1、結構動力學基礎(new)2分析結構動力學基礎(new)2分析27/27結構動力學基礎(new)2分析結構動力學基礎1.1無阻尼單自由度系統的自由振動在研究振動問題時，為了簡化計算，常常把詳盡的振動系統抽象為振動模型。結構發生運動時，確立其所有質量地址所需的獨立幾何參變量的數目，稱為系統的自由度。單自由度系統的振動問題在工程上是常有的。比方，基礎與地基之間的彈性支承（圖1.11a），當只考慮鉛直方向的振動時，就是單自由度系統的振動。又如，圖1.11b所示的鋼架，假設橫梁為剛體，則在考慮橫梁的水平振動時也屬于單自由度系統的振動。這些單自由度系統，可以很方便地用圖1.12所示的數學模型來描繪，它包含

2、以下單元：(a)(b)圖1.11(a)(b)圖1.12單自由度系統數學模型的兩種表示（1）質量塊m，用來表示結構的質量和慣性特征；（2）彈簧系數k，用來表示結構的彈性回復力和勢能；（3）阻尼器c，用來表示結構的摩擦特征和能量消耗；（4）激勵荷載Ft，用來表示作用于結構系統上的外力，力Ft平常可寫成時間函1數的形式。利用牛頓運動第二定律Fma也許達朗貝爾原理（該原理表示，把慣性力作為附帶的虛假力，可使系統處于動力均衡狀態。）獲取無阻尼單自由度系統的運動微分方程：myky0（1.1-1）令2k/m，運動微分方程式（1.1-1）成為：y2y0（1.1-2）這是一個二階常系數線性齊次微分方程，其通解為

3、：yc1costc2sint（1.1-3）上式中c1，c2為積分常數，由物體運動的初始條件t0時，yy0，vv0來確立：c1y0，c2v0/，將c1和c2帶入式（1.1-3），獲取：yy0costv0/sint（1.1-4）或等價寫成：yCsint（1.1-5）此中：Cy02v0/2，tany0/v0（1.1-6）式（1.1-4）或（1.1-5）即為無阻尼單自由度系統的振動方程。下邊簡述自由振動的特征。1.振幅和初位相式（1.1-5）中C為自由振動的振幅；角（t）為相位，此中為初相位。由（1.）式可知，自由振動的振幅和初位相與物體運動的初步條件y0,v0、物體的質量m和1-6彈簧的剛度系數k相

4、關。2.周期和頻率從式（1.1-4）或（1.1-5）可以看出，由該式所描繪的運動是簡諧運動，所以也是周期性運動，即可以用同一頻率的正弦或余弦函數來表示。物體振動一次所需的時間稱為周期，以T表示：222（1.1-7）Tm/k周期T的常用單位是秒。每秒內物體振動的次數稱為頻率，以f表示，常用單位是赫茲（Hz）。頻率與周期的關系為：1.8）f（11-T2.8）式得：2f，可見，是2秒內振動的次數，稱為圓頻率，它的單位由（11-是弧度秒（注：在一些書中常把圓頻率的單位簡寫成為1秒）。從上述關系式可以看出，系統自由振動的周期、頻率或圓頻率與運動的初步條件無關，而只與系統的質量m和剛度系數k相關，即與系統

5、的慣性及彈性相關。因為質量m和剛度系數k是振動系統自己所固有的特征，所以自由振動的圓頻率也稱為固有頻率。如欲降低振動系統的固有頻率，可減小彈簧的剛度系數或加大物體的質量。1.2有阻尼單自由度系統的自由振動前面談論的自由振動，其振幅一直不變，振動能連續進行而永不斷止。但實質上這類狀況是不存在的。因為系統振動時必然要遇到阻力的影響，從而使它的振幅逐漸衰減，以致停止振動。阻尼有各種不一樣的形式，比方，粘滯阻尼（空氣、水或油質等流體介質的阻尼），干摩擦（物體于其余固體之間的摩擦）和資料的內摩擦等。這里我們只談論粘滯阻尼，因為在好多狀況下，粘滯阻尼的假設是真實的，但是，粘滯阻尼的假設卻常常忽視了系統的實

6、際耗散特征。這類方法之所以獲取這樣廣泛應用，主若是因為它可以獲取一種相對簡單的數學分析方法。假如物體在流質介質中運動的速度不大，阻尼力近似地與速度的一次方成正比，這類阻尼稱為線性阻尼。假設把一結構系統簡化為如圖1.21所示的擁有粘滯阻尼的簡單振子，圖中m和k分別為振子的質量和彈簧常數，c是粘滯阻尼系數。運用牛頓定律或達朗貝爾原理獲取有阻尼單自由度系統的運動微分方程：mycyky0（1.2-1）3粘滯阻尼振子(b)間隔體簡圖圖1.21令2k，2nc，則運動微分方程式（1.2-1）成為：mmy2ny2y0（1.2-2）這是一個二階常系數線性齊次微分方程，設其解yert代入上式可得特色方程：r22n

7、r20（1.2-3）該二次方程的兩個根是：rnn221r2nn22（1.2-4）于是方程（1.2-2）的通解為：yC1er1tC2er2t（1.2-5）跟著n、值的不一樣，r1、r2也擁有不一樣的值，因此方程（1.2-2）也有不一樣的解，表示著不一樣的運動，下邊分別談論。1n，臨界阻尼系統這時，特色方程的根為兩個相等的實根，r1r2n，方程（1.2-2）的通解為：yentC1C2t（1.2-6）4由上式可知，這類運動是非周期性運動，這時阻尼的大小正好是系統在衰減過程中振動與不振動的分界線，故稱為臨界阻尼系統。在該系統下，阻尼系數c稱為臨界阻尼系數，以ccr表示，即：ccr2nm2m（1.2-7

8、）在實質問題中，常常不直接使用阻尼系數c，而是用阻尼系數c和臨界阻尼系數ccr的比值作為阻尼的基本參數，稱為阻尼比。cc（1.2-8）ccr2m2n，過阻尼系統在過阻尼系統中，其阻尼系數大于臨界阻尼系數（cccr），這時特色方程有兩個不等的實根，從而可以直接用式（1.2-5）給出振動方程的解。對于過阻尼系統或臨界阻尼系統，產生的運動是不振蕩的，其振幅隨時間按指數衰減到零。圖1.22描繪了擁有臨界阻尼的簡單振子的反應。過阻尼系統的反應與圖1.22所示臨界阻尼系統的運動相近似，但是跟著阻尼的增添，恢復到均衡地址將需要更多的時間。圖1.22臨界阻尼的自由振動3n，小阻尼系統小阻尼系統也稱為亞阻尼系統

9、，其阻尼系數小于臨界阻尼值（cccr），這時方程（1.2-2）的通解為：y(t)Cetcos(Dt)（1.2-9）式中：2(v0y0)212，tanv0y0Cy02，DDy0D5圖1.23給出了一個擁有初始位移y0，但初始速度為零（v00）的小阻尼系統的反應曲線，該運動是振動的，在運動過程中，振幅不是常數，而是隨循環次數挨次遞減。盡管這樣，振動還是發生在相等的時間間隔內，該時間間隔稱為振動的阻尼周期TD。22TD12（1.2-10）D圖1.23小阻尼系統的自由振動反應阻尼對自由振動的影響，主要表此刻以下兩個方面：（1）振動周期增大，但是在n較小的狀況下，阻尼對周期的影響很小，在小阻尼狀況下，可

10、近似地以為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。（2）振幅按幾何級數衰減。設相鄰兩次振動的振幅分別為Ci和Ci1，由式（1.2-9）可知，這兩個相鄰振幅的比值為：CienT（1.2-11）Ci1用實驗方法確立系統阻尼系數的一種的確可行的方法是讓系統作自由振動可獲取振動記錄如圖1.24所示，并測出運動振幅的衰減率。這樣衰減可以很方便地用對數衰減率來表示，它等于在自由振動中任意兩個相鄰最大振幅y1和y2之比取自然對數，即：lny1（1.2-12）y2實質應用中，常取：6lny1TD2（1.2-13）y212圖1.24峰值位移和切點位移曲線所以用實驗方法確立了系統自由振動兩相鄰的峰值后，即

11、可用式（1.2-13）計算出阻尼比。1.3簡諧荷載作用下單自由度系統的反應本節，我們將研究理想化為單自由度系統的結構在簡諧激勵作用下的運動，即結構所受的力或位移幅值可以用正弦或余弦的時間函數來表示的運動。這類激勵形式，在機械振動及結構動力學中也將產生一種特別重要的運動。因為在旋轉機械的轉動件中不行防范的質量偏愛將產生簡諧激勵使結構常常遇到轉動件的動力作用。其余，即使在激勵不是簡諧函數的狀況下，應用傅立葉方法也可以獲取結構的反應，即對外面激勵簡諧分量的各個反應的疊加。無阻尼簡諧激勵假設作用在圖1.3-1中的簡單振子上的外力Ft是等于F0sint的簡諧力，此中F0為峰值，為力的頻率。該系統的運動微

12、分方程為：y2yF0sint（1.3-1）7圖1.3-1簡諧激勵無阻尼振子及此間隔體簡圖式（1.3-1）是一個二階常系數非齊次微分方程，其通解為：yAsintF0/msint（1.3-2）22上式表示，在恢復力和攪亂力的作用下，系統的振動由兩部分構成，第一部分為自由振動，第二部分為受迫振動。因為阻尼的存在，自由振動將迅速衰減，所以，下邊只談論受迫振動部分。由式（1.3-2）的第二部分可知，在簡諧攪亂力作用下的受迫振動是簡諧振動，并且與初步條件沒關，受迫振動的圓頻率與攪亂力的圓頻率相等。假如以表示受迫振動的振幅與靜變形的比值（這里靜變形等于F0），稱為動力放大系數，則有：k11（1.3-3）21

13、21/式中/，稱為頻率比，表示攪亂力的圓頻率與受迫振動的圓頻率之比。分別以和為縱向及橫向坐標，將式（1.3-3）繪成振幅頻率特征曲線，如圖1.32所示。圖1.32振幅頻率特征曲線8從圖1.32可以看出：1當0（即攪亂力圓頻率等于零）時，1；當01時，動力放大系數隨頻率比的增大而增大，該地域為低頻區。2當1時，這說明當攪亂力的圓頻率湊近系統的固有頻率時，在無阻尼狀況下，振幅將無窮地增大，這類現象稱為共振。工程中將0.751.25的地域稱為共振區。當系統發生共振時，因為阻尼的影響，盡管振幅不會無窮增大，但會達到相當大的數值，以致結構物受損。所以，如何防范或除掉共振，是工程上的一個重要課題。31時，

14、動力放大系數隨頻率比的增大而減小，直到靜止，該地域稱為高頻區。在彈簧質量系統中，假如因為外界的攪亂，使彈簧的支承點發生簡諧運動，那么，將相同引起受迫振動。比方，由地震荷載引起的結構物的振動，由路面不平引起的車輛的振動等，都屬于這一類狀況。有阻尼簡諧激勵考慮圖圖1.33中有粘滯阻尼影響下單自由度振動系統，其運動微分方程為：mycykyF0sint（1-3.4）圖1.33簡諧激勵有阻尼振子這是一個二階常系數非齊次微分方程，其通解為：yAentsin2n2tBsint（1-3.5）此中：振幅：BF0/m2224n2292n相位差：tg22A、為積分常數，由運動的初始條件決定。由（1-3.5）式可知，

15、在彈性力阻尼力和周期攪亂力的作用下，系統的運動由兩個部分構成：一部分是自由衰減振動，這一部分運動將很快消逝；另一部分是受迫振動，在干擾力的作用下，這一部分運動將長遠地進行，所以也稱為穩態振動。下邊將談論有阻尼受迫振動的相關性質。一阻尼對受迫振動振幅的影響假如振幅超出了同意的限度，就會在構件中產生過大的交變應力，使構件發生疲憊破壞，所以在受迫振動中，振幅的大小對工程問題是十分重要的。用D表示有阻尼時的動力放大系數（即有阻尼受迫振動的振幅與靜變形的比值），則有：DB1B0122422（1-3.6）此中：BF0F0/m；cnk2；ccr以頻率比為橫坐標，動力放大系數D為縱坐標，將式（1-3.6）繪成

16、不一樣阻尼狀況下的幅頻特征曲線，如圖1.34所示。圖1.34不一樣阻尼狀況下的幅頻特征曲線10圖1.34與無阻尼受迫振動的幅頻特征曲線圖1.32對比較，有以下特色：1在共振區，振幅的增大特別明顯，但不是無窮制地擴大而是有限值。從圖中可以看出，動力放大系數D的最大值其實不在1的縱軸上。為求D的最大值，對式（1-3.6）進行極值運算，即由dD0，求得共振時的和D分別為：d122（1-3.7）DDmax1（1-3.8）212因為大多數工程問題都屬于小阻尼狀況，阻尼比很小，可以將2略去不計，于是可獲取最大振幅時，1，Dmax1。即可以近似地把共振時的動力放大系數作為系統2的最大放大系數。2圖1.34反

17、應曲線的分析表示，這些曲線的形狀由系統阻尼的大小所決定，特別是頻帶寬度（即相應于同一反應幅值的兩個頻率之差）與系統的阻尼親近相關，所以，在工程實質中，我們常用帶寬法（半功率法）計算阻尼。圖1.35給出一中等阻尼結構由實1驗方法獲取的一條典型幅頻特征曲線，在阻尼計算中，可以方便地量出圖中倍峰值處2的頻帶寬度，相應于該頻帶寬度上的頻率f1和f2叫做半功率點。該頻帶寬度的頻率值，可1以經過系統的反應幅值等于共振幅值的倍關系來確立。經過運算獲取：阻尼比可以近2似地用兩個半功率頻率比差值的一半來表示，即：1r2r1121f2f1（1-3.9）22f2f111圖1.35實驗幅頻特征曲線二阻尼對相位差的影響

18、將相位差寫成：arctg22（1-3.10）1分別以和為縱橫坐標，依據式（1-3.10）可畫出在不一樣阻尼狀況下的相位差頻率特征曲線，如圖1.36所示。圖1.36不一樣阻尼狀況下的相位差頻特征曲線12從圖1.36中可以看出：當遠小于1時，0，這時受迫振動與攪亂力可近似以為是同相的，跟著的增添，相位差也隨之增大。在共振區周邊，的變化最為激烈，當發生共振時，1，它與阻尼的大小2沒關。這時攪亂力的相位比受迫振動的相位超前，也許說攪亂力與振動的速度同相，因2此出現了很大的振幅。經過共振區后，跟著的增添，也增添，并趨勢于。這時，受迫振動的位移與干擾力反向。1.4任意荷載作用下單自由度系統的反應因為實質結

19、構所遇到的荷載常常其實不是簡諧荷載，本節研究任意荷載作用下單自由度系統的反應，可以看到，對于能用分析方法計算的一些簡單荷載函數，其反應可以經過直接積分來求得，但是，對于一般荷載狀況，借助于數值積分方法是必需的。一沖擊荷載和杜哈梅積分沖擊荷載是在一段很短的時間內作用的荷載，這類荷載相應的沖量等于力與其連續時間的乘積。如圖1.41所示，在時間為時，力F()在時間間隔d內的沖量可以用暗影部分的面積表示，其值為F()d。依據動量定理mdvF()d獲取速度增量為：dvF()d（1-4.1）m圖1.41沖擊荷載的一般荷載函數因為瞬時沖量作用的時間極短，可以以為該系統在瞬時沖量作用下的振動是以y(0)0，y

20、dv為初始條件的自由振動，將這類速度變化引入無阻尼單自由度系統的位13移響應方程，作為時間時的初始速度v0，這樣在稍后的某一時刻t時產生的位移為：dy(t)F()dsin(t)（1-4.2）m所以，在荷載F()的連續作用下，在時間t時刻所產生的總位移可以用微分位移dy(t)從時刻t0到時刻t進行積分來表示：y(t)1tF()sin(t)d（1-4.3）m0式（1-4.3）表示作用于無阻尼振子上的激勵荷載F()所產生總位移，它包含相應于零初始條件y00和v00的運動的穩態和瞬態兩部分。為了計入v00時的初始位移y0和初始速度v0的成效，只需要把由初始條件所獲取的解（）式與（1-4.3）相加即可，

21、所以，任意荷載作用下的無阻尼單自由度系統的總位移為：y(t)v0sint1t)sin(t)dy0costm0F(（1-4.4）對于一些簡單的外力函數如恒力、矩形荷載、三角形荷載等可以經過式（1-4.4）獲取其顯式積分，當動力荷載較復雜時，有時不行能求出分析解，在實質運用中，對于所給定的時程0t，常常使用數值積分法。二無阻尼系統杜哈梅積分的數值計算應用三角函數關系和零初始條件，將式（1-4.4）的杜哈梅積分寫成以下形式：y(t)1A(t)sintB(t)cost（1-4.5）m式中：A(t)tF()cosd0B(t)tF()sind（1-4.6）0因而可知，動力反應的計算歸納為計算積分A(t)和

22、B(t)，可以使用任何數值積分方法來完成其計算。為了得出動力反應的時程曲線，一個基本思想是把所給定的時程劃分為許多區間（即時間間隔），而后計算對應于所有區間端點的動力反應。明顯，區間的劃分越細，計算結果越精確。平常要使區間的長度小于系統固有周期的110。常用于杜哈梅積14分的數值計算方法是梯形法和辛普森法。對于一般函數I()，設：A(t)tI()d（1-4.7）0用梯形法所進行的基本運算是：A(t)1(I02I12I22In12In)（1-4.8）2用辛普森法所進行的基本運算是：A(t)1(I04I12I24In12In)（1-4.9）3對于辛普森法，nt一定是偶數。因為梯形法基于用函數I()

23、取代分段線性函數，而辛普森法規基于用函數I()取代分段拋物線函數，所以其解都是近似的。計算杜哈梅積分的另一種方法是基于假設加載函數由一給定的分段線性連續函數來獲取積分的分析解。該方法除了原有的舍入偏差以外，不會造成積分的數值近似。圖1.42分段線性荷載函數假設動力函數F()可以用圖1.42所示的分段線性函數來近似，為了獲取一條完好的反應時程曲線，將式（1-4.6）以增量的形式來表示：A(titiF()cosd)A(ti1)ti115B(ti)B(ti1)tiF()sind（1-4.10）ti1()和B(ti)代表ti時的積分值，假設動力函數F()可以用分段線性函數迫近，式中Ati即可寫成：F(

24、)F(ti1)Fi(ti1)ti1ti（1-4.11）ti式中：FiF(ti)F(ti1)，tititi1將式（1-4.11）代入式（1-4.10）積分得：A(ti)A(ti1)1F(ti1)ti1Fisintisinti1tiFicosticosti1tisintiti1sinti12tiB(ti)B(ti1)1F(ti1)ti1Ficosticosti1tiFisintisinti1ticostiti1costi1（1-4.12）2ti式（1-4.12）即為（1-4.6）在任意時刻tti時計算積分的遞推公式。三有阻尼系統杜哈梅積分的數值計算由杜哈梅積分所表示的有阻尼系統的反應，將產生初始速

25、度dvF()d的沖量mF()d代入相應的有阻尼自由振動方程，即可以獲適合時間為t時的微分位移：dy(t)1etF()dsinDt（1-4.13）mD對整個荷載區間上的這些微分項乞降獲取杜哈梅積分所表示的有阻尼系統的反應：1ttsinDtd（1-4.14）y(t)F()em0D在數值計算時，可以按無阻尼系統的狀況進行，請自己推導。161.5傅立葉變換和頻域反應一般說來，可以把任一周期函數F(t)睜開成傅立葉級數形式：F(t)a0n1ancosntbnsinnt（1-5.1）對于給定函數F(t)的系數a0an和bn可由下式確立：a01t1TTt1F(t)dtan2t1TtdtTt1F(t)cosn

26、bn2t1TtdtTt1F(t)sinn（1-5.2）一用傅立葉級數表示的荷載作用下的反應無阻尼單自由度系統用傅立葉級數表示的周期力的總反應，由該級數各項反應的疊加a0構成，包含恒力a0的反應（穩態反應），即：y(t)a0n1112ancosntbnsinnt（1-5.3）krkkn式中：rnn，k2，mT有阻尼單自由度系統用傅立葉級數表示的周期力的總反應，也由該級數各項反應的疊加構成，可表示為：2y(t)a01an2rn2)2bn(1rn2)sinntkkn1(1rn(2rn)a(1r2)b2rnnnncosnt（1-5.4）(1r2)2(2r)2nnc式中：為阻尼比ccr17二分段線性函數

27、的傅立葉系數如前面杜哈梅積分所述，可以用圖1.42所示的分段線性函數來表示外力函數，這樣就可以把傅立葉系數的計算式（1-5.2）用外力函數的各分段積分和來表示：a01NtiF(t)dtTi1ti1Nan2tiF(t)cosntdtTti1i1bn2Nti（1-5.5）F(t)sinntdtTti1i1式中N是外力函數的分段數，任意時間間隔ti-1tti的外力函數可由式（1-4.11）表示。將式（1-4.11）代入式（1-5.5），積分獲取分段線性函數的傅立葉系數為：a01Nti(FiFi1)/2anT2i1N1F(ti1)ti1Fi(sinntisinnti1)Ti1ntiFi(cosntic

28、osnti1)n(tisinntiti1sinnti1)n22tibn2N1F(t)tFi(cosnti1cosnt)i1i1iTi1ntiFi(sinntisinnti1)n(ticosntiti1cosnti1)（1-5.6）n22ti三失散傅立葉變換將傅立葉系數拓展到非周期函數所獲取的積分稱為傅立葉變換。級數F(tj)，（j=0,1,2N-1）的傅立葉變換常常經過歐拉公式用指數形式來表示：18F(t)cneint（1-5.7）n式中：cn1N12i(nj/N)NjF(tj)en0,1,2.(.N1)（1-5.8）0它的失散傅立葉逆變換為：N12i(nj/N)0,1,2.(.N1)（）F(

29、tj)cnej1-5.9n0用有限和的形式，給出了任意失散函數，就可以獲取受荷載函數的簡諧重量激勵的簡單振子的反應。在有阻尼簡諧激勵的運動微分方程中，引入單位指數外力函數Eneint便獲取：mycykyeint（1-5.10）其穩態解為：y(t)H(int（1-5.11）n)e把式（1-5.11）代入式（1-5.10），便獲取函數H(n)，稱為復頻反應函數，其表達式為：H(n)1（1-5.12）k(1rn22irn)式中：rnn為頻率比，cc為阻尼比。ccr2km所以，由式（）給定的擁有幅值Cn的簡諧重量在tjjt時的反應yn(tj)可表示為：1-5.92i(nj/N)yn(tj)Cne（1-

30、5.13）rn22irn)k(1于是，由N個簡諧重量獲取的總反應為：19N12i(nj/N)y(tj)cne（1-5.14）0k(1rn2n2irn)1.6反應譜反應譜是單自由度系統在特定荷載作用下的最大反應曲線（最大位移最大速度和最大加速度等）。反應譜的橫坐標是系統的自振頻率（或周期），縱坐標是最大反應。考慮圖1.61所示無阻尼振子受半周期正弦荷載的激勵作用，假設系統初始處于靜止狀態，正弦波的連續時間為td，其運動微分方程為：mykyF(t)（1-6.1）此中：F(t)F0sint(0ttd)0(ttd)td圖1.61荷載F(t)作用下的無阻尼簡單振子該運動微分方程的解可以用直接積分法求得，

31、它分為兩部份：y1sintTsin2t(0ttd)ystT)2td2tdT1(2tdyT/tdcostdsin2(ttd)(ttd)（1-6.2）y(T/2td)21TT2Tst20式中：ystF0；2k；tdT。由式（）可以看出，按y表示的反應是脈沖連續時間td與系統自振周期比（td）1-6.2ystT和時刻t與周期T的比值（t）的函數。所以對于參數td的任一給定值，由式（1-6.2）可TT獲取其最大反應，圖1.62即為td函數的最大反應值，它也就是半正弦荷載時程的反應T譜。圖1.62連續時間為td的半正弦荷載的反應譜y1.76，位于td0.8處。由從圖1.62可以看出，反應譜的最大值（放大

32、系數）ystT于輸入荷載簡單，這時有可能獲取封閉解，并畫出按無量綱比值表示的反應譜，該譜曲線對任何用半正弦波描繪的脈沖荷載都是有效的。但是，對于隨機輸入荷載，不可以希望獲取一般的反應譜曲線，平常反應譜曲線應針對特別激勵給出。一、支座受激振的反應譜結構動力學中的一個重要問題就是結構的基礎或支座遇到激振時系統的反應分析。如圖1.63所示有阻尼振子的結構在基礎輸入一激振力，激振力由圖1.64表示的加速度函數來給定。21圖1.63基礎激振的有阻尼簡單振子圖1.64基礎激振的加速度函數由圖1.63相應的間隔體圖中的合力為零獲取其運動微分方程為：myc(yys)k(yys)0（1-6.3）式（1-6.3）

33、是用絕對運動表示的有阻尼振子的運動微分方程，更適用的是由它獲取的質點對于支座的相對運動表達式，相對位移uyys，代入（1-6.3）式獲取：u2u2uys(t)（1-6.4）k；c2km。式中：；ccrmccr微分方程（1-6.4）的解可以用前面介紹的單自由度系統的求解方法獲取，比方用杜哈梅積分得出：1tys()e(t)sin(t)d（1-6.5）u(t)0二、三聯反應譜使用對數可以把最大加速度相對位移和相對擬速度的最大反應畫在同一張紙上，即把加速度譜Sa、位移譜SD和速度譜Sv畫在一起，稱為三聯反應譜。這里擬速度其實不是精確的實質速度，但它們之間聯系親近，是真實速度的一種較方便的代換。對于支座

34、受激振的無阻尼系統的運動微分方程，用相對位移表示為：myku0（1-6.6）從上式中可見，絕對加速度總是與相對位移成正比的，特別是在最大值時，加速度譜與位移譜成正比，即：Sa2SD（1-6.7）22式中：k，是系統的自振頻率；Saymax；SDumax。m為了方便起見，定義擬速度的最大值為速度譜，即：SvSDSa（1-6.8）彈性系統單自由度動力反應譜由輸入運動的數字來計算。單自由度受支座運動的三聯反應譜典型例子如圖1.66。該反應譜是輸入1940年埃爾森特羅地震地面加速度記錄的運動反應，這個地震加速度記錄廣泛應用于地震工程研究之中，該地震加速度記錄圖形如圖1.65所示。在1971年加州的圣費

35、爾南多地震以前，埃爾森特羅地震記錄是已有的最長和最激烈的地震記錄之一。圖1.66是將式（1-6.7）和式（1-6.8）用自振頻率f來表示2f），并對各項取對數而獲取的，所以其縱橫坐標均采納對數坐標，并經過位移橫坐標傾斜1350，加速度橫坐標傾斜450而畫出以對角線為橫軸的坐標，這樣就可以從一張圖上同時讀出加速度速度和位移譜值。圖1.651940年5月6日Elecentro地震南北重量地面加速度記錄圖1.661940年Elecentro地震彈性系統的反應譜23三非線性系統的反應譜一般來說，反應譜來自不一樣阻尼單自由度系統特別激振計算的反應，并用短時間間隔數值積分來計算系統的反應。對于非線性系統，

36、系統的反應采納逐漸積分法計算，其基本思路是：將振動微分方程用增量形式表示，為計算方便，平常將所要計算的時程劃分成許多相等的時間間隔（即步長）t，在每一個連續的時間增量上計算反應值。在每一個時間間分開始時已經建立了動力均衡條件，所以對時間增量t的反應是基于剛度系數k(y)和阻尼系數c(y)在t上保持不變的條件下近似計算出來的。在分析中，經過在每一個時間增量的起點重新計算這些系數來考慮它們的非線性特征。而反應值是用上一時間間隔結束時的位移和速度作為下一時間步長的初始條件而計算獲取。因而可知，對于每一個時間間隔，是在其開始時來計算系數k(y)和c(y)的，并假設直到下一個時間步長，它們都保持不變，所以系統的非線性特征近似于挨次連續變化的線性系統，常用線性加速度法和威爾遜法來進行計算，下邊簡單介紹線性加速度法。采納時間間隔t，將地震振動方程以增量形式表示：mu(t)cu(t)ku(t)mug(t)（1-6.9）式中：u(t)u(tt)u(t)u(t)u(tt