1、1.4 充分條件與必要條件1.通過對典型數學命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質定理與必要條件的關系;理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關系;理解充要條件的意義,理解數學定義與充要條件的關系.2.結合具體問題,利用集合等知識,學會判斷充分條件、必要條件和充要條件.3.分清充分性與必要性,培養等價轉化思想.命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關系由p可以推出q,記為:pq由p不能推出q,記為:p /q條件關系p是q的充分條件p不是q的充分條件q是p的必要條件q不是p的必要條件充分條件和必要條件1.數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件.2.

2、數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件.充分條件和必要條件與判定定理和性質定理將命題為“若p,則q”(稱為原命題)的條件p和結論q互換,就得到一個新的命題“若q,則p”,稱這個命題為原命題的逆命題.逆命題如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有pq,又有qp,就記作pq.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果pq,那么p與q互為充要條件.充要條件如果原命題為“若p,則q”,逆命題為“若q,則p”,那么p與q的關系有以下四種情形:原命題逆

3、命題p與q的關系q與p的關系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件四種條件與命題真假的關系1.p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系,只是說法不同.()2.p是q的必要條件的含義是:如果p不成立,則q一定不成立.()3.三角形相似是三角形全等的必要條件.()提示:由“三角形全等”能推出“三角形相似”,因此結論正確.4.證明“p的充要條件是q”,則由pq證的是充分性,由qp證的是必要性.()提示:在“p的充要條件是q”中,q是

4、條件,p是結論,因此由pq證的是必要性,由qp證的是充分性.判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” 。5.若p是q的充要條件,q是r的充要條件,則p是r的充要條件.()提示:若p是q的充要條件,q是r的充要條件,則pq,且qr,因此pr,故p是r的充要條件.6.“AB是空集”是“A與B均是空集”的充要條件.()充分條件、必要條件和充要條件的判斷觀察下面4個電路圖. 問題1.中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件?提示:充分不必要.2.中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件?提示:必要不充分.3.中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件?提示:充要.4.中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件?提示:既不充分也不必要.5

5、.將中開關A與燈泡B位置互換,開關C始終是斷開狀態,結論變嗎?提示:變為充要.充分、必要條件判斷的幾種方法(1)定義法:直接利用定義進行判斷.(2)等價法:“pq”表示p等價于q,等價命題可以進行轉換,當我們要證明p成立時,就可以去證明q成立.(3)傳遞法:根據充要關系的傳遞性來判斷的方法叫傳遞法.充分條件具有傳遞性,若A1A2A3An-1An,則A1An,即A1是An的充分條件.必要條件也有傳遞性,若A1A2A3An-1An,則A1An,即A1是An的必要條件.當然充要條件也有傳遞性.因此,對于較復雜的(連鎖式)關系的判斷可用連鎖式的傳遞圖來解答.(4)利用集合間的包含關系進行判斷:如果滿足

6、條件p和結論q的元素構成的集合分別為A和B,那么若AB,則p是q的充分條件;若BA,則p是q的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件;若AB,則p是q的充分不必要條件;若BA,則p是q的必要不充分條件;若AB且BA,則p是q的既不充分也不必要條件.判斷下列各命題中p是q的什么條件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:t2,q:t24;(3)p:0 x3,q:|x-1|2;(4)p:ABC為直角三角形,q:ABC為等腰三角形.思路點撥利用充分條件、必要條件的定義來判斷.解析(1)x-2=0(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0,所以

7、“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要條件.(2)t24t2,t2/ t24(當t=-2時,t2=4),“t2”是“t24”的必要不充分條件.(3)令A=x|0 x3,B=x|x-1|2=x|-1x3.AB,p是q的充分不必要條件.(4)p/ q,q/ p,p是q的既不充分也不必要條件.導師點睛(1)判斷p是q的什么條件,主要是判斷pq及qp兩命題的正確性,若pq為真,則p是q的充分條件,若qp為真,則p是q的必要條件.(2)當條件和結論是不等式時,可以利用集合間的關系判斷充分性和必要性.已知命題p:y=ax2-2x-1恒為負值.問題1.命題p的充要條件可以是.提示:由得a-

8、1.2.命題p的充分不必要條件可以是.提示:在問題1的前提下,找a|a-1的非空真子集即可.3.命題p的必要不充分條件可以是.提示:在問題1的前提下,找一個集合A,使得a|a2C.x2+y22D.xy1思路點撥代特值,根據充分不必要條件的定義來判斷.解析對于A,當x=1,y=1時,不能得到x,y中至少有一個數大于1;對于C,當x=-1,y=-2時,不能得到x,y中至少有一個數大于1;對于D,當x=-1,y=-2時,不能得到x,y中至少有一個數大于1;對于B,若x,y都小于或等于1,即x1,y1,則x+y2,與x+y2矛盾,故“x,y中至少有一個數大于1”成立的一個充分條件是“x+y2”,而當x

9、=2,y=-1時,x+y2不成立,所以“x+y2”不是“x,y中至少有一個數大于1”成立的必要條件.故選B.求證:關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為-1的充要條件是a-b+c=0.思路點撥先證明充分性,即證a-b+c=0ax2+bx+c=0有一個根為-1;再證必要性,即證ax2+bx+c=0有一個根為-1a-b+c=0.證明充分性:因為a-b+c=0,即a(-1)2+b(-1)+c=0,所以-1是ax2+bx+c=0的一個根.必要性:因為ax2+bx+c=0有一個根為-1,所以a(-1)2+b(-1)+c=0,即a-b+c=0.綜上可得,ax2+bx+c=0有一個根為-1的充要條件是a-b+c=0.充分條件、必要條件的應用一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意:(1)把充分條件、必要條件轉化為集合之間的關系,然后根據集合之間的關系列出關于參數的等式或不等式(組),求解即可.(2)要注意對解集端點值的檢驗.利用充分條件、必要條件確定參數的值(取值范圍)已知非空集合A=x|2x3a+1,B=x|ax2,即a.q是p的必要條件,AB,解得a,a.即實數a的取值范圍是.已知集合A=,集合B=x|x-m|1,設p:xA,q:x