較長(zhǎng)線段短 1 厘米，請(qǐng)你幫助小明判斷一下，他圍成的三角形是直角三角形嗎？15、已知 ABC 中， C=90， D、E 分別為 BC、AC 的中點(diǎn)， AD =5， BE= 2 10 ，求 AB 的長(zhǎng) .16、有一個(gè)水池， 水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10 尺的正方形， 在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1 尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別為多少？17、如圖所示已知：在正方形ABCD 中， BAC 的平分線交 BC 于 E，F(xiàn)G 2D

11、C作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G求AB2 的值F( 二 ) 構(gòu)造直角三角形E18、已知 ABC 中， AB =8， AC=7， BC=6，求 ABC 的面積。AGB19、已知 ABC 中， B=30， C=45， ABAC=2-2 ，求 BC 的長(zhǎng)。20、已知：如圖， ABAC20， BC 32，D 為 BC 邊上一點(diǎn)， DAC 90求 BD 的長(zhǎng)21、（ 1）寫出三種用“構(gòu)造斜邊長(zhǎng)為7 的直角三角形的方法”作長(zhǎng)為7 的線段的方案。（ 2）能否通過(guò)“構(gòu)造直角邊長(zhǎng)為7 的直角三角形的方法”來(lái)作長(zhǎng)為7 的線段？若能，寫出三角形的三邊；若不能，說(shuō)明理由。（ 3）在（ 1）中，作長(zhǎng)為7 的

12、線段，往往需要先作出其它長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段才能求出長(zhǎng)為7 的線段，對(duì)于正整數(shù) k ，能否通過(guò)構(gòu)造兩邊均為有理數(shù) 的直角三角形求出作長(zhǎng)為k 的線段？若能，請(qǐng)寫出此時(shí)三角形三邊之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。( 三 ) 勾股定理與變換22、已知矩形ABCD 沿直線 BD 折疊， 使點(diǎn) C 落在同一平面內(nèi)C 處，BC 與 AD 交于點(diǎn) E，AD= 8，AB=4，求 DE 的長(zhǎng)。C23、（ 2004 年荊州中考）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種證明A ED方法。如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面D， 設(shè)ABCD 倒下到 ABC的位置，連結(jié) CCAB a, BC b, AC c ，請(qǐng)利用四邊

13、形BCC D 的面積證明勾股定理。BC24、 ABC 中 ,CD 是 AB 邊上的中線， AC=8， BC=6， CD =5，判斷 ABC 的形狀。(四)面積法 :25、設(shè)h1, h2, h3表示三角形的三條高， 如果( h1 )2( h1 )21h2h3，那么這個(gè)三角形是什么三角形？26、證明：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。27、已知：平面直角坐標(biāo)系xOy 內(nèi)，點(diǎn) A（3 3，0）， B（3，0 ）， C(0, 3) ，（ 1）判斷ABC 的形狀并說(shuō)明理由；（ 2）若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (3, 4) ，求BCD 中 CD 邊上的高 h 的值 .28. 如圖，已知直線y3 x

14、 1 與 x 軸、 y 軸分別3交于點(diǎn) A、B, 以線段 AB 為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰 RtABC,BAC=90O, 且 P(1, a) 為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) .求 ABC 的面積 S ABC ；(2) 證明不論 a 取任何實(shí)數(shù)，BOP 的面積是一個(gè)常數(shù)；(3) 要使得ABC 和ABP 的面積相等，求實(shí)數(shù) a 的值 .( 五 ) 代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題 :29、求證：直 角三角形中兩直角邊上的中線的平方和的4 倍等于斜邊平方的5 倍30、如圖 ABC 中， C=90， M 是 CB 的中點(diǎn)， MD AB 于 D，A請(qǐng)說(shuō)明三條線段AD 、BD、 AC 總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形。31、正方形 AB

15、CD 的邊長(zhǎng)為 4， E 為 AB 中點(diǎn)， AF= 1 AD ，求證： CE EF.D4BEA32、（ 1）已知：如圖， CD AB，OA OB，CMB求證：AC 2BD 2AD 2BC2；FAC2BC 2AD 2BD 2.2）運(yùn)用（ 1）的結(jié)論可以證明下列命題：已知：如圖，設(shè) M 是 ABC 內(nèi)部任意一點(diǎn)，CDMD AB 于 G，MEBC 于 K，MFCA 于 H，BD=BE ，CE=CF ，求證： AD=AF ；( 六 ) 圖形的割、補(bǔ)與拼圖33、已知：如圖，四邊形ABCD 中， AB =3， BC=4，CD=5， AD=52 ， B=90，求四邊形ABCD 的面積。第33題圖34、一塊四

16、邊形的草地ABCD , 其中 A=60, B=D =90, AB =20m, CD =10m, 求這塊草地的面積.第34題圖35、有十字形，它由五個(gè)全等的正方形組成，如圖所示，你能把它切成三塊，拼成一個(gè)長(zhǎng)是寬的2倍的長(zhǎng)方形嗎？（先計(jì)算，再拼圖）備用圖：36、現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5 ，寬為 2 的紙片，請(qǐng)你將它分割成6 塊，再合并成一個(gè)正方形，要求先畫出分割線，再拼成正方形并證明你的方法的正確性。( 七 ) 運(yùn)動(dòng)、開放與探究37、在ABC中，設(shè) BC a, AC b, BA c,當(dāng)C=90時(shí)，根據(jù)勾股定理有a 2b2c 2 ；若 ABC 不是直角三角形，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a 2b2與 c 2

17、的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。38、如圖， M 是 Rt ABC 斜邊 AB 的中點(diǎn)，、Q 分別在 AC、BC 上， PM MQ ，P判斷 PQ、 AP與 BQ 的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論 .39、 ABC 中， AB=AC =4，點(diǎn) P 在 BC 邊上運(yùn)動(dòng)，猜想AP2PB PC 的值是否隨點(diǎn)P 位置的變化而變化，并證明你的猜想.40、已知：矩形ABCD（四個(gè)角是直角）為矩形內(nèi)一點(diǎn)（如圖a），求證 : PA2PC 2PB 2PD 2;探索 P 運(yùn)動(dòng)到 AD邊上 ( 如圖 b）、矩形 ABCD外 ( 如圖 c）時(shí)，結(jié)論是否仍然成立41、探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3， 4， 5）（ 5， 12， 13