1、 PAGE 頁碼 20 / NUMPAGES 總頁數 20比較與估算教學目標六年級奧數比較與估算教師版知識點撥一、小數的大小比較常用方法為方便比較,往往把這些小數排成一個豎列,并在它們的末尾添上適當的“0”,使它們都變成小數位數相同的小數.如果是循環小數,就把它改寫成一般寫法的形式二、分數的大小比較常用方法 = 1 * GB2 通分母：分子小的分數小. = 2 * GB2 通分子：分母小的分數大. = 3 * GB2 比倒數：倒數大的分數小. = 4 * GB2 與1相減比較法：分別與1相減,差大的分數小適用于真分數 = 5 * GB2 重要結論：對于兩個真分數,如果分子和分母相差相同的數,則

2、分子和分母都大的分數比較大；對于兩個假分數,如果分子和分母相差相同的數,則分子和分母都小的分數比較大 = 6 * GB2 放縮法在實際解題的過程中,我們還會用到其它一些思路！同學們要根據具體情況展開思維！三、數的估算時常用方法1放縮法：為求出某數的整數部分,設法放大或縮小使結果介于某兩個接近數之間,從而估算結果2變換結構：將原來算式或問題變形為便于估算的形式例題精講模塊一、兩個數的大小比較如果a ,b ,那么a,b中較大的數是 【考點】兩個數的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試方法一：1 ；1 因為 ,所以b較大；方法二：因為,所以,進而,即；方法三：兩個真分數

3、,如果分子和分母相差相同的數,分子和分母都大的分數比較大,所以b大【答案】試比較和的大小【考點】兩個數的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【答案】比較和的大小【考點】兩個數的大小比較 【難度】2星 【題型】填空因為,顯然,根據被減數一定,減數越大差越小的道理,有：【答案】如果A,B,A與B中哪個數較大？【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯,決賽方法一：觀察可以發現A、B都很接近,且比它小我們不防與比較A,B,BA,即B比A更接近,換句話說 BA .方法二： ,即.方法三：,顯然,則【答案】如果,那么A和B中較大的數是 .【考點】兩個數的大小比較 【難度】2星

4、【題型】填空【關鍵詞】祖沖之杯,即大【答案】試比較和的大小 【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空方法一：觀察可知,這兩個分數的分母都比分子的10倍多1對于這樣的分數,可以利用它們的倒數比較大小的倒數是1 ,的倒數是 ,我們很容易看出10 10 ,所以 ；方法二：,兩個真分數,如果分子和分母相差相同的數,則分子和分母都大的分數比較大,所以即【答案】在 a=200320032002和 b=200220032003中,較大的數是_ ,比較小的數大_ 。 【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,4年級,1試b-a=200220032003-20032003

5、2002=200200002003+20032003-200300002002-20032002=20032003-2002=2003所以a比b大2003【答案】a比b大2003設a= ,b= ,則在a與b中,較大的數是_。【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空可采用放縮法。因為= + + ,。所以,即a是較大的數。當然這道題目我們也可采用通分求結果的一般方法。【答案】a比較與的大小【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空如果直接放縮：,但是,所以不能確定與的大小關系,同樣如果如下進行放縮：,也不能確定但是如果保留,將進行放縮,則有：,可見兩者中較大【答案】較大與相比

6、,哪個更大,為什么？【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空記,顯然有： ,而,有,所以原分式比小 .【答案】更大試比較: 與哪一個大? 【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空296=378,185=375,因為 所以【答案】圖中有兩個黑色的正方形,兩個白色的正方形,它們的面積已在圖中標出單位：厘米黑色的兩個正方形面積大還是白色的兩個正方形面積大?請說明理由【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽,口試此題利用到平方差公式：19971996199719961997199619971996399319931992199319923985所以1

7、997199619931992即1997199219961993,兩個白色正方形的面積大【答案】兩個白色正方形的面積大在中選出若干個數使它們的和大于3,最少要選多少個數?【考點】兩個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空 為了使選出的數最少,那么必須盡可能選擇較大的數 有依次減小,所以我們選擇時應從左至右的選擇 有而所以最少選擇11個即可使它們的和大于3.【答案】11個已知：,那么與中 比較大,說明原因；【考點】兩個數的大小比較 【難度】4星 【題型】填空 ,即比大【答案】比較大模塊二、多個數的大小比較 = 1 * GB2 比較以下小數,找到最大的數：, , = 2 * GB2 比較以下5個

8、數,排列大小：1 ,.【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空 = 1 * GB2 題目中存在循環小數,將所有小數位數補至相同的位數,如下所示： 1.12112112l 1.121000000 1.1212121211.121210000 1.120000000于是可以得出結果,是最大的數對于循環小數的問題,首先考慮的就是將其展開,從中獲得足夠的信息,然后按照小數比較原則判斷,不處理而一味的觀察是沒有意義的 = 2 * GB2 題目中出現了整數、小數、假分數,可以先把數分為兩個部分,一部分為小于1的數,一部分為大于等于1的數,然后兩部分內部比較,無須兩部分間重復比較小于l的部分為和

9、,將小數展開,并把化為小數得：,顯然,即；大于等于1的部分中,有整數、小數、假分數：1,1.667,先將假分數化為帶分數,比較三數整數部分,發現都為1,然后比較其他部分：1.6666661.667,所以得到1 ； -=,即；-=,即；-=,即；-,-,-,-所得的差依次為,均小于0,所以,bc Bacb Cacb Dabc【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽,初賽略【答案】甲、乙兩個天平上都放著一定重量的物體,問：哪個是平衡的?【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽,初賽考慮除以3,所得的余數因為478除以3余1,9763除以3也余

10、1只要看478,9十76十3除以3的余數,所以4789763除以3余111,而4666514除以3余2即4666514除以3余2,因此47897634666514,從而天平甲不平衡天平乙是平衡的.【答案】天平乙是平衡的用“”號把下列分數連接起來： 【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空這道題目本身并不難,孩子們用自己的辦法可以很快的做出來,但如果數字變的復雜些,那么我們就必須找到一個有效方法了。從這道題目,我們可以給大家展示另外2種典型思路。法1：法2: 觀察可以發現分母都是4的倍數,所以我們不妨把分母都化為4,可得：因為,即【答案】這里有5個分數：,如果按大小順序排列,排在中間

11、的是哪個數？【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽,初賽,試題分子的最小公倍數是60,給出的5個分數依次等于：,比較分母的大小,居中的分數是,即。【答案】從六個數中選出三個數,分別記為A,B,C.要求選出的三個數使得AB-C盡量大,并寫出AB-C的最簡分數表示。【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空要求AB-C盡量大,顯然C取最小數,A、B取最大和次大數,利用和一定,差越小積越大,顯然A取次大數,B取最大數。六個數中分數、小數并存,發現是比1小的數,所以C為。再看其它五個數字,本題將分數化為小數容易判斷：因此,故有： . 【答案】在四個算式60.3,

12、6,6,6的四個方框內,分別填上加、減、乘、除四種運算符號,使得到的四個算式的四個圓圈之和盡可能大,那么這個和等于多少？ 【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空 所以,0.3前面應填除號,前面填減號,前填加號,前填乘號,才能使這四個算式的答數之和最大這個最大的和是：【答案】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中隨意取出兩個數字,一個作分子,一個作分母,組成一個分數,所有分數中,最大的是 ,循環小數有個 。【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試最大的為=9,循環小數的分母為3,分子為1、2、4、5、7、8；分母為6,分子為1、2、4、5、

13、7、8；分母為7,分子為1、2、3、4、5、6、8、9；分母為9,分子為1、2、3、4、5、6、7、8；共28個。【答案】9；共28個 從中去掉兩個數,使得剩下的三個數之和與接近,去掉的兩個數是 .ABCD【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽,初賽 本題不是計算最大,而是計算哪個與接近,再找分母的最小公倍數比較大小,則以上分式分別可以寫成：,可以寫成,顯然最接近。【答案】D已知A15=B15=C15.2=D14.8.A、B、C、D四個數中最大的是_【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】小數報,決賽找A、B、C、D中最大的,即找151、15

14、.2、14.8中最小的容易求出最小,所以B最大【答案】B已知,并且,都不等于0,把、這三個數按從小到大的順序排列是_ 。【考點】多個數的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯,初賽,六年級由于,且,所以。【答案】氣象局對部分旅游景區的某一天的氣溫預報如下表：景區千島湖 張家界廬山三亞麗江大理九寨溝鼓浪嶼武夷山黃山氣溫11/18/43/-227/1917/318/38/-815/915/10/-5其中,溫差最小的景區是_ ,溫差最大的景區是_。【考點】多個數的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,4年級,1試表中溫差從左到右分別為：10、4、5、8、14、15、16

15、、6、14、5所以溫差最小的景區是張家界,溫差最大的景區是九寨溝。【答案】最小的景區是張家界,溫差最大的景區是九寨溝模塊三、數的估算求數 的整數部分【考點】數的估算 【難度】2星 【題型】填空這道題顯然不宜對分母中的11個分數進行通分求和要求a的整數部分,只要知道a在哪兩個連續整數之間因為a中的11個分數都不大于,不小于,所以1111 即1.1 由此可知a的整數部分是1【答案】1已知 ,則A的整數部分是_【考點】數的估算 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,五年級,一試； 所以的整數部分是2。【答案】求數的整數部分是幾？【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽,復賽

16、,即1原式1.9,所以原式的整數部分是1.【答案】求數的整數部分【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空,又,所以,即,所以其整數部分是1【答案】1已知：S,則S的整數部分是 . 【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】清華附中,入學測試如果全是,那么結果是,如果全是,那么結果是,所以S,不能確定S的整數部分.我們不妨采用分段估值,有：則大家馬上會被這個計算量嚇住了！這只是我們的第一次嘗試,如果不行我們還要再次細化分段,計算量的龐大讓我們有些止步了.那么我們有沒有更好的方法來解決這個問題呢？答案是：有！下面先讓我們來看看兩個例子： = 1 * GB2 那么也就有：2那么也就有

17、：聰明的你從中會發現一個找“最小界限的新規律”,那么再讓我們回到原題來看看吧！則,由此可以確定整數部分是73【答案】已知,則與最接近的整數是_【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】仁華學校由于,所以,所以,即,那么與最接近的整數是143小結：由于只需要求與最接近的整數,而不是求的整數部分,所以進行上述放縮已經足夠但是如果要求的整數部分,又該如何進行呢？將分母中的14個分數兩兩分為一組：,分組的標準在于每組中兩個分數的分母之和相等,此處有偶數項,恰好可以兩兩分組；如果有奇數項,則將中間的一項單獨分為一組,根據“兩數之和一定,差越小積越大”,可知,所以,可得,所以,所以,即,所以的

18、整數部分為142【答案】142的整數部分是_【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,六年級由于,所以,即,所以,所以,又,所以,所以的整數部分是1【答案】的整數部分是 【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空對分母進行放縮令,則,又,根據兩個數和一定則差越小積越大,所以,則,可得,所以,即,所以的整數部分為400【答案】400已知,求的整數部分【考點】數的估算 【難度】4星 【題型】填空題中已經指明,式子中每一項的分母都可以表示成,對于不好直接進行處理,很容易聯想到及,所以可以進行放縮由于,所以,那么,即,那么的整數部分為1小結：從式子中也可以直接看出,所以對于這一

19、點也可以不進行放縮【答案】1A8.88.988.9988.99988.99998,A的整數部分是_.【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】小數報,決賽方法一：A8.8544 ,A9545 ,所以A的整數部分是44 .方法二：將原式變形后再估算A8.88.988.9988.99988.9999890.290.0290.00290.000290.00002450.22222所以A的整數部分是44 .【答案】44=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,的整數部分是 。【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯,6年級=11-0.2+

20、11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222所以的整數部分是54。【答案】54已知x0.90.990.9990.9999999999求x的整數部分【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空方法一：要求x的整數部分,必須找到x介于哪兩個連續整數之間即axa1,x的整數部分和n相等可以先將原算式放大,把每個加數都看成1這樣結果是11010；然后將原算式縮小,把每個加數都看成0.9,結果是0.9109可見原算式的結果介于10和9之間即9x10,所以x的整數部分是9方法二：將原式變型后再估算x0.90.990.9990.999999999910.1

21、10.0110.00110.0000000001 100.10010.0010.0000000001100.1111111111所以x的整數部分是9【答案】9計算 8.011.248.021.238.031.22整數部分.【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽 方法一：在8.011.248.021.238.031.22中,各式的兩個因數之和都相等.根據兩個數和一定時,這兩個數越接近則乘積越大,所以8.011.248.021.238.031.22；則有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003 ,即 29.28原式30 ,所以原式的整數部分

22、是29 .方法二：為了使計算簡便,可以把8.01、8.02、8.03分成整數和小數兩部分計算,小數部分可以進行估算81.2481.2381.2281.241.231.2283.6629.280.011.240.021.230.031.220.0110.0210.0310.06因為0.06不會影響整個算式的整數部分,所以整數部分是29【答案】29老師在黑板上寫了七個自然數,讓小明計算它們的平均數保留小數點后面兩位小明計算出的答數是14.73,老師說：“除最后一位數字外其它都對了”那么,正確的得數應是_ _.【考點】數的估算 【難度】3星 【題型】填空法1：因為14.7這三個數字正確,14.77102.9,所以,這七個自然數的