1、三角形全等之截長補短（習題）例題示范例1：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，BDCD且BD=CD，DBC=45過點C作CEAB于E，交對角線BD于F，連接AF求證：CF=AB+AFADEFBC【思路分析】題目中出現了線段的和差倍分（所求為一條線段是另外兩條線段之和），所以考慮截長補短考慮截長的方法，如圖所示：ADEFHBC在線段CF上截取CH=AB，連接DH，只需證明AF=HF即可結合題目條件，先證明ABDHCD，再證明ADFHDF，從而得到AF=HF，證明成立考慮補短的方法，如圖所示：HADEFBC延長BA交CD的延長線于點H，只需證明BH=CF，AH=AF即可可結合題目條件，先證明CDF

2、BDH，再證明ADFADH，從而得到BH=CF，AH=AF，證明成立【過程書寫】（截長的方法）在線段CF上截取CH=AB，連接DH1ADEFHBCABDHCDBDCDADFHDFDFDFBDCD，BECEBEF=FDC=90EBF+EFB=90FCD+DFC=90EFB=DFCEBF=FCD在ABD和HCD中，ABHCABDHCD（SAS）AD=HD，ADB=HDCADBCADB=DBC=45HDC=45HDF=BDC-HDC=45ADB=HDF在ADF和HDF中，ADHDADFHDF（SAS）AF=HFCF=CH+HF=AB+AF鞏固練習1.如圖，在ABC中，BAC=60，ABC=80，AD

3、是BAC的平分線求證：AC=AB+BDAABD2CBDCC2.如圖，AC平分BAD，CEAB于E，B+D=180求證：AE=AD+BEDAEBCDAEB3.如圖，在ABC中，A=100，ABC=40，BD是ABC的平分線，延長BD至E，使DE=AD，連接EC求證：BC=AB+CEADEBC3ADEBC4.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，FAD=FAE求證：BE+DF=AEADFBEC思考小結1.證明線段或角相等時，可以考慮把線段或角放到兩個三角形中證明全等如果題目中沒有可能全等的三角形，往往考慮通過添加輔助線，構造全等三角形來證明常見構造輔助線的方法：_：當已知條件中有中線（中點）時，往往

4、考慮延長中線構造全等三角形_：當題目中出現線段的和差倍分時，往往考慮把多條線段間的數量關系轉化為兩條線段的等量關系來處理2.利用“截長補短”我們就可以證明直角三角形中非常重要的一個定理：30角所對的直角邊是斜邊的一半4已知：如圖，在RtABC中，C=90，A=30求證：BC1ABA230BC【參考答案】鞏固練習1.證明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，連接eqoac(,DE)，證明ABDAED，再證明CE=DE；方法二：延長AB到E，使BE=BD，連接DE，證明ADEADC2.證明略提示：在AE上截取AF=eqoac(,AD)，證明CDACFA，再證明BE=FE3.證明略提示：在BC上截取BF=BA，連接eqoac(,DF)，證明ABDFBD，再證明DFCDEC4.證明略5據三線合一，可得BC=BD，所以BC=AB提示：延長CB至點G，使BG=DF，連接AG，證明ABGADF，再證明AE=GE即可思