1、第 輸油管線的優化問題問題提出 1問題背景 某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數學模型與方法。 （1）兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設計方案。若用共用管線還應考慮共用管線與非共用管線費用相同或不同的情況。 （2）需對一更為復雜的情形進行具體的設計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區（圖中的I區域），B廠位于城區（圖中的II區域），兩個區域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20

2、。 若所有管線的鋪設費用均為每千米7.2萬元。鋪設在城區的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質，公司二和公司三具有乙級資質）進行了估算。估算結果如下表所示： 工程咨詢公司 公司一 公司二 公司三 附加費用（萬元/千米） 21 24 20 （3）為進一步節省費用，可以根據煉油廠的生產能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。 2問題分析 對于問題1:要設計輸油管線的最優鋪設方案，根據共用管線與非共

3、有管線單位費用是否相同以及是否有共用管線，找出費用最少的鋪設方案，即是鋪設線路最短。所以，要是費用最低，應該設計鋪設線路最短的方案， 對于問題2：已知兩煉油廠的具體位置，求費用最低的鋪設線路的方案，是一個非線性規劃問題。解決的問題是首先確定附加費用的大小，然后確定非線性規劃數學模型。 對于問題3：在問題二的基礎上，改變目標函數中相關系數即可得到最優解。 3模型假設 （1）假設B煉油廠離鐵路的距離大于等于A煉油廠的距離。 （2）車站的位置由方案最優解所確定。 （3）鐵路線是筆直的； （4）管道的市廠價格穩定； （5）兩煉油廠A、B及車站所在位置視為三個質點； （6）三個質點位于同一平面內 4符號

4、說明 A表示煉油廠1； B表示煉油廠2； E表示站點； x軸表示鐵道； a表示煉油廠A到鐵路線的垂直距離； b表示煉油廠B到鐵路線的垂直距離； c表示A、B間相對于鐵路的水平距離； z表示鋪設管道的路線總長度； W表示鋪設管道所用的總費用； 表示共用管線與非共用管線費用相同時每千米的單價； 表示共用管線與非共用管線費用不相同時，共用管線每千米的單價； 表示共用管線與非共用管線費用不同時，非共用管線每千米的單價； 5模型的建立與求解 5.1問題1模型的建立與求解 由兩廠A、B向鐵道做垂線，A與B垂線間的距離為c，建立平面直角坐標系（如圖1至圖4）,設點A，B。 5.1.1當時,輸油管線的設計方案

5、 當c=0時，煉油廠A，B在一條垂直于鐵路的直線上，因此得方案1（如圖1）：將車站建在坐標原點,鋪設共用管線OA及非共用管線AB。此時鋪設管線總長度最小為，即鋪設管線總費用最省。 當共用管線與非共用管線單位費用相同時，最少費用為： 當共用管線與非共用管線單位費用不同時，最少費用為：0 圖1圖2 5.1.2當時，輸油管線的設計方案 （1）若不鋪設共用管線 如圖2,作點A關于x軸(鐵路線)的對稱點，連接B與X軸交于點E，易求E,依據三角形兩邊之和大于第三邊可知EA與EB長度之和最小。因此可得方案2：如圖2,將車站建在E點,鋪設非共用管線EA及EB。此時鋪設管線總長度最小為，即鋪設管線總費用最省。最

6、少費用為： （2）若鋪設共用管線 問題的目標是鋪設管線總長度最小，因此鋪設管線共用管線最合理的方式是共用管線與鐵路線垂直。如圖3，設三管線的聯結點為Q，過點Q作平行于x軸的直線L。首先在在直線L上尋找使QA與QB長度最小的點Q，與（1）同理作點A關于直線L的對稱點，連結B與直線L交于點Q,Q即為所尋找點。 圖3圖4 因此，鋪設管線總長度為： ，此時應有，令 得駐點。 當，即時，z取得最小值。此時易求,。 因此可得方案3：將車站建在點E（）,鋪設共用管線EQ及非共用管線QA與QB。此時鋪設管線總長度最小為，即鋪設管線總費用最?。?共用管線單位費用與非共用管線單位費用相同 共用管線單位費用與非共用

7、管線單位費用不同時 當，即時,，所以z在y上為增函數，所以當y=0時，z取得最小值。此時按方案2鋪設管線總費用最省。 當，即時,，所以z在y上為減函數，故當y=a時，z取得最小值。因此可得方案4：如圖4，將車站建在坐標原點,鋪設共用管線OA及非共用管線AB。此時鋪設管線總長度最小為，即鋪設管線總費用最省。 共用管線單位費用與非共用管線單位費用相同時 共用管線單位費用與非共用管線單位費用不同時 綜上可得，針對a、b、c不同關系下的各種情形，得管線鋪設的最佳方案如下： a、b、c的關系 最佳方案選擇 方案4 方案3 方案2 方案1 最低費用W （3）若鋪設共用管線且共用管線單位費用與非共用管線單位

8、費用不同 設共用管線單位費用為非共用管線單位費用的倍，即=。 運用（2）所用方法同理可得各種情形下管線鋪設的最佳方案：求得 ，E（，0），Q(,) C的取值 方案選擇 方案4 方案3 方案2 方案1 最低費用W 5.2問題2模型的建立與求解 5.2.1對各因素權重的確定 通過引入兩個因素對附加費用影響的程度大小的比值得到成對比較矩陣如下： 其中=2即表示公司一和公司二對附加費用的影響之比為2:1；=1即表示公司二和公司三對附加費用的影響之比為1:1。求出對比矩陣的最大特征根為，對應的特征向量歸一后為 即3種因素在弊端指數中所占的權重，由此我們可以得到 所以附加費用為： 5.2.2模型建立與求解 圖6圖7 設點，則鋪設管線的總長度為（如圖6）： 建立目標函數：Min 約束條件： 輸入lingo2（見附錄）程序得到：萬元（如圖7)。 5.3問題3的模型建立與求解 5.3.1模型建立 如圖6所示，建立目標函數