1、三角函數(shù)的綜合應用三角函數(shù)的綜合應用3.求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界 性,一般通過三角變換化為下列基本類型處理: (1)y=asin x+b,設t=sin x化為一次函數(shù)y=at+b在閉 區(qū)間t-1,1上的最值問題; (2)y=asin x+bcos x+c,引入輔助角 化為 求解方法同類型(1); (3)y=asin2x+bsin x+c,設t=sin x,化為二次函數(shù)y= at2+bt+c在t-1,1上的最值問題; 3.求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界 (4)y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c,設t=sin x cos x,化為二次函數(shù)

2、在閉區(qū)間t- ,2上的最值問題;(5) 設t=tan x,化為 用判別式法求值;當ab0時,還可用基本不等式求最值;(6) 根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,既可以用分析法求最值,也可以用不等式法或數(shù)形結合法求最值.(4)y=asin xcos x+b(sin xcos x4.求三角函數(shù)的最值的主要方法: (1)配方法;(2)化為同一個角的三角函數(shù);(3)數(shù)形 結合法;換元法;基本不等式法.5.用換元法解題,特別要注意sin xcos x與 sin xcos x的關系，令sin xcos x=t，則 sin xcos x=6.討論三角函數(shù)的單調(diào)性,解三角不等式,要注意數(shù) 形結合思想的運用.注意函數(shù)性質在解

3、題中的運用.7.若一個函數(shù)為周期函數(shù),則討論其有關問題,可先研 究在一個周期內(nèi)的情形,然后再進行推廣. 4.求三角函數(shù)的最值的主要方法: 基礎自測1.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為 20 km,現(xiàn)測得ABC=120,則A、C兩地的距離為 _ km. 解析基礎自測2.(2009安徽改編)設函數(shù)f(x)= +tan ,其中 則導數(shù)f(1)的取值范圍 是_. 解析 由已知f(x)=sin x2+ cos x,2.(2009安徽改編)設函數(shù)f(x)= 3.當x(0, )時函數(shù) 的 最小值是_. 解析 0 x 0tan x1 當tan x= 時,f(x)取的最小值4. 43.當x(

4、0, )時函數(shù) 4.若ABC的三邊長a,b,c成等比數(shù)列且sin B+cos B =k,則實數(shù)k的范圍是_. 解析4.若ABC的三邊長a,b,c成等比數(shù)列且sin B+co【例1】已知00,0),x0,4的圖象,且圖象的最高點為 賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參 賽運動員的安全,限定MNP=120. (1)求A,的值和M,P兩點間的距離; (2)應如何設計,才能使折線段賽道MNP最長？【例2】(2009福建)如分析 主要通過建立三角函數(shù)模型求解,但要求解 析式和設角求解. 解 (2)在MNP中,MNP=120,MP=5.設PMN= ,則0 60.由正弦定理得分析 主要通過建立三角函數(shù)模型

5、求解,但要求解 0 60,60 +60120,當 =30時,折線段賽道MNP最長.即將PMN設計為30時,折線段賽道MNP最長. 三角函數(shù)的綜合應用跟蹤練習2 已知a= b= f(x)=ab. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)若y表示某海岸港口的深度(m),x表示一天內(nèi)的 時間(h)；當水深不低于5 m時，船才能駛入港口, 求一天內(nèi)船可以駛入或駛出港口的時間共有多少 小時？ 解跟蹤練習2 已知a= b=則12k+1x12k+5,(kZ).又0 x24,1x5或13x17.則一天內(nèi)船可以駛入或駛出港口的時間共有8小時. 三角函數(shù)的綜合應用【例3】 (2010揚州調(diào)研)已知函數(shù) (1)當

6、a=1時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當a0,且x0,時,f(x)的值域是3,4,求 a,b的值. 求單調(diào)區(qū)間關鍵是轉化為y=Asin(x+ ) 的形式,注意a的討論,求值域要利用單調(diào)性. 解分析【例3】 (2010揚州調(diào)研)已知函數(shù) 分析三角函數(shù)的綜合應用跟蹤練習3 設關于x的函數(shù)y=2cos2x-2acos x-(2a+1) 的最小值為f(a). (1)寫出f(a)的表達式; (2)試確定能使f(a)= 的a值,并求此時函數(shù)y的最 大值. 解跟蹤練習3 設關于x的函數(shù)y=2cos2x-2acos x(2)當a-2時,f(a)=1,則f(a)= 無解;解得a=-1或a=-3(舍去).(

7、2)當a-2時,f(a)=1,則f(a)= 無解;【例4】(12分)(2009山東)已知函數(shù)f(x)= 在x=處 取最小值. (1)求 的值; (2)在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知 a=1,b= f(A)= 求角C. 轉化為y=Asin(x+ )的形式,但要和正弦 定理相結合求解.分析【例4】(12分)(2009山東)已知函數(shù)f(x)=分析解題示范解解題示范三角函數(shù)的綜合應用跟蹤練習4 已知A,B是ABC的兩個內(nèi)角,向量a= (1)證明:tan Atan B為定值; (2)當tan C取最大值時,求ABC的三個內(nèi)角的大小. (1)證明跟蹤練習4 已知A,B是ABC的兩個內(nèi)

8、角,向量a= (2)解(2)解三角函數(shù)的綜合利用主要體現(xiàn)在和其它知識相結合, 利用圖象變換求解問題,高考一般在解三角形的問題中出現(xiàn). 1.三角函數(shù)作為工具,和其他知識的聯(lián)系比較密切, 因此,要關注三角與向量、解三角形、立體幾何、 解析幾何、復數(shù)等知識的綜合.思想方法 感悟提高高考動態(tài)展望方法規(guī)律總結思想方法 感悟提高高考動態(tài)展望方法規(guī)律總結2.向量與三角知識綜合,體現(xiàn)了知識的交匯，這是高 考命題的熱點. 3.在三角形中,求解三角函數(shù)問題,要注意A+B+C= 這一隱含條件的使用.4.三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),也是以實數(shù)為自 變量的函數(shù),實際問題中,通過設角為參數(shù),將實際 問題轉化為我們熟知的

9、三角函數(shù)模型,從而使三角 知識來源于實際,同時又廣泛地應用于實際.5.關于以三角函數(shù)為模型的實際問題往往背景比較復 雜,具有很強的現(xiàn)實生活色彩，語言表述服從于各 自的實際背景,因此在解決類似實際問題時要注意2.向量與三角知識綜合,體現(xiàn)了知識的交匯，這是高 自變量的范圍,注意數(shù)形結合，通過觀察圖形獲得 本質認識,審題要細致,涉及復雜數(shù)據(jù)的,可借助相 關信息技術工具進行處理. 6.解決三角函數(shù)應用題一般有兩類題型:第一是函數(shù) 擬合,第二是利用函數(shù)求最值，都必須按照一般應 用題的解題步驟分為以下幾步: (1)詳細審題,理清問題中的等量或不等關系; (2)建立函數(shù)模型(即將關系數(shù)學化)，或寫出函數(shù) 解

10、析式,或寫出由三角函數(shù)構成的不等式; (3)討論變量性質,解決相應數(shù)學問題; (4)得出結論. 自變量的范圍,注意數(shù)形結合，通過觀察圖形獲得 一、填空題1.(2009濟寧期末)已知a=(cos 2,sin ),b= (1,2sin -1), 若ab= 則 的值為_. 解析 ab=cos 2+2sin2-sin =1-2sin2+2sin2-sin =1-sin =定時檢測定時檢測答案 三角函數(shù)的綜合應用2.(2008江蘇)若AB=2,AC= BC,則SABC的最大值 是_. 解析 設BC=x,則AC= 根據(jù)面積公式得 根據(jù)余弦定理得 將其代入上式得2.(2008江蘇)若AB=2,AC= BC,

11、則SA 由三角形三邊關系有 故當x= 時,即x2-12=0時, SABC取得最大值 答案三角函數(shù)的綜合應用3.(2009肇慶期末)定義運算a*b=a2-ab-b2,則 =_. 解析3.(2009肇慶期末)定義運算a*b=a2-ab-b2,4.(2009廣州第二次聯(lián)考)已知a,b,x,yR,a2+b2= 4,ax+by=6,則x2+y2的最小值為_. 解析 因為a2+b2=4, 可設a=2sin ,b=2cos , 則xsin +ycos =3. 故 的最小值為3,即x2+y2的最小值為9. 94.(2009廣州第二次聯(lián)考)已知a,b,x,yR,a25.(2010宿州模擬)若函數(shù)f(x)=sin

12、(x+)-2cos(x- )是偶函數(shù),則cos 2=_. 解析 f(x)=(cos -2sin )sin x+(sin - 2cos )cos x是偶函數(shù), 故cos -2sin =0,cos =2sin , cos2+sin2=5sin2=1,5.(2010宿州模擬)若函數(shù)f(x)=sin(x+)-6.(2010泰州調(diào)研)函數(shù)f(x)= 的最小值是_. 解析6.(2010泰州調(diào)研)函數(shù)f(x)=7.(2009福建文)已知銳角ABC的面積為 BC= 4,CA=3,則角C的大小為_. 解析 由題知,607.(2009福建文)已知銳角ABC的面積為 BC8.(2010蘇南四市模擬)俗話說“一石激起

13、千層浪”, 小時候在水上打“水漂”的游戲一定不會忘記吧. 現(xiàn)在一個圓形波浪實驗水池的中心已有兩個振動源, 在t秒內(nèi)，它們引發(fā)的水面波動可分別由函數(shù)y1= sin t和y2= 來描述,當這兩個振動源同時 開始工作時,要使原本平靜的水面保持平靜，則需 再增加一個振動源(假設不計其他因素，則水面波 動由幾個函數(shù)的和表達)，請你寫出這個新增振動 源的函數(shù)解析式_.8.(2010蘇南四市模擬)俗話說“一石激起千層浪”, 解析答案解析9.(2010南通模擬)2002年在北京 召開的國際數(shù)學家大會，會標是 以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為 基礎設計的.弦圖是由四個全等直 角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形

14、(如 圖).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為 25,直角三角形中較小的銳角為,那么cos 2 的值 等于_. 9.(2010南通模擬)2002年在北京解析 大正方形面積為25,小正方形面積為1,大正方形邊長為5,小正方形的邊長為1.5cos -5sin =1,cos -sin = 是直角三角形中較小的銳角,答案解析 大正方形面積為25,小正方形面積為1,二、解答題10.(2008福建)已知向量m=(sin A,cos A),n= mn=1,且A為銳角. (1)求角A的大小; (2)求函數(shù)f(x)=cos 2x+4cos Asin x (xR)的值域. 解 (1)由題意得mn= sin

15、A-cos A=1, 二、解答題(2)由(1)知cos A= 所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x因為xR,所以sin x-1,1,因此,當sin x= 時,f(x)有最大值當sin x=-1時,f(x)有最小值-3.所以所求函數(shù)f(x)的值域是(2)由(1)知cos A= 11.(2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)= (R,xR)的最 小正周期為,且圖象關于直線x= 對稱. (1)求f(x)的解析式; (2)若函數(shù)y=1-f(x)的圖象與直線y=a在0, 上 只有一個交點,求實數(shù)a的取值范圍. 解 函數(shù)f(x)的最小正周期為,11.(2010蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=三角函數(shù)的綜合應用 (2)y=1-f(x)= 在同一坐標系中作出 和y=a的圖象:由圖可知,直線y=a在a 或a=1時,兩曲線只有一個交點,a 或a=1. (2)y=