1、數列的概念及等差數列1設 Sn是數列 an的前 n項和，且 Sn=n2，則 an 是（）A.等比數列，但不是等差數列C.等差數列，而且也是等比數列B.等差數列，但不是等比數列D.既非等比數列又非等差數列2、設 an（nN*）是等差數列， Sn 是其前 n 項的和，且 S5S8， 則下列結論錯誤的是（）A.dS5D.S6 與 S7均為 Sn的最大值3、（ 2010安徽理數）設數列 a1,a2, ,an, 中的每一項都不為 0。證明： an 為等差數列的充分必要條件是：對任何 n N ，都有1a1a21anan 1na1an 14、在 XOY平面上有一點列 P1（a1，b1），P2（a2，b2），

2、 Pn（an，bn），對 a每個自然數 n，點 Pn位于函數 y=2000（ 10 ）x（0a10）的圖象上，且點 Pn、點（ n，0）與點（ n+1，0）構成一個以 Pn為頂點的等腰三角形。（）求點 Pn的縱坐標 bn 的表達式；（）若對每個自然數 n，以 bn，bn1，bn2 為邊長能構成一個三角形，求 a的取值范圍；（）（理）設 Bnb1b2bn（nN）. 若 a 取（）中確定的范圍內的最小整數，求數列 Bn的最大項的項數。 （參考值： lg2 0.3, lg 7 0.85）5 、（ 2010 江蘇卷）設各項均為正數的數列an 的前 n 項和為 Sn ，已知2a2 a1 a3 ，數列 S

3、n 是公差為 d 的等差數列。（1）求數列 an 的通項公式（用 n,d 表示）；（2）設 c 為實數，對滿足 m n 3k且m n 的任意正整數 m,n,k ，不等式 Sm Sn9cSk 都成立。求證： c的最大值為 2 。b ，且對滿足 m n p q 的6、各項均為正數的數列 an ，a1 a,a2am an正整數 m,n, p,q 都有 (1 am)(1 an)ap aq(1 ap)(1 aq)求當 a 21, b 45 時，求通項 an;數列的概念及等差數列1設 Sn是數列 an的前 n項和，且 Sn=n2，則 an 是（）A.等比數列，但不是等差數列B.等差數列，但不是等比數列C.

4、等差數列，而且也是等比數列D.既非等比數列又非等差數列答案：B；解法一： an=S1(n 1)anSn Sn 1 (n 2) n1 (n 1) 2n 1 (n 2)an=2n1（nN）又an+1an=2為常數， an 1 2n 1常數 an 2n 1an 是等差數列，但不是等比數列 .2、設 an（nN*）是等差數列， Sn 是其前 n 項的和，且 S5S8， 則下列結論錯誤的是（）A.dS5D.S6 與 S7均為 Sn的最大值解析：（1）答案： C；由 S5S6 得 a1+a2+a3+a50，又 S6=S7， a1+a2+ +a6=a1+a2+ +a6+a7， a7=0，由 S7S8，得 a

5、8S5，即 a6+a7+a8+a90 2（ a7+a8） 0，由題設 a7=0， a80，顯然 C 選項是錯誤的。3、（ 2010安徽理數）設數列 a1,a2, ,an , 中的每一項都不為 0。證明： an 為等差數列的充分必要條件是：對任何 n N ，都有11n11na1a2a2a3anan 1a1an 14、在 XOY平面上有一點列 P1（a1，b1），P2（a2，b2）， Pn（an，bn），對每個自然數 n，點 Pn位于函數 y=2000（ a ）x（0 a 2k 1.那么，當 n=k+1 時，（1+1）（1+1）（1+ 1 ）1+1 2k 13 2k 1 2（k 1） 1（1+ 1

6、 ）= 2k 1 （2k+2）。2k 1 2k 1 2k 1（2k+2）2（ 2k 3 ）22k 112k 10，4k 2 8k 4 （4k2 8k 3） 2k 12k 1 2k 1(2k 2) 2k 3 2(k 1) 1.2k 1111因而 (1 1)(1 ) (1 )(1 ) 2(k 1) 1.3 2k 1 2k 1 這就是說式當 n=k+1 時也成立 . 由(i )，(ii )知式對任何正整數 n 都成立 . 由此證得： Sn 1l gbn+1。26、(2010 江蘇卷)設各項均為正數的數列 an 的前 n 項和為 Sn ，已知 2a2 a1 a3 ， 數列 Sn 是公差為 d 的等差數

7、列。(1)求數列 an 的通項公式(用 n,d 表示)；(2)設c為實數，對滿足 m n 3k且m n 的任意正整數 m,n,k ，不等式 Sm Sn cSk 都成立。求證： c 的最大值為 9 。2 解析 本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考 查探索、分析及論證的能力。滿分 16 分。( 1 )由題意知：d 0 ， SnS1 (n 1)da1 (n 1)d2a2a1a33a2S33(S2S1)S3 ， 3(a1d)a1(a12d) ,化簡，得： a1 2 a1 d d2 0, a1 d,a1 d2Sn d (n 1)d nd,Sn n2d 2，當 n 2時， an

8、Sn Sn 1 n2d2 (n 1)2d2 (2n 1)d2 ，適合 n 1情形。 故所求 an (2n 1)d 2(2)(方法一)22SmSncSkm2d2n2d2ck2d2m2n2c k2 ， c m2 n恒成立。k2又 m n 3k且 m n ，2 2 2 22(m n ) (m n) 9k22m2 n2 9故 c 92 ，即c的最大值為 92方法二)由 a1 d 及 Sna1 (n 1)d，得 d 0， Sn n2d2。于是，對滿足題設的 m,n,k ， m n ，有22 2 2 (m n) 2 9 2 2 9 Sm Sn (m2 n2)d2d 2d 2k 2Sk 。m n 2 2 2

9、 k 所以 c的最大值 cmax 9 。2另一方面，任取實數 a 9 。設 k為偶數，令 m 3k 1,n 3k 1 ，則m, n,k 符合條 2 2 2件，且 Sm Sn (m2 n2)d2 d2(3k 1)2 (3k 1)2 1d2(9k2 4) 。222于是，只要 9k2 4 2ak2，即當 k 2a2 9 時， Sm Sn 21d2 2ak2 aSk。所以滿足條件的 c 9，從而 cmax 9。22 因此 c 的最大值為 9 。27、各項均為正數的數列 an ，a1 a,a2 b ，且對滿足 m n p q的正整數 m,n, p,q都有am anap aq.(1 am)(1 an) (

10、1 ap)(1 aq).14 ( 1)當 a, b 時，求通項 an;2 5 n1 (2)證明：對任意 a，存在與 a 有關的常數 ，使得對于每個正整數 n ，都有 1 an.解：( 1)由am anap aq得a1 an(1 a1)(1 an)(1 am)(1 an) (1 ap )(1 aq)(1 aa22)(1ana1n 1).將a1 12,a2 54代入化簡得2an 1 1an 1 2所以 1 an1 an1 1 an 13 1 an 113n,即an可驗證，an3n 13n 1滿足題設條件(2) 由題設am an的值僅與 m n有關,記為 bm n, 則 bn 1(1 am)(1 an)m n n 1a1 an(1 a1)(1 an)a an(1 a)(1 an)考察函數f (x)ax(1 a)(1 x)(x 0) ,則在定義域上有故數列 an g(a) 1 2g(a)g(a) n g(a)取 1 g(a) 1 2g(a) 1 a . 取,即