1、專題七 曲線的性質和軌跡問題 【考點搜索】【考點搜索】 1.掌握圓錐曲線的第一定義和第二定義反映的幾何性質； 2.求曲線的方程的常見方法： 待定系數法，即先確定方程的形式，再確定方程的系數； 定義法，即根據已知條件，建立坐標系、列出x和y的等量關系、化簡關系; 代入法; 參數法.【課前導引】【課前導引】 1. 已知F1、F2是雙曲線 的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是( )解析 設的中點為P，依題意， 解析 設的中點為P，依題意， 答案 D2. 以下四個關于圓錐曲線的命題中：設A、B為兩個定點，k為非零常數， ，則動點P的軌跡為 雙

2、曲線；過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB， O為坐標原點，若 則動點P的軌跡為橢圓；方程 的兩根可分別作 為橢圓和雙曲線的離心率； 雙曲線 相同的焦點. 其中真命題的序號為_（寫出所有真命題的序號） 解析 的軌跡可能是雙曲線的一支，也可能是一條射線，也可能無軌跡； 的軌跡是圓；計算知正確。【鏈接高考】 【鏈接高考】 xyAPF1F2OB例1(1)設橢圓的離心率為，證明 (2)證明： (3)設 求橢圓的方程. xyAPF1F2OB解析xyAPF1F2OB( 另：由ab=c2知：xyAPF1F2OB(2) 由(1)有 xyAPF1F2OBxyAPF1F2OBxyAPF1F2OB故所求橢圓的方程為x

3、yAPF1F2OB故所求橢圓的方程為說明 本題采用了待定系數法求軌跡方程.xyAPF1F2OB例2 在ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0), 的垂心H分有向線段 所成的比為 (1) 分別求出點A和點H的軌跡方程;解答 設H點的坐標為(x,y),對應的A的坐標為(x1, y1), 則D的坐標為(x1, 0), 由H分有向線段 此即點H的軌跡方程. (2)由(1)可知, P, Q分別為橢圓的左右焦點, 設H(x, y), 且數列, 則 說明 本題采用了代入法求軌跡方程.例3 如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點

4、. (1)求APB的重心G的軌跡方程. (2)證明PFA=PFB.ABPFOyxl解答 (1)設切點A、B坐標分別為 ABPFOyxl所以APB的重心G的坐標為 ABPFOyxlABPFOyxl由于P點在拋物線外，ABPFOyxlABPFOyxlAFP=PFB.ABPFOyxl方法2：所以d1=d2，即得AFP =PFB.所以P點到直線AF的距離為：同理可得到P點到直線BF的距離 因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.同理可得到P點到直線BF的距離 因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.說明 本題采用了代入法求軌跡方程.例4 如右圖, 已知A: (x+2)2+y2 = B: (x2)2+y

5、2 = , 動圓P與A、B都相外切. yxABP (1)動圓圓心P的軌跡方程； (2)若直線y=kx+1與(1)中的曲線有兩個不同的交點P1、P2，求k的取值范圍.解答 (1)依題意，PAPB= 故P的軌跡是雙曲線的右支，a=1，c=2，其方程為： yxABP(2)聯立方程組在1, +)有兩不同的解，例5 A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且OAOB， 1. 求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積； 2. 求證：直線AB過定點； 3. 求弦AB中點P的軌跡方程； 4. 求AOB面積的最小值； 5. 求O在AB上的射影M軌跡方程.解答 (1)設A(x1, y1)，B(x2, y2)

6、，中點P(x0, y0)， OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2) AB過定點(2p, 0)，設M(2p, 0).(3)設OAy = kx，代入y2=2px 得: x=0， 同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .即 y02 = px0-2p2， 中點M軌跡方程 y2 = px-2p2(4)當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立. (5)法一：設H(x3, y3), 則 由(

7、1)知，y1y2=-4p2， 整理得：x32+y32 -2px3=0， 點H軌跡方程為x2+y2-4x=0(去掉(0, 0). H在以OM為直徑的圓上 點H軌跡方程為(x-p)2+y2=p2, 去掉(0, 0). 評注：此類問題要充分利用(1)的結論. 法二： OHM=90, 又由(2)知OM為定線段專題七 曲線的性質和軌跡問題 第二課時【考點搜索】【考點搜索】 1. 在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關的方程（等量關系），側重于數的運算，一是尋找與動點有關的幾何條件，側重于形，重視圖形幾何性質的運用； 2. 注意向量與解析幾何的密切聯系.由于向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份

8、”，使向量與解析幾何之間有著密切聯系，大量的軌跡問題都是以向量作為背景編擬的 ； 3.注意利用曲線系解題.【課前導引】 1. 已知反比例函數 的圖像是等軸雙曲線，則其焦點坐標是 ( )【課前導引】A.B.C.D.解答 雙曲線的實軸為直線 x-y = 0, 故兩個頂點坐標為 , 且 解答 雙曲線的實軸為直線 x-y = 0, 故兩個頂點坐標為 , 且 答案 A 2. 已知圓x2+y2=1，點A(1，0)，ABC內接于此圓，BAC=60o，當BC在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是( )A. x2+y2 = B. x2+y2 = C. x2+y2 = D. x2+y2 = 解析 記O為原點，依題意，

9、且OB=OC=1, 故原點到直線BC的距離為由圖像可知，BC中點的橫坐標小于故選D. 【鏈接高考】【鏈接高考】例1 若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2, 3)，B(3, 2)，求實數m的取值范圍.解答 直線mx+y+2=0過一定點C(0, -2), 直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, -2)的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在ABC的內部，設BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應滿足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) C(0, -2)ABxyO說明 此例是典型的運用數形結合的思想

10、來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率m應為傾角的正切，而當傾角在(0, 90)或(90, 180)內，角的正切函數都是單調遞增的，因此當直線在ACB內部變化時，k應大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍.例2 根據下列條件，求雙曲線方程.解答 方法一：(1)解之得：則， 解之得： 方法二：(1)設雙曲線方程為 (3)設雙曲線方程為 ， 解之得：k=4 雙曲線方程為 比較上述兩種解法可知，引入適當的參數可以提高解題質量，特別是充分利用含參數方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想.例3 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且

11、與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程.例3 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程.解答 由已知，直線l 不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為代入橢圓方程 得化簡后，得關于的一元二次方程于是其判別式 由已知，得=0即 在直線方程y=kx+m中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點P的坐標為(x，y)，由已知，得 代入式并整理，得 即為所求頂點P的軌跡方程. 說明 方程 形似橢圓的標準方程，但圖像當然不是橢圓，你能知道它有什么幾何性質？例4解（1） （2） 說明

12、向量數量積的坐標表示，構建起向量與解析幾何的密切關系，使向量與解析幾何融為一體. 求此類問題的關鍵是：利用向量數量積的坐標表示，溝通向量與解析幾何的聯系. 體現了向量的工具性.專題八 圓錐曲線背景下的最值與定值問題【考點搜索】【考點搜索】 1. 圓錐曲線中取值范圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍. 2. 注意利用某些代數式的幾何特征求范圍問題（如斜率、兩點的距離等）.【課前導引】 1. 設P(x, y)是曲線C：x2+y2+4x+3=0上任意一點，則 的取值范圍是 ( )【課前導引】 解析 注意數形結合，表示點(x, y)與原點連線

13、的斜率. 畫圖可知是C. 解析 注意數形結合，表示點(x, y)與原點連線的斜率. 畫圖可知是C. 答案 C A【鏈接高考】【鏈接高考】例1分析 本題考查向量的運算、函數極值，導數的應用等知識.分析 本題考查向量的運算、函數極值，導數的應用等知識.解析例2解析例3解析法一法二例4例4解析解析 法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理. 在利用點差法時，必須檢驗條件0是否成立.解析充分分析平面圖形的幾何性質可以使解題思路更清晰，在復習中必須引起足夠重視.例5解析專題八 圓錐曲線背景下的最值與定值問題第二課時 【考點搜索】【考點搜索】 1. 利用參數求范圍、最值問題

14、； 2. 利用數形結合求解范圍、最值問題； 3. 利用判別式求出范圍； 4. 新課程高考則突出了對向量與解析幾何結合考查，如求軌跡、求角度、研究平行與垂直關系等. 要注意利用這些知識解題.【課前導引】【課前導引】解析 由于a2，c1，故橢圓上的點到右焦點的距離的最大值為3，最小值為1，為使n最大，則3=1+(n1)d，但d解析 由于a2，c1，故橢圓上的點到右焦點的距離的最大值為3，最小值為1，為使n最大，則3=1+(n1)d，但d答案 C 2. 曲線 y=x4上的點到直線 x2y1=0的距離的最小值是( ) 2. 曲線 y=x4上的點到直線 x2y1=0的距離的最小值是( ) 解析 設直線L平行于直線x=2y+1,且與曲線y=x4相切于點P(x0，y0)，則所求最小值d，即點P到直線x=2y+1的距離， 解析 D【鏈接高考】【鏈接高考】例1解析 例2 設有拋物線 y2=2px(p0), 點F是其焦點, 點C(