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文檔簡介

1、一、問題的提出一塊長方形的金屬板，受熱產生如圖溫度分布場. 設一個小蟲在板中逃生至某問該蟲應沿什么方向爬行，才能最快到達涼快的地點？處，問題的實質： 應沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個概念：方向導數和梯度方向導數問題梯度問題 討論函數 在一點P沿某一方向的變化率問題二、方向導數當 沿著 趨于 時，是否存在？記為的方向導數為同理,沿y軸正向的方向導數分別為在點沿著軸正向若偏導 存在,則方向導數是單側極限，而偏導數是雙側極限.原因：證明由于函數可微，則增量可表示為方向導數的存在及計算公式那末函數在該點沿任意方向l的方向導數都

2、存在，定理 如果函數在點可微分，且有 為軸到方向l的轉角其中計算公式故有方向導數兩邊同除以得到故x軸到方向l 的轉角解方向l 即為所求方向導數解由方向導數的計算公式知（1）最大值; （2）最小值； （3）等于零？ 例2 求函數在點(1,1)沿與x軸方向夾角為的方向射線的方向導數.并問在怎樣的方向上此方向導數有故方向導數達到最大值;方向導數達到最小值;方向導數等于0.推廣: 三元函數方向導數的定義對于三元函數它在空間一點沿著方向l的方向導數 ，可定義為 其中）方向導數的計算公式解令故方向余弦為求函數在此處沿方向的方向導數.是曲面例3 設 在點處的指向外側的法向量,故三、梯度設是方向l上的單位向量

3、， 當 時，有最大值.其中由方向導數公式知結論當不為零時，x軸到梯度的轉角的正切為函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為方向導數的最大值梯度的模為在幾何上 表示一個曲面曲面被平面 所截,得曲線它在xoy面上投影方程：等高線稱為等值線.等值線幾何上，稱為等高線.例如,等值線上任一點處的一個法向量為表明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，它的指向為從數值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數.值線，問題：上山時，如何選擇最快的方向？計算方法課程中的一種計算策略：“瞎子下山法” 類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數解由梯度計算公式得故則在處梯度為例4 求函數 在點處的梯度，并問在何處梯度為零？一、方向導數（注意方向導數與一般所說偏導數的區別）小 結1.定義2.計算公式二、梯度（注意梯度是一個向量）定義方向：x軸到梯度的轉角的正切模：三、方向導數與梯度的關系方向與取得最大方向導數的方向一致,模為方向導數的最大值.梯度：其中思考題問函數在某點處沿

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