數值分析實驗報告插值與擬合_第1頁
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文檔簡介

1、數值分析課程實驗報告實驗名稱班級姓名學號序號教師地點數學實驗中心評分一、實驗目的掌握多項式插值法的基本思路和步驟;了解整體插值的局限性及分段插值的基本思想。掌握最小二乘法擬合的基本原理和方法;培養運用計算機模擬解決問題的能力。二、用文字或圖表記錄實驗過程和結果1. 給定 sinllo = 0.190809,sin12。= 0.207912,sin13。= 0.224951,構造插值多項式計算 sin11o30。編程實現拉格朗日插值,并計算結果。將計算結果和查表結果進行比較。解:通過Larguage差值計算得到插值多項式:f =0.0114898*t2 + 0.970963*t + 0.0040

2、55f=Language(x,y,11.5/180*pi)計算結果為:0.199402625精確結果:0.19936793441畫圖進行比較:0.90.80.70.60.50.40.30.20.1/000.10.20.30.40.50.60.70.80.91通過觀察圖像,經比較可知兩結果是很接近的。2.區間5,5作等距劃分:氣=T + kh (k = 0,1,n), h 二四,以七(k = 0,1,,n )為節點對函數f二 進行插值逼近。(分別取n = 5,10,20 )1 + X 2(1) 用多項式插值對f頃)進行逼近,并在同一坐標系下作出函數的圖形,進行比較。寫出插值函數對f仃)的逼近程度

3、與節點個數的關系,并分析原因。(2) 試用分段插值(任意選取)對f (X進行逼近,在同一坐標下畫出圖形,觀察分段插值函數對f (x)的逼近程度與節點個數的關系。解:(1)結果分析:高次插值穩定性差,而低次插值對于較大區間逼近精度又不夠,而且,隨著節點的 加密,采用高次插值,插值函數兩端會發生激烈震蕩。解決這一矛盾的有效方法就是采用分段低次代 數插值。(2)通過采用分段線性插值得到以下結果:結果分析:通過采用分段線性插值,發現隨著插值節點增多,插值計算結果的誤差越來越小,而且分 段線性插值的優點是計算簡單,曲線連續和一致收斂,但是不具有光滑性。已知一組數據如下,求它的線性擬合曲線。X i1234

4、5yi44.5688.5編程實現最小二乘算法,并畫出其擬合曲線求出其平方誤差。解: x=1,2,3,4,5; y=4,4.5,6,8,8.5; f=ispoly(x,y,1)擬合得到的線性曲線為:y=1.25x+2.45通過計算的誤差平方和為:2.7803(3) 對于模型y(x) = aex,首先做變換z = ln(y),t =-,則有 xz =以 + P t其中,以=ln(a),p =b把原始數據變換得到(z,t)xi0.50000.33330.25000.14290.12500.1000yi4.66744.68404.69594.70054.69984.7049xi0.09090.0714

5、0.06250.05560.0526yi4.70584.70594.70744.70954.7113擬合得到:z= 4.7139 -0.0903t 進而得到擬合曲線:擬合誤差平方和為:0.4719,通過計算比較發現,通過對數變換之后得到的擬合結果比進行二次函 數擬合的結果要好很多。所以對于一些特殊的函數擬合,可以通過一些變換,進行擬合。擬合是指通過觀察或測量得到一組離散數據序列(x,七),i=1,2,m,構造插值函數9 (x)逼近客觀存在的函數y = y (x),使得向量Q = (9 (x ),9 (x ), .9 (x )了與Y = (y , y ,., y ) t的誤差或距12m12m離最

6、小。可知當基函數的選擇不同時,擬合函數的誤差也會不同,所以在對數據進行擬合時應選擇適合 的基函數。三、練習思考整體插值有何局限性?如何避免?答:整體插值的過程中,若有無效數據則整體插值后插值曲線的平方誤差會比較大,即在該數據附近 插值曲線的震動幅度較大。在插值處理前,應對原始數據進行一定的篩選,剔除無效數據。2、基函數的選擇對擬合的結果有何影響?答:基函數的選擇不同,會導致擬合后曲線與原函數的平方誤差大小不同,影響擬合的精度。3、簡述數據擬合與插值的異同。答不同點:擬合是指已知某函數的若干離散函數值f1,f2,,fn,通過調整該函數中若干待定系數 f(入1,入2,,入3),使得該函數與已知點集的差別(最小二乘意義)最小。而插值是指已知某函數的 在若干離散點上的函數值或者導數信息,通過求解該函數中待定形式的插值函數以及待定系數,使得 該函數在給定離散點上滿足約束。相同點:通過已知一些離散點集M上的約束,求取一個定義在連續集合S(

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