1、關于拋物線的十個最值問題本文用初等方法討論了與拋物線有關的假設干幾何最值問題,得到了十個有趣的結論.為方便讀者摘用,現用定理形式表達如下:定理1.拋物線的所有焦半徑中,以過頂點的焦半徑為最短.證明:不妨設拋物線的極坐標方程為=,那么顯然有,其中等號成立當且僅當=2k+(kZ)即焦半徑通過拋物線的頂點時.證畢.定理2.拋物線的過焦點的所有弦中,以拋物線的通徑為最短.證明:設拋物線極坐標方程為=,焦點弦為AB,且設A(1,),B(2,+),那么有AB=1+2=+=2p=通徑長,其中等號成立當且僅當=k+/2(kZ)即弦AB為通徑時.證畢.定理3.設A(a,0)是拋物線y2=2px(p0)的對稱軸上

2、的定點,(x,y)是拋物線上的動點,那么Ain=證明:由A2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2=x-(a-p)2+p(2a-p),并且注意到x0,+),立知結論成立.證畢.定理4.設A(a,b)是拋物線y2=2px(p0)內一定點,F是焦點,是拋物線上的動點,那么y(A+F)in=a+p/2.QA(a,b)證明:如圖1所示,作AQ準線L:x=-p/2于Q,那么知Fx(A+F)in=AQ=a-(-p/2)=a+p/2.證畢.圖1定理5.設線段AB是拋物線y2=2px(p0)的過焦點的弦,分別以A、B為切點的拋物線的兩條切線相交于點,那么三角形AB的面積的最小值

3、為p2.證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),那么由A、F、B三點共線可得:x1y2-x2y1=p/2(y2-y1)(1)于是利用(1)式由兩切線方程yA:y1y=p(x+x1),AB:y2y=p(x+x2),Fx易得的坐標(x,y)適宜:BkFkAF=-1,FAB,即F是AB的AB邊上的高.圖2FFK(焦點F到準線x=-p/2的間隔 )=p,又由定理2知AB2p(通徑長),SAB=1/2ABF1/22pp=p2,因其中等號當且僅當ABx軸時成立,故三角形AB的最小值為p2.證畢.定理6.過拋物線y2=2px的頂點引兩條互相垂直的動弦A和B,那么三角形AB的面積的最小值為4p2.y證明:

4、設A(x1,y1),B(x2,y2),那么由AB得Ax1x2+y1y2=0(1)x將y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2(2)于是B(SAB)2=1/4A2B2圖3=1/4(x12+y12)(x22+y22)=1/4(x12+2px1)(x22+2px2)=1/4(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x21/4(x1x2)2+2px1x2(2x1x2)+4p2x1x2(3)將(2)式代入(3)那么得(SAB)216p4,從而SAB4p2,因其中等號當x1=x2=2p時取到,故三角形AB的面積的最小值為4p2。證畢.定理7.拋物線y2=2px的內接等

5、腰直角三角形的面積的最小值為4p2.證明:設RtAB內接于拋物線y2=2px,點為直角頂點,設A(x1,y1),B(x2,y2),(x3,y3),根據拋物線的對稱性以及其開口方向,不妨設y10,y2y30,并記直線A的斜率為k,那么由y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2py12/2p)及yy3-y2=-1/k(x3-x2)=-1/k(y32/2py22/2p)A可得y1=2p/ky3及y2=-2pk-y3(1)x又由A=B有B(x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2(2)圖4將x1=y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得

6、y3=(3)從而據(1)、(3)可得y1-y3=(4)于是AB的面積S=1/2A2=1/2(x1-x3)2+(y1-y3)2=(y1-y3)2=2p2()2=2p22p2=4p2.因當k=1且y3=0時上式等號成立,故等腰RtAB面積的最小值為4p2.證畢.定理8.設AB是拋物線的焦點弦,準線與拋物線對稱軸的交點為,那么AB的最大值為/2.證明:如圖5所示,設A1、B1分別是A、B在準線L上的y射影,F是焦點,連A1F和B1F,那么知AA(1)當ABF時,顯然有AB/2;FX(2)當AB與F不垂直時,由AA1A1知B1BAA1A1A/2AA1,圖5AA1/4;同理BB1/4,故有AB/2.綜合

7、(1)、(2),定理8獲證.定理9.設AB是拋物線yax2(a0)的長為定長的動弦,那么.當1/a(通徑長)時,AB的中點到x軸的間隔 的最小值為2a-1)/4a;.當1/a(通徑長)時,AB的中點到x軸的間隔 的最小值為a2/4.證明:設(x0,y0),將直線AB的參數方程y(其中t為參數,傾斜角/2)A代入yax2并整理得a(s)2t2+(2ax0s-sin)t+(ax02-y0)0,B故由韋達定理和參數t的幾何意義以及AB立得0Xt1+t2(2ax0s-sin)/a(s)20圖6t1t2(ax02-y0)/a(s)2(/2)2由解出x0并代入整理得y0(se)2(s)2對右邊前兩項利用根本不等式那么得y022a-1)/4a.于是,令(se)2(s)2,得(s)2.因此,當a1時,(y0)in2a-1)/4a;當0a1時,記(s)2x,那么式化為關于x的函數式y0f(x)x(0 x1).易證此函數是減函數,故此時(y0)inf(1).證畢.定理10.設AB是拋物線y22px的焦點弦,為坐標原點,那么三角形AB的面積的最小值為p2/2.y證明:(1)當ABx軸時,顯然有SABp2/2;A(2)當AB不垂直x軸時,設AB:yk(x-p/2),代Fx入y22px并整理得k2