1、正多面體與歐拉定理正多面體與歐拉定理 定義：每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數的凸多面體，叫做正多面體正多面體： 定義：每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂 正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體 正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、 正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體 正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正多面體的展開圖 正多面體的展開圖 著名的數學家，瑞士人，大部分時間在俄國和法國度過他17歲獲得碩士學位，早年在數學天才貝努里賞識下開始學習數學，畢業后研究數

2、學，是數學史上最高產的作家在世發表論文700多篇，去世后還留下100多篇待發表其論著幾乎涉及所有數學分支他首先使用f(x)表示函數，首先用表示連加，首先用i表示虛數單位在立體幾何中多面體研究中，首先發現并證明歐拉公式歐拉歐拉公式及其應用 著名的數學家，瑞士人，大部分時間在俄國和法國討論問題1： （1）數出下列四個多面體的頂點數V、面數F、棱數E 并填表(1)（2）（3）圖形編號頂點數V面數F棱數E（1）（2）（3）（4）規律：V+F-E=2 464 8612 6812201230(4)討論問題1： （1）數出下列四個多面體的頂點數V、面數F、棱( 6 )問題1： （2）數出下列多面體的頂點數V

3、、面數F、棱數E 并填表討論( 5 )5857812圖形編號頂點數V面數F棱數E（5）（6）121224（7）( 7 )( 6 )問題1： （2）數出下列多面體的頂點數V、面數F、多面體簡單多面體表面經過連續變形能變成一個球面的多面體V+F-E=2簡單多面體歐拉公式歐拉示性數多面體簡單多面體表面經過連續變形能變成一個球面的多面體V+F問題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論壓縮成平面圖形問題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABC問題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論壓縮成平面圖形

4、問題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABC1、（1）一個簡單多面體的各面都是三角形，則它的頂點數V和面數F的關系為_。歐拉公式的應用(2)一個簡單多面體的各個頂點都有三條棱，則頂點數V與面數F滿足的關系為_。1、（1）一個簡單多面體的各面都是三角形，則它的頂點數V和面歐拉公式的應用2、 簡單多面體的每個面都是五邊形，且每個頂點的一端都有三條棱，求這個多面體的面數和棱數歐拉公式的應用2、 簡單多面體的每個面都是五邊形，且每個頂4、一個凸多面體的棱數是30，面數為12，則它的各面多邊形內角的總和為_。5、是否存在這樣的多面體，它有奇數個面，且每一個面都有奇數條邊4、一個凸多面體的

5、棱數是30，面數為12，則它的各面多邊形內歐拉公式的應用3、2019年的諾貝爾化學獎授予對發現C60有重大貢獻的三位科家C60是有60 個C原子組成的分子，它結構為簡單多面體形狀這個多面體有60個頂點，從每個頂點都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊形或六邊形兩種計算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？歐拉公式的應用3、2019年的諾貝爾化學獎授予對發現C60有小結猜想證明應用空間問題平面化V+F-E=2歐拉公式小結猜想證明應用空間問題平面化V+F-E=2歐拉公式（方法二）以四面體 為例來說明： 將它的一個面 去掉，并使其變為平面圖形，四面體的頂點數 、棱數 與剩下的面數 變形后都沒有變

6、。因此，要研究 、 和 的關系，只要去掉一個面，將它變形為平面圖形既可。 對平面圖形，我們來研究：（1）去掉一條棱，就減少一個面 例如去掉 ，就減少一個面 ，同理去掉棱 、 也就各減少一個面 、 因此， 、 的值都不變， 因此 的值也不變。（方法二）以四面體 為例來說明： 將它的一個面 去掉，并使其（2）再從剩下的樹枝形中，去掉一條棱，就減少一個頂點例如去掉 ，就減少一個頂點 ，同理，去掉 就減少一個頂點 ，最后剩下在此過程中 的值不變，但這時面數 是0。所以 的值也不變。最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一個面，就得到（2）再從剩下的樹枝形中，去掉一條棱，就減少一個頂點例如去掉例1. 由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種證明：設正多面體的每個面的邊數為n，每個頂點連有m條棱，令這個多面體的面數為F，每個面有n條邊，故共有nF條邊，由于每條邊都是兩個面的公共邊， 故多面體棱數 （2） 令這個多面體有個V頂點，每一個頂點處有m條棱，故共有mV條棱,由于每條棱有兩個頂點， 故多面體棱數 （1）由（1）（2）得： ， 代入歐拉公式： 即 （3），又