1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一道函數例題教學與學生問題解決的能力的培養-初中數學論文一道函數例題教學與學生問題解決的能力的培養內容提要：通過一道函數例題的教學，設計一系列容易讓學生理解的問題，并設計適當的教學重復，逐步地培養學生主動思考問題的習慣，培養問題解決能力和建模思想。關鍵詞：函數教學問題解決思維數學模型實際問題我們都知道數學本身的發展過程就是不斷提出問題，并解決這個問題的過程。正是為了解決各種問題，人們創立了各種數學理論。可以說解決問題是數學發展的原動力。尼羅河水的泛濫讓人們創立了幾何學；天文學、力學、彈道學的發展，又促使

2、牛頓和萊布尼茲各自獨立創建了微分學。社會的發展將不斷地提出新的問題，而要解決這些新的問題，我們需要一批頭腦靈活，有獨特的思考方法，有創新精神，能夠把已學習的知識和他所碰到的實際問題很好的結合的人才，一個個如歐拉式的人才。我想這就是數學家和我們數學教師存在的真正理由，我們需要傳授知識，我們需要培養出具有較強的問題解決能力的學生。中學教材中的很多知識點都是通過提出問題，再逐步加以解決的模式提出的。函數便是一個典型的例子，他是課本要通過他培養學生提出問題，解決問題的一個重要基地；一個培養學生建模思想的重要載體。作為數學教師，我喜歡這一類題目，我也愿意與學生一起利用這一知識點，共同探索學習面對實際問題

3、的解決我們應該具有的思維方式和利用學過的知識解決各種實際問題的方法。首先，我認為函數應用性問題要解決的是發生在不同生活場景的一個個的問題，有時只要教師稍微留心一下，根據學生年齡特點、學生已有的認知結構、教材及學生的生活實際，適度創設實際情境，我們的每一道題目都可以與學生身邊的事情掛起鉤。這樣，學生解起問題來，猶如一個心理咨詢師面對一個病人提出的問題，他會讓人更加迫切地去解決眼前的問題，同時也更有利于培養學生的創新意識和實踐能力。有個例子是這樣的：例一：某商店將進貨為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件。現在采取提價的辦法，減少進貨量，增加利潤。已知這種商品每漲價0.5元，其銷量就減少

4、10件。問應將銷售價定為多少時，才能使所賺到的利潤最大，并求出最大利潤。我在拿出這道例題之前，首先把場景稍作修改，我把商店改為班級中某一個開小店的同學家里，那么這問題就會讓學生覺得他們是在為自己的同學解決問題，這興趣與單獨為老師解一道題目就大不一樣。第二，人類認識數學對象的過程，是一個漸進的過程。是從認識最簡單的對象開始，逐步發展到對數學對象之間的相互關系，進而認識它們的內部結構。人們對于數學問題的認識，如同對數學對象的認識一樣，也是一個漸進的過程。而在解決學生所碰到的函數題目中涉及到的實際問題時，一般條件不是一目了然。函數題目大多數都有一個由靜到動，由動到靜的題目結構，一如幾何中的點組成線，

5、線上肯定能找到點一樣，整個的解題過程似乎在玩游戲。但是函數的應用性問題往往關系比較復雜，如何借課堂上有限的幾個例題，有效的培養學生建模能力和提高數學問題解決的能力呢？如果僅僅要求學生掌握解題的知識點，解題的方法，那只能是就題論題，即做一題是一題，教師的教學過程只要循規蹈矩就行了。但要培養學生的能力，讓生活在知識爆炸的年代的學生能一通百通，那我想知識點是必須要的，可我們的學生更應該學會怎樣在分析問題上學會思維，怎樣利用一道題目，舉一反三，這才是最主要的。這樣的學習對學生而言，無疑是最聰明的。為了達到這個目的，針對上面這個例子，我設計了以下的問題：教師：您覺得本題最終要解決的是什么問題？（學生的回

6、答有最大利潤，也有利潤）教師：總之就是利潤。那么最初的利潤是多少呢？（這對學生沒有問題）開始利潤=200（10-8）教師：后來問題如何變化了？（售價提高了，進貨少了）那么利潤又如何呢？（變化了）雖然利潤變化了，能告訴我求利潤的方法變了嗎？（要求學生看題目，思考后回答并在黑板上板書：利潤=銷售衣服的件數（售價進價）教師：衣服件數變化了，利潤也變化了，那么是誰搗的鬼？（要求學生再看題目，再回答。）學生回答總結：利潤變化了，但是是被動的；銷售件數變化了，也不是主動的。分析結果是：只有售價的變化才是主動的，而且引起一系列的連鎖變化。售價多少，您能定嗎？學生回答：無法確定。教師：通過上述分析，我們知道如

7、果售價定了，那么一切都好解決了。怎么辦？學生回答：令售價為x元。教師：好，現在售價已經知道，那么您如何確定銷售衣服的件數？（再讓學生看題目，尋找相關的句子）教師板書：售價漲0.5元，銷售量減少10件，即銷售衣服（20010）件售價漲0.52元，銷售衣服（200102）件售價漲0.53元，銷售衣服（200103）件銷售價漲（x10）元，銷售衣服件現在能求利潤了嗎？在稍做討論后，教師要求學生對著剛才寫著的文字等式，用字母代替文字寫下一個等式y（x8）（）。當學生對照著黑板上的文字等式寫出這個數學等式后，我告訴學生，象這樣用具體的代數式、函數式、方程式、不等式或相關的圖形、圖表等把這些實際的數學關系

8、確定下來，就形成了數學模型。此時的y隨著x的變化而變化，這是一個具有動感的式子，通過剛才設計的這幾個問題，引導學生的思維從不變的起始狀態，進入一個動感地帶，這個過程就猶如是點連成了線。也讓學生體會著如何列出一個函數式子，如何建立一個數學模型。這個數學模型，是在大家一起努力下得到的。在建立數學模型列數學式子的時候，我要求學生獨立完成，因為前面的分析過程，已經使問題明朗化，一般情況下學生都可以獨立完成數學建模任務。對于有困難的學生，可以讓同桌幫一下。這一個步驟，讓學生的思維，從一個特殊的、個別的情形，跨入了一個非常普通的一種情形，一種可以以一抵無數的一種情形。教師：因為售價的變化會引起一系列的變化

9、，利潤也是如此。既然有變化，肯定是忽大忽小的，那么何時達到最大利潤呢，您準備如何去找？此時，在教師的指導下要求放手讓學生自行進行討論，自行進行操作，向討論的集體提供可行的方案。而我們的學生在充分了解了題意和前面列式的原因，他自然會迫切去聯想已學過的數學知識和熟悉的數學思想方法，通過推理和演算，達到問題的解決。有的會用數據代入去尋找答案，猶如在線上找個特殊的點一樣的，去嘗試，去接近；有的會利用畫圖象去尋找他所要的答案；有的會用配方法去尋找答案。此時，我會用較多的時間給學生思考和嘗試，運算，我的任務是在教室的四周做巡回指點，給每一個有點障礙的學生進行及時的輔導，點撥，力求讓每一位同學都有所收獲。我

10、想在此處不論用何種方法去尋找問題的答案，學生的思維已經又從動感地帶回到了靜止的狀態，思維固定在我們數據的最高點極大值。觀察一下您的答案，他符合實際嗎？這一個環節是涉及到是否要修改模型或者要另辟途徑。我認為這整個的教學過程，其實是學生認知方式的一個循環，雖是一道普通的二次函數應用題，但它符合人的認識過程，經歷了從特殊普遍特殊，從常量到變量再到常量的思維轉化，這種數學思想為學生今后學習解析幾何打下了良好的基礎。同時我認為這樣的設計過程沒有牽著學生的思維走，但又教會了學生如何去思考。教師提問的過程也在培養著學生分析問題的潛意識，使學生在今后單獨面對類似問題時，他也能學著他的老師一樣的自己向自己提問題

11、，從而在沒有老師的指點下，他照樣能讓一些較復雜的實際問題條理化，能象老師一樣的追根溯源。一旦學生學會了自己向自己提問，那么他解決問題的能力也就得到了進一步的加強。第三，我認為函數應用題所要解決的是在生活的各個不同的場景中發生的有類似的數量關系的一類問題，因此利用這一類題目建立適當的數學模型，培養學生問題解決的能力是一個良好的途徑，同時也培養了學生的建模思想。為了在學生的頭腦中樹立一個模型的概念，我接下來對剛才的那道例題變換了一個新的場景，數據亦稍做變動：例二：我的電器開發公司研制出一種新型電子產品，每件的生產成本為18元，按定價40元出售，每月可銷售20萬件，為了增加銷售量，公司決定采取降價的

12、辦法，經市場調查，每降價1元，月銷售量可增加2萬件。問（1）求出月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（2）求出月銷售利潤z(萬元)（利潤=售價-成本價）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（3）能告訴我什么時候我的利潤能達到最大？然后要求學生模仿我的提問方式，盡量單獨的解決這一新的問題。一者，模仿是學習的開始，而尤其是思維程度有點復雜的二次函數的應用性問題，讓學生在簡單的模仿中了解教師分析過程的各種思維方式和知識依據；二者，讓學生學會自己給自己提問題。我想這是一個好的開始。喬治波利亞在怎樣解題一書中指出，“對你自己提問題是解決問題的開始”。當然不可能所有的學生都能順利地回答自

13、己提出的問題，有的學生難免在某個環節被卡住。這時，我要求學生向好的同學或老師提問題，我要求他們告訴我他們需要解決的問題。我給學生設計的提問題的方式是：如果（）我解決了，我就能再往下走；或者是：如果（）知識點我知道了，我就可以繼續了。通過幾年的嘗試，我覺得這種提問題的方法很能提高學生的思維主動性，又不會讓學生死死的卡在某一個知識的死角出不來；這種讓學生以提問方式問問題，每一個學生均能遵循自己本身的能力，并在討論中或者在教師的指點下得到發展；還能培養學生在探究過程中善于提出問題的能力，使其能在簡單模仿的基礎上，有意識的思考問題，提出一些稍具成熟感的問題。三者，可以消除學生對應用性問題的畏懼感，我們

14、很多的學生，甚至是成績相當不錯的學生，都或多或少的存在對一些應用性問題的恐懼心理，這也是造成我們學生解應用題能力普遍不高的原因。而如果能在教師仔細講解的基礎上，適當的重復學習內容，不啻是一種能讓學生真正了解思維過程的好辦法。象例一和例二，所要建立的最終的數學模型是一樣的，所以其中途的思維過程也一樣。教師已對前面的一道例題進行了很詳盡的分析講解，趁熱打鐵，拿出例二，依葫蘆畫瓢，這樣，既能起到較好的鞏固效果，也不會讓學生產生很大的恐懼心理。久而久之，學生會慢慢的樂于分析思考。這，正是我們教學需要的最終效果。四者，讓學生體會數學中所謂的數學模型的實質，它其實反映的是一類場景各不相同的實際問題，他們的

15、數學解決方法是相同的。也就是要求學生學習數學，要學會以不變應萬變，使學生理解從實際問題中抽象出數學模型的重要性，更讓學生明白生活中的問題是千奇百怪的，學數學不能靠單純的題海訓練，需要的是思考和總結。我想這也是培養學生數學素養的一個良機，是當前的新教材提出的一個理念，也是讓學生從應試教育中脫離出來,更加靈活主動的學習數學，更加高效的去學習數學。而不是被埋在題海里死做題目。在數學問題解決的教學過程中，既要注重發揮學生的主體作用，又要重視教師主導作用的發揮，二者相輔相成，不可偏廢。我想在上述“第二”中我所設計的問題，只是給學生起到拋磚引玉的作用，要真正的解決問題，教師還要有耐心，讓學生用他的年齡允許的速度，利用本身所具有的各種并非完全成熟的能力，去積極主動的思考。因此，教師在一些典型的關于數學問題解決的例題教學中，必須要教給學生比較完整的解決實際問題的過程和常用方法，給予足夠的時間，和能夠互相幫助的團體，以此來切實提高學生解決實際問題的能力。將生活、生產等社會活動中發現的實際問題抽取出來，通過構建數學模型，化實際問題為數