1、第 頁共5頁精心設(shè)計(jì)重在思維勤于訓(xùn)練從一道題目的拓展訓(xùn)練說起三角形中位線是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)之一筆者通過精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，為學(xué)生編織有效的知識(shí)網(wǎng)，達(dá)到了事半功倍的教學(xué)效果.現(xiàn)呈現(xiàn)如下，旨在與大家交流提高.一、例題及跟進(jìn)訓(xùn)練例題如圖1,在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AB=CD,F是AD的中點(diǎn)，MF的延長線交BA的延長線于E點(diǎn)，求證:AE=AF.略解如圖2，連BD，取BD中點(diǎn)P，連PF、PM，則有PF/AB，PF=1AB；2，PM/CD，PM=1CD.2/.ZPFM=ZE，ZPMF=ZMFC.AB=CD，/.PF=PM./ZPFM=ZPMF,/ZE=ZMFC=ZAFE,/.AE=AF.反思在本問

2、題的解答過程中，由中點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)想，構(gòu)造中位線，將看似本無關(guān)聯(lián)的兩條線段聯(lián)系在一起，是解決問題的關(guān)鍵.為幫助學(xué)生熟識(shí)此“模式”，筆者安排了以下跟進(jìn)訓(xùn)練.訓(xùn)練1如圖3,在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別為AD和BC的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長線分別交CD的延長線和BA的延長線于點(diǎn)N、M.求證:ZBMF=ZCNF.圖3圖4略解連AC（或BD）并取其中點(diǎn)P，再連PE、PF，如圖4.利用例題方法很容易得結(jié)論.反思從學(xué)生的反饋來看，學(xué)生還處在簡單的模仿期，能否創(chuàng)新，并內(nèi)化為自己的能力還有待檢驗(yàn)考核于是進(jìn)一步探討下面的問題：訓(xùn)練2如圖5,在ABC中，ACAB，在它的兩邊AB,AC上分別截取BD=CE,F、G分別

3、是BC，DE的中點(diǎn)，又AT是上BAC的平分線求證:FGIIAT.MANDD,GEEBCB圖5圖6略解方法1:如圖6，連DC，并取其中點(diǎn)P，再連PG、PF，延長FG、BA交于點(diǎn)M，F(xiàn)G交AC于點(diǎn)N.則易用類似例題方法證得FGIIAT.方法2:如圖7，連結(jié)DF，并延長到H點(diǎn)，使FH=DF，連CH、EH，則有BDF仝aCHF,得BD=CH，ZB=ZBCH,CE=CH，.aZCEH=ZCHE.由三角形內(nèi)角和定理，知ZCEH+ZCHE=ZBAC,于是由ZTAC=ZHEC,得FG/AT.方法3:如圖8,過D點(diǎn)作AT的垂線分別交AT、AC于M、P點(diǎn)，過B點(diǎn)作AT的垂線分別交AT、AC于N、Q點(diǎn)，連MG、NF

4、.由AT是ZBAC的平分線，很容易得:M、N分別為DP、BQ的中點(diǎn),BD=PQ=CE,aPE=CQ.F、G分別是BC、DE的中點(diǎn)，MG/AC,MG=-PE,NF/AC,NF=-CQ,22MG/NF，且MG=NF.四邊形MNFG為平行四邊形，故得結(jié)論FG/AT.反思方法1構(gòu)造中點(diǎn)在預(yù)設(shè)之中，延長FG與BA交于M點(diǎn)在生成之外顯然是學(xué)生在模仿利用了前面的經(jīng)驗(yàn)而構(gòu)造的中點(diǎn)，在矛盾沖突中才嘗試構(gòu)造出延長線.這是學(xué)生一個(gè)很大的進(jìn)步和創(chuàng)新.訓(xùn)練2比訓(xùn)練1又進(jìn)了一個(gè)梯度，這能真實(shí)的反映學(xué)生的點(diǎn)滴收獲.方法2比方法1更有創(chuàng)意.事實(shí)上，利用F這個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是我們常講的方法,也是學(xué)生能熟練運(yùn)用的方法.解法3

5、是最能體現(xiàn)命題者意圖的方法，其中涉及角平分線，作垂線，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，是我們解決此類問題的有效思路.二、課內(nèi)練習(xí)1.已知:如圖9,在RtABC中,ZACB=90，D為AB中點(diǎn)，連CD.求證CD=2AB.圖9圖10設(shè)置這個(gè)問題，因?yàn)樗且粋€(gè)簡單的與中點(diǎn)有關(guān)的重要問題，實(shí)際上就是后面將要學(xué)習(xí)的“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”的問題.學(xué)生的表現(xiàn)可謂精彩紛呈:學(xué)生1:如圖10,延長CD到E，使DE=CD，連AE.學(xué)生2:如圖11，延長AC到F，使CF=AC，連BF.A學(xué)生3:如圖12,延長BC到G，使CG=BC，連AG，2.已知:ZACB和aAED都是等腰直角三角形，ZAED=ZACB=

6、90,M、N分別是BD、CE的中點(diǎn).如圖13,若D點(diǎn)在線段AB上，判斷MN與CE之間的關(guān)系，并說明理由.學(xué)生1:如圖14,連EM并延長到F,使MF=ME,連FC,則有zsEDM二皿BM,得BF=DE=AE.由aEAC二卜FBC，得CF=EC，因MN是EFC的中位線而得MN丄EC，且MN=1EC2C4C圖14圖15學(xué)生2:如圖15,連CM并延長到G，使MG=CG，連EG，類似同學(xué)1方法得結(jié)論.學(xué)生3:如圖16,連DN并延長到H，使NH=DN，連BH.（實(shí)際上在問題解決的過程中，我們發(fā)現(xiàn):H點(diǎn)在線段AC上，因此可以優(yōu)化輔助線作法:連DN并延長交AC于H點(diǎn)，連BH.）BB圖16圖17學(xué)生4:如圖17

7、，延長EA、BN交于點(diǎn)P，連DP，貝I可證AECEDP，得EP=AC=BC；再證ENP=CNB得N為BP中點(diǎn)，利用中位線得結(jié)論.如圖18,將圖13中的AAED繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.三、課后反思提倡自主學(xué)習(xí)，是我們的共識(shí)自主學(xué)習(xí)是提高學(xué)習(xí)成績的最佳策略.教師有效的教會(huì)學(xué)生怎樣解題，培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力是我們的目的.我們教會(huì)學(xué)生做一千道題，但當(dāng)一千零一道題出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生可能還是不會(huì)，所以教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)教會(huì)學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)思想方法.這是新課標(biāo)將“三基”擴(kuò)展到“四基”的初衷，也是我們的共同追求.恰當(dāng)設(shè)置問題，是激活學(xué)生思維的最好平臺(tái)實(shí)踐證明，一題多解，變式訓(xùn)練，都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效的途徑或手段.上述在解決中位線這個(gè)比較難的問題時(shí)，教師組合了一個(gè)問題串，傳遞的信息有很強(qiáng)的指向性:連線段，取中點(diǎn)，作中位線，改變問題呈現(xiàn)形式，循序漸進(jìn)，逐層推進(jìn)，高頻率，強(qiáng)刺激，收到了很好的效果.解題常用方法須強(qiáng)化和深化解決線段間的數(shù)