1、第67講 二項式定理2021/8/8 星期日11.掌握二項式定理及其通項公式，并會利用二項式定理及其通項公式解決有關多項式化簡和展開式的項或項的系數相關的問題.2.掌握二項式系數的相關性質，會求展開式的系數和，能利用二項式定理進行近似計算、證明整除問題，證明不等式等綜合問題.2021/8/8 星期日2B解析2021/8/8 星期日3B解析易錯點2021/8/8 星期日4D解析易錯點2021/8/8 星期日5解析3易錯點2021/8/8 星期日61161解析2021/8/8 星期日71.二項式定理(a+b)n= . .這個公式所表示的定理叫做 ,右邊的多項式叫做(a+b)n的 .特別地,(1x)

2、n= .2.展開式的特點(1)共有 項. an+ an-1b1+ an-2b2+ an-rbr+ bn(nN*)二項式定理展開式1 x+ x2+(1)n xnn+12021/8/8 星期日8(2)各項的次數和都等于二項式的冪指數 ,即a與b的指數和為n.(3)字母a按 排列，從第一項開始，次數由 逐項減1直到 ,字母b按 排列,從第一項起,次數由 逐項增1直到 .(4)二項式的系數依次為 , , , .3.二項式的展開式的通項二項式展開式的第r+1項是Tr+1= .n降冪n零升冪11零12n13 an-rbr2021/8/8 星期日94.二項式系數與展開式的系數第r+1項的二項式系數即 ,而展

3、開式的第r+1項系數是該項的 (含項的性質符號)，是兩個不同的概念.5.二項式系數的性質(1)二項式系數的結構規律和等量關系.在二項展開式中,與首末兩端 “ ”的兩項的二項式系數相等,即 .1415常數部分等距離16172021/8/8 星期日10(2)二項式系數的大小規律.如果二項式的冪指數是偶數，中間一項即 的二項式系數最大;如果二項式的冪指數是奇數;中間兩項即 與 的二項式系數相等且最大.(3)二項式系數的和 .當n為偶數時, + + = .當n為奇數時, + + + = .1819202122232021/8/8 星期日11題型一 二項式的通項公式及應用例12021/8/8 星期日12

4、解析2021/8/8 星期日13評析2021/8/8 星期日14變式1解析2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16題型二 可化為二項式問題及解法 例2解析2021/8/8 星期日17評析2021/8/8 星期日18 設f(x)是定義在R上的一個給定的函數,函數g(x)= f( )x0(1-x)n+ f( )x(1-x)n-1 + f( )x2(1-x)n-2+ f( )xn(1-x)0(x0,1). (1)當f(x)=1時，求g(x); (2)當f(x)=x時，求g(x).變式22021/8/8 星期日19 (1)當f(x)=1時,g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1

5、+ xn=(1-x)+xn=1.(2)當f(x)=x時，g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+ xn.因為 = ,所以g(x)= x(1-x)n-1+ x2(1-x)n-2+ xn=x (1-x)n-1+ x(1-x)n-2+ xn-1=x(1-x)+xn-1=x.解析2021/8/8 星期日20題型三 展開式系數和問題及求法 例32021/8/8 星期日21解析2021/8/8 星期日22評析2021/8/8 星期日23變式3解析2021/8/8 星期日24若nN且n1,求證:2(1+ )n3. (1+ )n=1+ + + 1+ =2.又(1+ )n=2+ + +2+ + + 2+ + +=2+ =3- 3,故原不等式成立.證明2021/8/8 星期日251.二項式定理的應用常見的問題有：求展開式的某一項或適合某種條件的項；求展開式各項系數的和；取二項展開式的前幾項進行近似計算；證明組合數等式；整數與整式的整除問題;證明不等式.因此必須牢固掌握二項展開式及其通項公式的結構與特征、二項式系數的性質等基本理論.2021/8/8 星期日262.關注二項式定理問題“四大熱點、六條規律”.(1)四大熱點是：通項運用型；系數配對型；系數和差型；綜合應用型.(2)六條規律是：常規問題通項分析法；系數配對型問題分配法；系數和差型問題賦值法；近