1、受迫振動非線性特性的教學拓展摘要:受迫振動在大學物理和大學物理實驗中均是重點教學內容,為了使學生更加深入理解受迫振動的非線性特性,本 文基于波耳共振儀所涉及的非線性因素和實驗數據，對受迫振動方程進行非線性修正，利用數值分析探討其非線性特性.通過 引入硬彈簧型杜芬方程，探討系統由周期性運動進入混沌狀態的演化，將受迫振動中相對穩定的平衡點與奇異吸引子進行類 比,拓展非線性振動教學內容.關鍵詞:受迫振動;杜芬方程;數值分析;混沌；光電門A光電門A； 2.長凹槽;3.短凹槽;4銅制擺輪;5.搖桿；6-蝸卷彈簧;7.機架;8.阻尼線圈;9.連桿;10.搖桿調節螺絲;光電門B； 12.角度盤;13.有機玻

2、璃轉盤;14.底座；15.彈簧夾)螺絲;16閃光燈圖1波耳共振儀的結構示意圖$)振動是一種普遍存在于客觀世界的物質運動形 式,系統在周期性外力的持續作用下的振動即為受 迫振動1.波耳共振儀是高校物理實驗教學中研究 受迫振動運動規律較為普遍的儀器，也是學者探討 較多的實驗項目實驗測量中，儀器的軸承摩擦 和彈簧非線性效應的影響是造成實驗數據偏離預期 的主要因素.如果在受迫振動的分析中考慮這兩種 因素的影響，則非常有助于學生理解實驗原理和結 果偏差.本文基于受迫振動常規實驗,延伸探討其非 線性特性，通過Matlab數值分析的方法來研究杜芬 方程的混沌特性,以此提高學生對受迫振動的認知， 并加深對其非

3、線性特性的理解.1受迫振動1.1受迫振動方程波耳共振儀(如圖1所示)的擺輪可在彈性 力矩作用下自由擺動，若同時加上阻尼力矩和驅動 力矩,擺輪可做受迫振動.當擺輪受到周期性驅動外力矩# = #%cos %的 作用，并在有空氣阻尼和電磁阻尼的介質中運動時 (設阻尼力矩為-#3$，其中#為阻尼力矩系數)，其 動力學方程為d$2$J =_?$_# M0cos %( 1)d%d%式中，/為擺輪的轉動慣量，-?$為彈性力矩,？ 為彈簧的勁度系數,#0為驅動力矩的幅值,為驅 動力的角頻率.c ?#0令0=了,2%-J,8=，式(1)變為d2$d$+2% 0$ - 8cos %d%$d% 0當8COS % =

4、 0時，即在無周期性外力矩作用時, 式(2)為阻尼振動方程；當阻尼系數為零，即無阻尼時，式(2)為簡諧振動方程，釧即為振動系統的固有 頻率.方程(2)的通解為$ = $!ecos(%+a) +$2cos(%+)( 3)通解含有兩個部分:$!ecos(%+a)表示阻尼 振動，隨著時間的演化,振動會逐漸衰減，;至忽略 不計;$cos(%+)表示簡諧振動，驅動力矩持續對 擺輪做功，振動系統接收驅動力所傳送的能量，使振 動系統最終達到一個穩定的狀態.振幅為定值，4)系統相位差為2%2% T4)系統相位差為= arctan $ = arctan!( 2 -2o)由式(4)和式(5)可看出，穩定振動時，驅

5、動力 的幅值#%、阻尼系數、驅動力的頻率(或驅動力 周期T)和系統固有頻率%(或固有周期T%) 4個參 量共同決定系統振幅和相位差的大小，與振動的起 始狀態無關.受迫振動的振幅與驅動力頻率有關，由極大值 條件牛=0可知，當驅動力角頻率為=J%* 時，系統發生共振，振幅有極大值,82%!2-%26)可以看出，阻尼系數越小,驅動力的角頻率越接 近系統的固有角頻率，振動幅值也越大6)1.2阻尼系數、固有周期、固有頻率的測量實驗中通常選擇阻尼開關位置為2,將波耳共 振儀有機玻璃盤上零度標志線對準0，用手將擺輪 轉動至140150。之間，放手后控制箱會自動連續 記錄擺輪完成阻尼振動10次的振幅$% $數

6、據如 表1所示.表1阻尼系數測量數據次數振幅/ (。)次數振幅/ (。)ln( $/$&+5)$0129$5650.685$1113$6580.667$299$7500.683$386$8440.670$475$9390.653由表1可知,ln( $&/$&+()的平均值為0.672，阻尼 系數為% = ln ( $,/$,+5)/nT5，其中T為阻尼振動的 周期，實驗中測得的平均周期為T =1.667 s,因此可 得 =in (仇/$,+() /reT0r727=0-081.5X1.66/選擇“自由振蕩”進行測量,將有機玻璃盤上零 度標志線保持在0。,用手將擺輪轉動至140。- 150。 之

7、間,放手后記錄每次振動振幅值及其相應周期,并 計算相應頻率值.數據如表2所示.表2振幅、周期、頻率關系數據振幅 $/( 。)周期T/s頻率振幅 $/( 。)周期T/s頻率0 /rad)s-11271.6573.7921141.6583.7901071.6593.7871021.6633.778971.6653.774901.6663.771811.6683.767691.6713.760551.6763.749441.6793.742由表2可知，系統平均固有周期為To = 1.666 s,2受迫振動方程非線性修正2.1彈簧非線性效應一般情況下，可以認為彈簧的勁度系數？為常 數,但是在上述彈簧自

8、由振動的實驗中，通常隨著振 幅的減小，振動系統固有周期會逐漸增大，這意味著 振動系統的彈性回復力隨著振幅的減小而減弱m2n. 因此不妨假設彈簧的勁度系數為振幅的函數？= ?($)，則回復力矩為 TOC o 1-5 h z F? = ?($) $( 7)將F? = ?($) $進行泰勒展開至一階項，F = ?($)$ =他+W|$( 8)=?($) $ = I 0C + 1C $( 8)令? = a,得到:=廷；$ = 2$+-$2( 9)2.2軸承摩擦效應軸承摩擦效應普遍存在于定軸轉動的運動中， 當軸承轉動速度較小時軸承靜摩擦力較大，而當轉 速達到一定臨界值后，軸承摩擦力將保持穩定回.實驗發現

9、,軸承摩擦力隨軸承角速度的變化率 較緩，因此可采用二次函數的形式來描述軸承摩擦力矩隨角速度的關系F = B) 2-C)( 10)其中，固定系數B0, C0,在此情況下，即表明摩擦 力矩隨角速度的增加而緩慢降低.2.3阻尼振動方程非線性修正綜合彈簧的非線性效應與軸承摩擦效應對振動 方程的修正,可以得到修正后的阻尼振動方程為+#) +F? +Ff = 0( 11)BC令2% = 了,b = 了,$ =了測式!)可寫為$ =-$2-2 0b $ 2-( 2%-c) )( 12)式(12)即為非線性項修正后的阻尼振動方程，是一 個待定系數的二階微分方程.在此情況下，基于Matlab軟件,用數值方法計

10、算其數值解,通過多次給定-、b、c的數值進行模擬 計算,擬合阻尼振動實驗所測得的數據.通過變量代換，將式(12)改寫為一階微分方程，令 11=),，2=)，得到13)-l1-011-b1，令 11=),，2=)，得到13)-l1-011-b12-( 2%-c) 12利用Matlab軟件內置的ode45函數，根據四階 龍格庫塔法，多次變步長數值積分，可以得到，當 待定系數滿足-= 0.014,b = 0.002,c = 0.005時，數值 方法解得的阻尼振動方程與實驗數據擬合的最為接 近,特別是在振幅為90 140時,彈簧形變較大，彈 簧非線性效應較為明顯的區域.圖2中指數曲線為阻尼振動的振幅時

11、間實測 數據的擬合曲線，周期性曲線為非線性微分方程的 數值解.圖2阻尼振動數值積分與擬合曲線2.4受迫振動方程非線性修正在修正后的阻尼振動方程(12)的右邊加上一 個周期性力矩，即為受迫振動方程，) = 8COS %-$2-0)-b )2-(2%-c) )( 14)該方程中8為未知參量,需要通過實驗儀器進 行數據測量加以確定.選取“阻尼2”檔位，打開電機，設定在某一轉 速，當觀察到擺輪的受迫振動周期與電機的周期趨 于一致時，即受迫振動達到穩定時，開始測量.讀出 每次擺輪受迫振動的幅值)和驅動力矩每10次振 動周期102,利用頻閃法測量擺輪受迫振動的位移 與驅動力之間的相位差，并記錄此時電動機的

12、轉 速值，結果如表3所示.電機 轉速 刻度驅動 力10 次振 動周 期102 /s振幅 ) / ( )系統 固有 周期測 量值 / ( 電機 轉速 刻度驅動 力10 次振 動周 期102 /s振幅 ) / ( )系統 固有 周期測 量值 / ( )理 論值 / ( )2002_$_瓦(土 )25.6316.87091.6668888.40.9980.9790.9595.6816.864931.66688 .40.9970.9480.8995.7316.861951.666101105.601.0070.9890.9795.7816.8 1961.6669393. 41.001115.816.0

13、57881.6667779.450.9940.9170.8405.9017.138601.6764443.950.9780.6 50.3916.0417. 7501.6763635.790.9700.5 10. 716.1017.347451.6793333.40.9670.4690. 196. 017.5 3371.68488.400.9610.3850.1495.6017.760311.6814$. 00.9480.3 30.1045.5016.689911.666115113.111.0090.9480.8995.3816.6 8831.6681 61 3.971.0150.8650.7

14、485.3016.561801.6681301 7. 11.0160.8330.6945.116.443711.671140137. 11.0 $0.7390.5475.0016.33611.670148146.11.0330.6350.404表3幅頻特性與相頻特性測量數據%!0-%20.081,可得驅動力系數8 = 1.02，此時驅動頻率= 3 . 774 ra2 S-1 .至此獲得了在一定情況下，受迫振動動力學方 程的全部參量：0 = 3.775 rad s-1 , % = 0. 081,8 = 1.02，- = 0.014,b = -0.002 ,c = 0.005.通過變量代換，把式(

15、14)轉化為一階微分方程 組.令 1 = ),12 = ),13 =cos %,14 = -sin %,則IT f21$= 1.02y3-0.014i!-3.7752d%0.00212-( 2x0.081-0.005) 12( 15)d13IT=14把上述一階微分方程組輸入程序，利用數值積 分求解其動力學特性，結果如圖3所示.時間/s振幅/()圖3系統時間響應與相平面曲線圖3中左側為受迫振動系統的時間響應曲線， 右側為系統的相平面曲線.受迫振動系統的時間響 應曲線表示了振動振幅隨時間變化的特性，可以看 出,隨著振動時間的增加，振動頻率逐漸穩定，振幅 逐漸增加直到最大值并且保持穩定.受迫振動系統

16、的相平面曲線圖表示了速度隨振 幅變化的關系.可以看出隨著時間的增加，速度與振 幅也會趨近一個穩定狀態.如果改變其中的一個參量，例如將與彈簧非線 性效應相關的參數-從0.014調整為10,采用同樣 的方法對系統進行數值分析，得到的結果如圖4所 示.原本穩定的受迫振動系統在振動后期開始出現 一定的隨機運動，即混沌現象.圖4 系統時間響應與相平面曲線基于波耳共振儀的受迫振動，由于其振動方程 中涉及的非線性項偏多，不利于定性和定量分析受 迫振動系統中的混沌現象，因此可以選擇典型的非 線性受迫振動方程杜芬方程進行探討.3受迫振動方程的混沌3.1杜芬方程振動問題中的很多數學模型都可以通過轉化為 杜芬方程來

17、進行研究和分析，杜芬方程是研究和分 析某些非線性動力學系統的基礎.杜芬方程m7n的標準形式為F+g( F)=f( F，%)( 16)其中，(0，g ( f)是含F3項的函數,f( F，%)是周期性 函數.標準化后的杜芬方程稱之為杜芬系統.杜芬系 統是一類從簡單受迫振動的物理模型中歸納出的非 線性振動系統模型，形式簡潔，具有代表性，其應用 范圍十分廣泛.許多動力學過程都與杜芬系統的模 型極其相似，比如化學鍵的斷裂、建筑結構的震顫和 輪船的橫搖運動、電路周期振蕩、電路信號檢測、電 路系統模擬分析和電路的故障檢測等等.3.2%彈簧型杜芬方程杜芬方程一般可以分成四種基本類型，可以選 取其中的硬彈簧型杜

18、芬方程囪進行探討，F +CF +-F+%F3 =/COS( %)將式(17)轉化成一階微分方程組:dF23=/cos( %) -CF2-F1-%F1 d%17)18)其中、f、-、B、c17)18)給定不同的初始條件，利用數值計算的方法來 分析硬彈簧型杜芬系統的受迫振動.方程組(18)中可變參量較多，本文將重點探討 強迫力系數/的改變帶來的系統狀態演化，可以假 設-=1，% = 1，C = 0.01， = 1保持不變，且初值為F = 0，F =0也保持不變，取/ =0.001，然后進行一定幅 度增加，直到出現混沌狀態，然后利用數值積分求解 受迫振動方程.當振動時間為300 S時，結果如圖5所示

19、，從上 至下依次是不同/取值下的系統時間響應圖、系統 相平面軌跡圖、系統功率密度譜.由圖5可以看出，隨著系統參量/的變化，系統 逐漸由周期性運動進入混沌狀態.3.3杜芬方程的混沌從圖5的相平面軌跡圖可以看出，系統從只有圖5系統時間響應、相平面軌跡、功率密度譜隨/值的演化一個相對穩定的平衡位置（原點），逐漸變為具有兩 個相對平衡的位置（焦點），這體現了無序混沌狀態 中存在一定程度上的有序特性.相平面軌跡圖中相 對平衡位置發生改變的同時，相軌跡也從圓形逐漸 轉化為類似于莫比烏斯環的橢圓形狀.進一步推測， 系統會擁有兩個相對平衡的焦點，相軌跡圍繞這兩 個焦點運動，而且可將這兩個焦點類比為三維非線 性

20、系統中奇異吸引子氣如圖6所示.圖6奇異吸引子奇異吸引子是混沌系統中獨有的一種吸引子, 也被稱之為混沌吸引子，它代表著混沌狀態中的一 種定態.具體表現在系統從任一初始狀態開始，最終 都會被奇異吸引子吸引到相空間中的某一特定區 域.奇異吸引子與一般吸引子有所區別，當混沌狀態 的軌跡線進入奇異吸引子之后，軌跡線并不會像一 般吸引子一樣，吸引軌跡線繼續圍繞其運動,最終形 成一個相對封閉的圖形，而是會讓兩條接近的軌跡 線發生指數分離.從系統外部看，奇異吸引子是在聚 集軌跡線;從系統內部看，是軌跡線發散的過程.奇 異吸引子常常成對出現，兩個奇異吸引子同時對軌 跡線的作用，共同構筑了混沌系統一定程度上的有 序性.由于杜芬方程是在一維空間的受迫振動，無法 描繪出其在三維相空間的軌跡線，因此選用時間、 速度F、振幅F ,作為相空間的三個維度，觀察其軌跡 線的特性，數值計算所繪軌跡如圖7所示.圖7從左至右分別為/ = l，f =8，f =5時的相空間軌跡線從圖7可以看出，杜芬方程中的兩個焦點在含 有時間項的坐標下，展