1、1 21 21 21 21 12 用視角：將零散的知識，系化網絡化1 21 21 21 21 12 微專題：元二次方程 根與系數的關系（韋達定理） 【題根系的系韋達定理）：如果一元二次方程 axbx ( a (0) 的數根分別為： ，由解方程的公式法得： b ac， x a a； 那么可推得 x , x ；是一元二次方程根與系數的關系； 【例例 、知關于 x 的元二次方程 23)20 有個不相等的實數根 x ，x ； 1（1求 k 的值范圍；（2）若 1求 k 的；x 例 、于 x 的一元二次方程 2(3)x2（1證明：方程總有兩個不相等的實數根；（2設這個方程的兩個實根為 ， ， ，求 m

2、的值及方程的根例 、知 m21，n2n1，且 的為_第1頁 1 1 1 21 1 1 1 2 1 1 2 1 21 1 1 1 21 1 1 1 2 1 1 2 1 21 2 21 1 21 2【納一二方根系的系十世的國學韋發，所通把定稱“韋達理；定：果元次程 b cbx0(a0)的個為 x ， ，那： ，x x .說：用與數關求，熟掌以等變： 1 x2 )2 x ， ， x )2 )24x ， 1 1 2 1 2 x x x 1 1 | ( ) 2 x 2|， x2x2 x ( x )，3 x x (x x )等；【特別說明】在今后的解題過程，如果僅僅由韋達定理解題時，必須考慮到根的判別式

3、否大于或大于零； 因為，韋達定理成立的前提是一二次方程 實數根；【時習知關于 的元二次方程 m 1 ( 有個相等的實數根 x .若 4m 的是 ) xA2 B1 1 D不存在、知 x ，x 是于 的元次方程 2xa0 的個實數根，且 xx，則 a、 a， 是方程 xx2 022 的個實數根，則 a2b 的為、知關于的一元二次方程 mx x 12有兩個不相等的實數根；（1求 m 的值范圍；（2當方程一個根為 時求 m 的以及方程的另一個根、知關于 的一元二次方程 x ，（1若方程有兩個相等的實數根，求 m的值；2若方程兩實數根之積等于 mm ，求 m 的第2頁1 21 21 21 2 1 1 1

4、 21 12 3 51 21 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 21 21 21 2 1 1 1 21 12 3 51 21 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 微專題：元二次方程 根系數的關系（韋達定理）【題根系的系韋達定理）：如果一元二次方程 axbx ( a (0) 的數根分別為： ，由解方程的公式法得： b ac， x a a； 那么可推得 x , x ；是一元二次方程根與系數的關系； 【例例 、知關于 x 的元二次方程 23)20 有個不相等的實數根 x ，x ； 1（1求 k 的值范圍；（2）若 1求 k 的；x 【示注：先過別確參的值圍【析（1）題

5、 (2k3)40解得 k ，所以 的取范圍 ； 1 x k（2）題， ， x 2，所， 11 x x 解 k ，k ，因 ，所，；1 2 4【說明】一元二次方程的根與系關系：首先，通過判別式保證有根，然后，根與系數關系再結代數變換。 例 、于 x 的一元二次方程 2(3)x2（1證明：方程總有兩個不相等的實數根；（2設這個方程的兩個實根為 ， ， ，求 m 的值及方程的根【示注：與數系代變的匯【析（1）證明一二方 x3)x2，因，a，(3m，2所，b24ac)2 .所， 成，則程有個相的數c （2）為x 2， x m，且x | ，以x ， 異， ， 0 ，上式簡 x 2，m3， ，方化 210

6、，解得 x 1 ，x 1 2若 x ， ，式簡( x 2 ，即 m5，方程為 xx，解 x ，x 26.第3頁n n n n n n n 1 1 1 21 1 1 1 21 1 2 1 1 2 1 21 2 21 1 21 2 n n n n n n n 1 1 1 21 1 1 1 21 1 2 1 1 2 1 21 2 21 1 21 2 1 21 21 2【說明】在保證有根并且確定根系數關系基礎上，要根據題設與代數變換特點“挖掘與發現”含條件；例 、知 m2m1，n210，且 的為【示由設慮整計”【案； 1 1 2【析由知n0則 1 0即 ， 1 又 m2m10， ，即 m ，所 m，

7、是程 x 的兩根則 m ；故mn1 m1 21；【說明】對于“多”參數或字母計算；先化簡后求值、整體計算往往是“切入點”；當然，本中結合“構造” 根與系數關系解之，是“亮點”【納一二方根系的系十世的國學韋發，所通把定稱“韋達理；定：果元次程 b cbx0(a0)的個為 x ， ，那： ，x x .說：用與數關求，熟掌以等變： 1 x2 )2 x ， ， x )2 1 1 2 1 2 x x x 1 )4 ，| 1 2( x ) 1 22 1 |， x2x2 x ( x )，3 x x (x x )等；【特別說明】在今后的解題過程，如果僅僅由韋達定理解題時，必須考慮到根的判別式 否大于或大于零；

8、 因為，韋達定理成立的前提是一二次方程 實數根；【時習知關于 的元二次方程 m 1 ( 有個相等的實數根 x .若 4m 的是 ) xA2 B1 1 D不存在 【案A；0，【析由知 m4 4 0，解 且 0.m2m 1 1 m ，x ， m，m 或1.，2. 1 m 1 2 4 x x 1、知 x ，x 是于 的元次方程 2xa0 的個實數根，且 xx 【案，則 a第4頁1 1 21 2 1 1 21 21 2 用視角：將零散的知識，系化網絡化1 1 21 2 1 1 21 21 2 【析由知 ， x ，2x2(x 10， 2，x 2x )x 254a4，、 a， 是方程 xx2 022 的個實數根，則 a2b 的為【案2 021【析由知，2a 0，a22aaa 12 、知關于 x 一元二次方程 mx2 x 12有兩個不相等的實數根；（1求 m 的值范圍；（2當方程一個根為 時求 m 的以及方程的另一個根【案（1） 且 （） m ，程另個為 【析（）題得 m m ， ，得 m 且 ；（2）方一根 1 代方 mx2 x 12 得： ，得 m ，設一根 ，據達理得a 2 5 2，得 15，方的一根 、知關于 的元二次方程 ，（1若方程有兩個相等的實數根，求 m 的；）若方程兩實數根之積等 m ， 的【案（1） m ；）4【析（1）程兩等根則