1、高三數(shù)學復習立體幾何平行與垂直證明高三數(shù)學復習立體幾何平行與垂直證明22/22高三數(shù)學復習立體幾何平行與垂直證明高三數(shù)學復習立體幾何中的平行與垂直的證明一、平面的根天性質(zhì)公義1：公義2：推論1：推論2：推論3：公義3：二、空間中直線與直線的地點關(guān)系平行：訂交：異面：三、平行問題1直線與平面平行的判斷與性質(zhì)定義判判定理性質(zhì)性質(zhì)定理圖形條件a結(jié)論abaab面面平行的判斷與性質(zhì)判斷性質(zhì)定義定理圖形條件，a?結(jié)論aba平行問題的轉(zhuǎn)變關(guān)系：四、垂直問題一、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)的都垂直，就說直線l與平面相互垂直2直線與平面垂直的判判定理及推論文字語言圖形語言符號語言一條直線

2、與一個平面內(nèi)的兩條訂交直線都判判定理垂直，那么該直線與此平面垂直假如在兩條平行直線中，有一條垂直于平推論面，那么另一條直線也垂直這個平面3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言垂直于同一個平面的性質(zhì)定理兩條直線平行4.直線和平面垂直的常用性質(zhì)直線垂直于平面，那么垂直于平面內(nèi)隨意直線垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行二、平面與平面垂直1平面與平面垂直的判判定理文字語言圖形語言符號語言一個平面過另一個平判判定理面的垂線，那么這兩個平面垂直2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于交線的性質(zhì)定理直線垂直于另一個平面種類一、平

3、行與垂直例1、如圖，三棱錐ABPC中，APPC,ACBC,M為AB中點，D為PB中點，且PMB為正三角形。求證：DM平面APC；求證：平面ABC平面APC；假定BC4，AB20，求三棱錐DBCM的體積。AMPCDB例2.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，AB22，M，N分別是棱CC1，AB中點.C1求證：CN平面ABB1A1；A1BM1求證：CN/平面AMB1；C求三棱錐B1AMN的體積ANB【變式1】.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1平面ABC，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D,E,F分別是B1A,CC1,BC的中點。1

4、求證：DE/平面ABC；C1B12求證：B1F平面AEF；A13設(shè)ABa，求三棱錐DAEF的體積。EDFBCA二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3、如圖4，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，BD2AD4，AB2DC251求證：BD平面PAD；2求三棱錐APCD的體積例4、如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點，CG1CB.3I求證：PCBC；II求三棱錐CDEG的體積；IIIAD邊上能否存在一點M，使得原由。PA/平面MEG。假定存在，求AM的長；否那么，說明【變式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底

5、面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求證：AC平面BB1C1C；()A1B1上能否存一點P，使得DP與平面BCB1與平面三、三視圖與折疊問題例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。假定F為PD的中點，求證：AF面PCD；1證明：BD面PEC；2求三棱錐EPBC的體積。ACB1都平行？證明你的結(jié)論.24244正視圖側(cè)視圖44俯視圖PEBACD例6.四邊形ABCD是等腰梯形，AB3,DC1,BAD45,DEAB如圖1?，F(xiàn)將ADE沿DE折起，使得AEEB如圖2，連結(jié)AC,AB。I求證：平面ADE平面ACD；II試在棱AB上確立一點M，使截面EMC把幾何體分紅

6、兩局部的體積比VADCME:VMECB2:1；III在點M滿足II的狀況下，判斷直線AD能否平行于平面EMC，并說明原由。AAEBMEDCC圖1D圖2【變式3】一個四棱錐的直觀圖和三視圖如以以下圖所示，E為PD中點.I求證：PB/平面AEC；II求四棱錐CPAB的體積；假定F為側(cè)棱PA上一點，且PF，那么為什么值時，F(xiàn)APA平面BDF.PEDABCB【變式4】如圖1所示，正ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是的中點?，F(xiàn)將ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD如圖21試判斷翻折后直線AB與平面DEF的地點關(guān)系，并說明原由；2求三棱錐C-DEF的體積。AAEDCDFBBAC

7、，BCECF圖1圖2四、立體幾何中的最值問題例7.圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的隨意一點，A1A=AB=2.(1)求證:BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.A1ABC圖4例8.如圖，在ABC中，B=，ABBC2,P為AB邊上一動點，PD/BC交AC2于點D,現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD.1當棱錐APBCD的體積最大時，求PA的長；2假定點P為AB的中點，E為AC的中點，求證：ABDE.【變式5】如圖3，在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，APAB2，AEF，當變化時，求三

8、棱錐PAEF體積的最大值。高三文科數(shù)學復:立體幾何平行、垂直答案【典例研究】A例1解：M為AB中點,D為PB中點,MDAP，又MD平面APCMDM平面APCPCPMB正三角形,且DPB中點，MDPBDB又由1知MDAP,APPB又APPCAP平面PBC，APBC，又ACBCBC平面APC,平面ABC平面PAC,AB20，MB10,PB10又BC4，PC1001684221SBDC1SPBC1PC?BMD1AP120210253221S1VVBCDBDC?DM22153107DBCMM33例2.明：因三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC又因CN平面ABC，所以A

9、A1CN.1分因ACBC2，N是AB中點，所以CNAB.2分1C因AA1IABA，3分A1B1所以CN平面ABB1A14分M明：取AB1的中點G，MG，NG，CGANB因N，G分是棱AB，AB1中點，所以NG/BB1，NG1BB1.21BB，又因CM/BB1，CM21所以CM/NG，CMNG.所以四形CNGM是平行四形.6分所以CN/MG.7分因CN平面AMB1，GM平面AMB1，8分所以CN/平面AMB19分由知GM平面AB1N.10分所以VB1VM11244.13分AMNAB1N32223式1.1依據(jù)中點找平行即可；2易AFB1F，在依據(jù)勾股定理的逆定理明B1FEF；3因為點D是段AB1的

10、中點，故點D到平面AEF的距離是點B1到平面AEF距離的1，求出高依據(jù)三棱的體公式算即可。2【分析】1取AB中點O，接CO,DODO/AA1,DO1AA1,DO/CE,DOCE,平行四形DOCE，2DE/CO,DE平面ABC，CO平面ABC，DE/平面ABC。4分2等腰直角三角形ABC中F斜的中點，AFBC又直三棱柱ABCA1B1C1，面ABC面BB1C1C，AF面C1B，AFB1FABAA11,B1F6,EF3,B1E3,B1F2EF2B1E2,B1FEF222又AFEFF,B1F面AEF。8分3因為點D是段AB1的中點，故點D到平面AEF的距離是點B1到平面AEF距離的1。B1F2266a

11、2aa，所以三棱DAEF的高a；在RtAEF中，2224EF3a,AF2a，所以三棱DAEF的底面面6a2，故三棱DAEF228的體16a26a1a3。12分38416二、面平行與垂直的性例3.1明：在ABD中，因為AD2，BD4，AB25，AD2BD2AB2.2分ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.4分2解：P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD6分PAD是2的等三角形，PO3.P由1知，ADBD，在RtABD中，hADBD45DAB5斜AB上的高.8分C1145OCDhABDC，SACD52.AB22

12、510分VAPCDVPACD1SACDPO12323333.14分例4、I明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD，PDICE=D，BC平面PCD又PC面PBC，PCBCII解：BC平面PCD，GC是三棱GDEC的高。E是PC的中點，SEDC1SEDC1SPDC1(122)12222VCDEGVGDEC1122GCSDEC33139IIIAC，取AC中點O，EO、GO，延GO交AD于點M，PA/平面MEG。下邊明之EPC的中點，O是AC的中點，EO/平面PA，又EO平面MEG,PA平面MEG，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是AC中點，OCGOAM22AMCG,所求AM

13、的長為.33變式2.證明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2，AC=2，CAB=45，BC=2，BCAC.又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在點P，P為AB的中點。11證明：由P為A1B1的中點，有1PB1AB，且PB1=AB.2又DCAB，DC=1AB，DCPB1，且DC=PB1，2DCB1P為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1.例5、24P24E正視圖BA4CD4ABCD是邊長為俯視圖1由幾何體的三視

14、圖可知，底面4的正方形，PA面ABCD，PAEB，PA2EB4.QPAAD,F為PD中點，PDAF.又QCDDA,CDPA,CDAF,AF面PCD。2取PC的中點M，AC與BD的交點為N，MN1PA,MNPA，2MNEB,MNEB，故BEMN為平行四邊形，EMBN，BD面PEC。3VEPBCVCPBE1g(1gBEgAB)gBC163234側(cè)視圖例6.答案略式3.解：由三得，四棱底面ABCD菱形,棱的高3,ACBDO,PO即是棱的高,底面是2，接OE，QE,O分是DP,DB的中點，OEBP，QOE面AEC,BP面AECPB面AEC2V三棱錐C-PABV三棱錐P-ABC1V四棱錐P-ABCD11

15、(1223)3322323O作OFPA,在RtVPOA中,PO3,AO3,PA23AF310分2PF:FA3時即=3時,OFPA,12分QPOBD,ACBD,POACOBD面PACBDPA,由OFPA且BDOFOPA面BDF14分式4.解：1判斷：AB/平面DEF.2分明：因在ABC中，E，F(xiàn)分是AAAC，BC的中點，有EEF/AB.5分E又因CAB平面DEF，DDCEF平面DEF.6分M所以FBFAB/平面DEF.7分B2點E作EMDC于點M，12面ACD面BCD，面ACDI面BCDCD，而EM面ACD故EM平面BCD于是EM是三棱E-CDF的高.9分又CDF的面SCDF1SBCD11CDB

16、D1(2a)2a2a3a222244EM1AD1a11分22故三棱C-DEF的體VCDEFVECDF1SCDFEM13a21a3a314分334224四、立體幾何中的最例7.明:C是底面周上異于A，B的隨意一點，AB是柱底面的直徑，BCAC,2分A1AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC，4分AA1AC=A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C.6分(2)解法1：AC=x，在RtABC中，ABBC=AB2AC2x24(0 x2),7分C41111故VA1-ABC=SVABCAA1ACBCAA1x4x2(0 x2),33239分即VA1-ABC=1x4x21x2(4x2)

17、1(x22)24.11分3330 x2，0 x24，當x2=2，即x=2，214分三棱A1-ABC的體的最大.3解法2:在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4，7分VA1-ABC=1SVABCAA111ACBCAA19分3321ACBC1AC2BC21AB22.11分332323當且當AC=BC等號建立，此AC=BC=2.例8.解：1PAx，VA-PBCD1PAS底面PDCB1x(2x2)33x令1x(2x22xx3,(x0)f(x)3632f(x)2x232x(0,23)23(23,)333f(x)0f(x)單一遞加極大值單一遞減PAx23由上表易知：當3時，有VA-PBCD取最大值。證

18、明：2作AB得中點F，連結(jié)EF、FP由得：EF/1ED/FPBC/PD2APB為等腰直角三角形，ABPF所以ABDE.變式6.解：因為PA平面ABCBC平面ABC，所以PABC又因為BCAC,PAACA，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以BCAF，又AFPC,PCBCC，所以AF平面PBC，即AFEF。EF是AE在平面PBC上的射影，因為AEPB，所以EFPB，即PE平面AEF。在三棱錐PAEF中，APABA2,EPB，所以PE2,AE2，AF2sin,EF2cos，VPAEF1SAEFPE3112cos232sin2sin26因為02，所以02，0sin21所以，當時，VPAEF獲得

19、最大值為2。46課后練習：1、廣東卷8設(shè)l為直線，,是兩個不一樣的平面，以下命題中正確的選項是()A假定l/，l/，那么/B假定l，l，那么/假定l，l/，那么/假定，l/，那么lCD2、湖南卷7正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為2的矩形，那么該正方體的正視圖的面積等于()A321D.22C23、遼寧卷10三棱柱ABCA1B1C1的6個極點都在球O的球面上假定.AB3，AC4，ABAC,AA112，那么球O的半徑為A317B210C13D310224、浙江卷4設(shè)m、n是兩條不一樣的直線，、是兩個不一樣的平面，A、假定m，n,那么mnB、假定m，m,那么C、假定mn，m,那么nD、假定m，,那么m重慶卷8某幾何體的三視圖如題8所示，那么該幾何體的5、表面積為A180B200C220D2406、安徽18如圖，四棱錐PABCD的底面