1、第三單元 根本初等函數知識體系2021屆高考迎考復習更多資源請點擊： :/高中教學網第六節 函數模型及其應用根底梳理1. 常見的幾種函數模型(1)一次函數型 ; (2)反比例函數型 ; (3)二次函數型 ;(4)指數函數型 (增長率問題);(5)對數函數型 ;(6)冪函數型 ;(7)分段函數型.y=kx+b(k0);2. 對于指數函數y=ax(a1),冪函數y=xn(n0),對數函y=logax(a1),總會存在一個x0,當xx0時,有 logaxxn500時, (元),方案B從500分鐘以后,每分鐘收費0.3元.(3)由圖知,當0 x60時,fA(x)fB(x);當60 x500時,fA(x

2、)= x+80,fB(x)=168,聯立得x=293 ,因此當60 x293 時,fA(x)fB(x);當293 x500時,fB(x)500時,顯然fB(x)293 分鐘,即通話時間為293 分鐘以上時,方案B才會比方案A優惠.學后反思 (1)現實生活中很多問題都是用分段函數表示的,如出租車費用、個人所得稅、話費等,分段函數是刻畫現實問題的重要模型.(2)分段函數是同一個函數在不同階段的變化規律不同的函數.要注意各段變量的范圍,特別是端點值,尤其要注意.舉一反三1.(創新題南京市有甲，乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設備和效勞都很好，但收費方式不同。甲俱樂部每張球臺每小時5元；乙俱樂部按月計費，一個

3、月中30小時以內含30小時每張球臺90元，超過30小時的局部每張球臺每小時2元，小張準備下個月從這兩家俱樂部中的一家族一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時。1設在甲俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費f(x)元(15x40)，在乙俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費g(x)元(15x40)，試求f(x)和g(x);2你認為校長選擇哪家俱樂部比較合算？請說明理由；解析 （1）f(x)=5x,15x40, g(x)= (2) 若15x30,且當5x=90時,x=18 即當15x18時,f(x)g(x)；當x=18時,f(x)=g(x)； 當18g(x) 若3030+2x恒成

4、立,即f(x)g(x)恒成立。 綜上所述，當15x18時，小張選甲俱樂部比較合算； 當x=18時，兩家一樣合算 當18x40時，小張選乙俱樂部比較合算。題型二 二次函數模型【例2】某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料,根據以前的統計數據,假設零售價定為每瓶4元,每月可銷售400瓶;假設每瓶售價每降低0.05元,那么可多銷售40瓶.在每月的進貨量當月銷售完的前提下,請你給該商店設計一個方案:銷售價應定為多少元和從工廠購進多少瓶時,才可獲得最大的利潤?分析 構建二次函數模型,轉化為二次函數的最值問題.解 設銷售價為x元/瓶,那么根據題意(銷售量等于進貨量),正好銷售完的進貨量為 ,即400(9-

5、2x)瓶.此時所得的利潤為f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27).根據函數的性質,當x=3.75時,f(x)取最大值450.這時的進貨量為400(9-2x)=400(9-23.75)=600(瓶).所以銷售價應定為每瓶3.75元,以及從工廠購進600瓶時,才能獲利最大.學后反思 二次函數模型的建立可以求出函數的最值,解決實際生活中的最優化問題,但一定要注意自變量的取值范圍.舉一反三2某商場銷售一種服裝，購進價是每件42元，根據試裝得知這種服裝每天的銷售量t件與每件的銷售價x元/件)可看成是一次函數關系：t=-3x+2041寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤y與每

6、件的銷售價x之間的函數關系每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價與購進價格差；(2商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定位多少？最為適宜最大銷售利潤為多少？解析： (1)由題意，銷售利潤y與每件的銷售價x之間的函數關系為y=(x-42)(-3x+204),即(2)對 配方，得當每件的銷售價為55元，可取的最大利潤，每天最大銷售利潤為507元。題型三 指數模型的應用【例3】某城市2021年有人口100萬,如果年增長率為1.2%,(1)寫出該城市人口總數y(萬人)與年份x(年)的函數關系式;(2)10年后,該城市人口到達多少萬?(3)計算大約到哪一年該市人口達120萬?分析 此題為人口增長率

7、問題,可以通過計算每年的人口總數與年份的關系來探究出規律,建立指數型函數模型來解決.解 (1)1年后該城市人口總數為y=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后該城市人口總數為y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2,3年后該城市人口總數為y=100(1+1.2%)3,x年后該城市人口總數為 .(2)10年后,人口數為100(1+1.2%)10112.7(萬人).(3)設x年后該城市人口將達到120萬人,即100(1+1.2%)x=120, =log1.0121.2015.28(年),取x=16(年).即大約到2024年,該市人口達到1

8、20萬人.舉一反三3.一種放射性元素，最初的質量為500g，按每年10%衰減。1求t年后，這種放射性元素質量w的表達式；2求這種放射性元素的半衰期精確到0.1年。解析 （1）最初的質量為500g，經過1年，w=500(1-10%)=500經過2年,經過t年,(2)由題意兩邊取對數，有即這種放射性元素的半衰期為6.6年題型四 函數模型的綜合應用【例4】 14分某工廠有一段舊墻長14 m,現準備利用這段舊墻為一面，建造平面圖形為矩形，面積為126 m2的廠房，工程條件是：(1)建1 m新墻費用為a元；(2)修1 m舊墻費用是 元；(3)拆去1 m舊墻,用所得材料建1 m新墻費用為 元，經過討論有兩

9、種方案：利用舊墻的一段x mx14為矩形廠房一面的邊長；矩形廠房利用舊墻的一邊邊長x14,問:如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？兩種方案哪種更好？分析 利用舊墻為一面建立平面矩形,設此面邊長為x m,那么另一面邊長為 解 (1)利用舊墻的一段x m(x14),則修墻費用 元,1將剩余舊墻拆得材料建新墻費用為 元,其余建新墻的費用為 元3總費用當且僅當 ,即x=12 m時，ymin=35a6 (2)利用舊墻的一面，矩形邊長x14,那么修舊墻費用為 元,建新墻費用為 元8總費用綜上所述，采用第一種方案，利用舊墻的12 m為矩形的一面邊長時，建墻費用最省. 14學后反思 此題關鍵在于以建墻

10、費用為目標函數建立函數關系式，而難點在于求函數的最小值，兩種方案的函數式結構外表相似，一個可用不等式求最值，另一個那么必須改用單調性求最值.舉一反三4. 某公司欲投資13億元進行工程開發,現有以下6個工程可供選擇. 設計一個投資方案,使投資13億元所獲利潤大于1.6億元,那么應選的工程是_(只需寫出工程的代號).項目ABCDEF投資額(億元)526461利潤(億元)0.550.40.60.50.90.1解析： 當投資為13億元時,有以下兩種投資選擇方案:f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(億元);f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(億元).答案： A

11、、B、E或B、D、E、F考點演練10.某鄉企業有一個蔬菜生產基地共有8位工人，過去每人年薪為1萬元，從今年起，方案每人每年的工資比上一年增加20%，并每年新招3為工人，每位新工人第一年年薪為8千元，第二年開始拿與老工人一樣數額的年薪，求第n年付給工人的工資總額y萬元表示成n的函數表達式.解析 n年共有工人3n+8位，其中有3位新工人，3n+8-3=3n+5位老工人，老工人的工資總額為 ，3位新工人的工資為30.8=2.4.故n年付給工人的工資總數為 所以11（2009湖南）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩。經計算，一個橋墩的工程費用為256

12、萬元；距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為 萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元。（1）試寫出y關于x的函數關系式；（2)當m=640米時，需新建多少橋墩才能使y最小？解析 （1）設需新建n個橋墩，則(n+1)x=m，即 所以y=f(x)=256n+(n+1)（2）由（1）知，令 ，得 .所以x=64當0 x64時， ,f(x)在區間（0，64）內為減函數；當64x640時， ,f(x)在區間（64，640)內為增函數.所以f(x)在x=64取得最小值。此時故需新建9個橋墩才能使最小12.(2009濟寧模擬）某廠家擬在2010年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元(m0)滿足 （k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件。已知2010年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括