1、 中學九年級數學上（解直角三角形）解直角三角形及其應用義務教育數學課程標準（2022年版）微能力2.0認證-中小學作業設計大賽目 錄作業設計方案撰寫：TFCF優秀獲獎作品1一、單元信息基本信息學科年級學期教材版本單元名稱數學九上滬科版解直角三角形單元組織方式團自然單元 重組單元課時信息序 號課時名稱對應教材內容123.1 銳角的三角函數1. 銳角三角函數的概念；2. 特殊角的三角函數值；3. 一般銳角的三角函數值223.2 解直角三角形及 其應用4. 解直角三角形的概念；5. 運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題說明：1.單元一般是指同一主題下相對獨立并自成體系的學習內容，相當于 一

2、個微課程，不一定是一個大概念成為一個單元主題。主題可以是一個觀念、一 個專題、一個關鍵能力或一個真實問題，一個綜合性的項目 (或跨學科) 任務。 2.根據課標，教材內容編排，學情及學習內容之間的關聯性進行確定單元主題， 具體做法建議如下：一是自然單元，以教材原先設計的自然章節作為一個單元主 題。二是重組單元，以課標中的某個學習主題、某個大概念或學科關鍵能力等重 組單元。二、單元分析( 一) 課標要求(1) 利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數 ( sin A ， cos A ， tan A )，知道 30 ，45 ，60角的三角函數值。2(2) 會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，

3、由已知三角函數值求它 的對應銳角。(3) 能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際 問題。(二) 教材分析本章的主要內容有銳角三角函數和解直角三角形的概念、有關銳角三角函數 的計算，以及銳角三角函數在解決與直角三角形有關的問題中的應用。解直角三 角形的知識在實際中有較多的應用。本章首先從學生比較感興趣的汽車爬坡能力 談起，引出一個銳角三角函數正切，因為相比之下正切是生活中用得最多的 三角函數概念，如山坡的坡度，物體的傾斜程度都是用正切來刻畫的。類比正切 的概念，進而介紹了正弦，余弦的概念。對于一般的銳角三角函數值的計算問題， 教科書中詳細介紹了運用計算器由銳角求三角函數值，

4、以及由三角函數值求銳角 的方法，并適當地加強這方面計算能力的訓練。這也為進一步學習解直角三角形 的應用題做好充分的準備。(三) 學情分析前面學生已經學習過相似三角形，勾股定理以及三角形的邊角關系等知識， 都為本章的學習做好了充分的鋪墊。同時本章是三角學中最基礎內容，也是高中 乃至今后進一步學習三角學的必要基礎。教科書在運用學習過的相似三角形的基 礎上推出直角三角形的銳角大小確定后，直角三角形的兩邊之比為一定值，從而 引入銳角三角函數的概念，進一步強化了數與形的結合思想，并且有利于數學知 識間的串聯，延伸。教師引導總結得當，學生學習起來就會更加得心應手，讓知 識體系的構建更加完整和合理。三、單元

5、學習與作業目標目標類別目標層次知識點及相關技能知識技能目標過程性目標了 解理 解掌 握靈活運用經歷 (感受)體驗 (體會)探 索銳 角 三 角 函數銳角三角函數的概念銳角的正弦、余弦和正切正 弦 、 余 弦 、 正 切 的 符 號 ( sin A ， cos A ， tan A )30 、45 、60角的三角函 數值3三 角 函 數 的 計 算用計算器求銳角的三角函數值用計算器根據三角函數值求銳 角解 直 角 三 角形解直角三角形的概念運用三角函數解決與直角三角 形有關的簡單實際問題單元作業目標知識與技能目標了解并掌握銳角三角函數的概念。牢記幾個特殊角的三角函數值，并能進行簡單的運算。理解并掌

6、握任意兩個銳角互余時，正、余弦之間的關系，會把互余兩角的 正、余弦互化。運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單的實際問題。結合勾股定理，解決直角三角形的邊角轉化問題。 過程與能力目標引導學生探索三角函數的推導過程，提升學生的數學推理能力。培養學生把實際問題轉化為數學問題并解決的能力，提高學生的形象思維能力，滲透轉化的數學思想。情感與態度能力學習中感受數學與生活的密不可分，來源于生活，也服務于生活。培養理 論聯系實際，敢于實踐，勇于探索的精神。四、單元作業設計思路在設計本章作業時，要從喚醒學生的轉化能力、推理能力開始，結合生活中 實際內容，按層次分解作業梯度，逐步達成作業目標，嘗試運用三角函數，

7、由課 本內容延伸到生活中的實際內容，培養學生探索的精神。同時，應該結合“雙減” 政策，優化作業內容，豐富作業形式。對于基礎知識，大部分學生能輕松掌握， 但仍有部分后進生或惰性較大的學生會有一點吃力。所以在設計作業時，基礎知 識是根本，應該體現在每一節課時中。同時，適當安排一些能力拓展的題目，通 過長時間積累，可以提高學生的數學理解能力。學生可以根據自己的能力選擇性 地完成，達到分層的目的。讓學生在循序漸進中掌握知識，提高能力，樂在其中。4第 23 章 解直角三角形23.1 銳角的三角函數23.1.1 銳角的三角函數單元名稱解直角三角形課題正切節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1

8、在 RtABC 中， C90 ，AC1，BC3 ，則B 的正切值為 ( )A 3 B C D 本 題 考 查 正 切 的定義，要掌握 銳角A的對邊 a 與鄰邊 b 的比叫 做A 的正切.18min2在 RtABC 中，若各邊長都擴大為原來的 3 倍，則銳角A 的正切值 ( )A 擴大為原來的 3 倍B 縮小為原來的C 不變D 以上都不對同上，要理解正 切 的 值 是 一 個 比值，只與角的 大小有關.3如圖，點 A (t ，3) 在第一象限，OA與 x 軸所夾的銳角為 ， tan = ，則t 的值是 ( )A 1 B 1.5 C 2 D 3本 題 考 查 正 切 的定義及運用： 在 直 角 三

9、 角 形 中，銳角正切為 對邊比鄰邊.54如圖，河壩橫斷面迎水坡 AB 的坡比為 1 ： ，壩高 BC4m ，則 AB 的長度 為 ( )本 題 考 查 直 角 三 角 形 的 應 用 坡 度坡 角 問題，正確掌握 坡 比 的 定 義 是 解題的關鍵.A 2 mC 4 mB 4 mD 6m5某人沿坡度i1：2 的斜坡向上前進了10 米，則他上升的高度為 ( )A 5 米 B 2 5 米C 4 5 米 D 10 米本 題 要 掌 握 坡 度的概念，結合 勾 股 定 理 設 參 數進行解答.6如圖，P (12，a ) 在反比例函數y = 圖象上，PHx 軸于 H，則 tanPOH 的值為 本 題

10、考 查 了 反 比 例 函 數 圖 象 上 點 的 坐 標 特 征，銳角三角函 數 的 定 義 及 運 用.7如圖，在四邊形 ABCD 中，E、F 分別是 AB 、AD 中點，若 EF2 ，BC5，CD3 ，則tan C 等于 ( )A B C D 本 題 考 查 的 是 三 角 形 中 位 線 定理、勾股定理 的逆定理、解直 角 三 角 形 的 知 識，熟練應用中 位 線 定 理 是 解題的關鍵.68如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂 寬 6m ，壩高 23m ，斜坡 AB 的坡度 i 1：3，斜坡 CD 的坡度 i 1：2.5求 斜坡 AB 的坡角 (精確到 1 度)，壩底 寬 AD 和斜

11、坡 AB 的長 (精確到 0.1m)考 查 了 解 直 角 三角形的應用， 解 決 本 題 的 關 鍵 是 利 用 銳 角 三 角函 數 的 概 念 和 坡 度 的 概 念求解.拓展題9如圖，A 、B 、C 是小正方形的頂點，且 每 個 小正 方 形 的 邊 長 為 1 ， 則tanBAC 的值為 ( )本 題 考 查 了 銳 角 三 角函 數 的 定義，解直角三 角形，以及勾股 定理，熟練掌握 勾 股 定 理 是 解 本題的關鍵.12minA12B 1 C33D 10如圖，在矩形 ABCD 中，AB11 ，AD 6 ，點 E 是邊 AB 上的點 (不與點A， B 重合) ，將A 沿 DE 折

12、疊，點 A1 是 點 A 的對應點；點 F 是邊 BC 上的點， 將B 沿 EF 折疊，點 B1 是點 B 的對應 點，且點 B1 在直線 EA1 上.(1) 若 DEEF，求 CF 的長； (2)若點 F 是 BC 的中點，求 tanADE 的值.本 題 考 查 折 疊 問題，能運用三 角形相似，全等 三角形，勾股定 理 等 知 識 綜 合 求 解 是 解 的 關 鍵.評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 8 題過程規范準確，答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 6 題過程不夠規范，7答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 6 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路

13、不清晰.參考答案1.B 2.C 3.C tan ， 18， ，AE69，4.C5.B6. 7.A 8.解： AB的坡度 i1：3，AB 232 + 692 72.7 (m )，BC6，EF6，CD 的坡度 i1：2.5，tanD = ， ，DF57.5，ADAE+EF+DF69+6+57.5132.5 (m )答：壩底寬 AD的長是 132.5m ，斜坡 AB 的長是 72.7m9.B10.解：(1) 將A 沿 DE 折疊，點 A1 是點A 的對應點，AEDA1ED，DEA DEA1，將B 沿 EF 折疊，點 B1 是點 B 的對應點，EFBEFB1，BEF B1EF， DEF90， EDA+

14、DEADEA+FEB90， DEAFEB，8DEEF，DAEEBF (AAS)，BFAE ，DABE，AB11，AD6，EB6，AEBF5，CF1；(2) 由 (1) 知，DAEEBF， = 點 F 是 BC 的中點，BF3， = 11 一6AE ， AE2 或 AE9，在 RtADE 中，tanADE 或 tanADE .9第 2 課時 正弦和余弦單元名稱解直角三角形課題正弦和余弦節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1如圖，在ABC 中，A90，若 AB8 ，AC6 ，則sin C 的值為 ( )本 題 考 查 正 弦 的定義，結合勾 股 定 理 求 解 即 可.20minA

15、B C35D452在ABC 中， 已知C90 ，AC4 ， sin A = ，那么 BC 邊的長是( )A 2 B 8 C 4 D 12同上，注意正弦 的表達式，求出 邊長.3如圖，在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為 (3，4)，那么cos 的值是 ( )本 題 需 利 用網 格的特點，將要 求 三 角函 數 的 銳 角 轉 化 到 某 個 直 角 三 角 形 中 是 解 題 的 關 鍵.A B C35D454已知，在 RtABC 中，C90，如果AC2，A，則AB 的長為( )A 2sin B 2cosC 2tan D 本 題 主 要 考 查 了 銳 角 三 角函 數關系，正確數 形 結

16、合 是 解 題關鍵。5在ABC 中， ACB90 ，CDAB 交于點 D ， 則下列等式中錯誤的是( )本 題 考 查 了 銳 角 三 角函 數 定義的應用，主要10A sin B = B sin B = C sin B = D sin B = 考 查 學 生 對 銳 角 三 角函 數 的 定 義 的 理 解 能 力和辨析能力.6ABC 中，C90 ，sin A = ，求cos A ， tan B 的值在 直 角 三 角 形 中，當給出某一 銳 角的 三 角函 數值，求另一個 銳 角的 三 角函 數值時，可以用 設 參 數 的 方 法來解決.7已知：如圖， ABC 中，AB9 ，BC 6，AB

17、C 的面積等于 9，求sin B 的值本 題 意 在 訓 練 學 生 做 這 類 題 目時，構造直角 三角形是關鍵， 往 往 在 告 訴 面 積 時 要 結 合 面積求高來解決.8如圖，點 E 是矩形 ABCD 中 CD 邊上一 點，BCE 沿 BE 折疊為BFE ，點 F 落在 AD 上(1) 求證：ABFDFE；(2) 若 sin DFE ，求 tan EBC 的值本 題 考 查 矩 形 的性質、相似三 角 形 的 判 定 和 性 質 以 及 銳 角 三 角函 數 的 概 念，掌握有兩個 角 相 等 的 兩 個 三 角 形 相 似 是解題的關鍵.11拓展題9如圖所示方格紙中每個小正方形的邊

18、 長為 1，其中有三個格點A、B 、C，則sin ABC 本題是第 7題的 變式，放在網格 中，格點三角形 的 邊 長 以 及 面 積 一 般 方 便 求 解，再利用第 7 題方式求解。在 做 題 時 要 學 會 總結，找到同類 題常用的方法。12min10如圖，在菱形 ABCD 中，AC6 ，BD8(1) 求 sin ABD(2) 揚揚發現ABC2ABD ，于是 她推測：sin ABC2sin ABD ，她的 推測正確嗎？請通過本題圖形中的數 據予以說明本 題 是 三 角函 數 與 菱 形 的 結 合，在解題時運 用 菱 形 相 關 性 質進行求解。并 在第 2 問中，體 會 三 角函 數

19、值 與 對 應 的 角 度 之 間 并 沒 有 相 對 應 的 倍 數 關 系。比如： A是B 的 2 倍， sin A 未 必 是 sin B 的 2 倍。評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 8 題過程規范準確，答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 6 題過程不夠規范， 答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 6 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.12參考答案1.D 2.B 3.C 4.D 5.C6.解： RtABC 中， C90 ， sin A = ，可設 BC=4k，AB=5k，根據勾股定理，得 AC=3k. cos A = = ，tan B =

20、= 7.解：過 C 作 CDAB 于 D，ABC 中，AB9 ，ABC 的面積等于 9，ABCD9，CD2， sin B = = = 8. (1) 證明： 四邊形 ABCD 是矩形 ADC90，BCE 沿 BE 折疊為BFE， BFEC90， AFB+DFE180 BFE90，又AFB+ABF90， ABFDFE，ABFDFE；(2) 解：在 RtDEF 中，sin DFE = = ，設 DEa ，EF3a ，DF EF 2 一 DE 2 = 2 2a ，BCE 沿 BE 折疊為BFE，CEEF3a ，CDDE+CE4a ，AB4a ， EBC EBF， 又ABFDFE， = = = ，13t

21、anEBF = ，tanEBCtanEBF .9. 10.解：(1) 設 AC、BD 交于點 O，則 AOBO ，AO3 ，BO4，根據勾股定理得 AB=5，sin ABD (2) 不正確理由：如圖，作 AEBC，垂足為 E，菱形 ABCD 的面積 AC . BD = BC . AE ，即 6 8 = 5AE ，得AE = ，所以sin 三ABC = = 由 (1) 得 sin ABD ，2sin ABD2 sin ABC，即揚揚的推測不正確1423.1.2 30,45,60角的三角函數值第 1 課時 30,45,60角的三角函數值單元名稱解直角三角形課題特 殊 角的三 角函數值節次1作業類型

22、題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1如圖，在ABC 中， C90 ， A30 ，則sin B 的值為 ( )A B 1 C D 本 題 考 查 了 特 殊 角的 三 角函 數值，正確記憶 相 關 數 據 是 解 題關鍵.18min2已 知在 RtABC 中 ， C 90 ，tan A = ，則B 的度數是 ( )A 30 B45 C60 D75本 題 需 熟 記 特 殊 角的 三 角函 數值.3已知 cos ( +10) ，且 是銳角，則 ( )A20 B 45 C 60 D 90同 上 ， 注 意 +10 看 作 一 個整體.4計算：2sin245+tan60tan30 cos60 本 題

23、 要 熟 記 特 殊 角的 三 角函數值，認真計算5點 ( sin60 ，cos60) 關于原點對 稱的點的坐標是 .本 題 主 要 考 查 了 特殊 角的 三 角 函 數 值 以 及 關 于 原 點 對 稱點的性質.156菱形 OABC在平面直角坐標系中的位置 如圖所示 AOC45 ，OC ，則點 B 的坐標為 ( )A ( ，1) B (1， )C ( +1，1) D (1， +1)本 題 綜 合 考 查 了 菱 形 的 性 質 和坐標的確定， 綜合性較強.7數學拓展課程玩轉學具課堂中，小 陸同學發現：一副三角板中，含 45 的三角板的斜邊與含 30的三角板的 長直角邊相等，于是，小陸同學

24、提出一 個問題：如圖，將一副三角板直角頂點 重合拼放在一起，點 B ，C ，E 在同一 直線上，若 BC2，求 AF 的長。請你 運用所學的數學知識解決這個問題。本 題 考 查 的 是 特 殊 角的三 角 函數值的應用， 掌 握 銳 角 三 角 函數的概念、熟 記 特殊 角的 三 角 函 數 值 是 解 題的關鍵.拓展題8ABC 中， A ， B 均為銳角 ，且(tan B - )(2 sin A - )= 0 ,則 ABC一定是 ( )A 等腰三角形 B 等邊三角形C 直角三角形D 有一個角是 60的三角形本 題 考 查 特 殊 角 的三 角函 數 值、三角形形狀 的判斷，注意分 類討論.1

25、69已知 a bab+ (a b) ，例如：23 23+ (2 3) 5，求：sin30 (tan45 tan60) 的值本 題 考 查 了 特 殊 角的 三 角函 數值，計算時注意勿漏掉負號.12min評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 6 題過程規范準確，答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 5 題過程不夠規范， 答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 5 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.參考答案1.D 2.C 3.A 4. 5.( ，- ) 6.C7.解：在 RtABC 中，BC2 ， A30，AC = 2 ，則 EFAC2 ， E45，FCEF

26、sinE ，AFAC FC2 一 8.D9.解：原式 (1 ) (1 ) + ( 1+ ) 17第 2 課時 互余兩銳角的三角函數關系單元名稱解直角三角形課題互 余 兩 角的 三角函數關系節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1在 直 角 ABC 中 ， C 90 ，sin A = ，那么tan B ( )A B C D 本 題 考 查 銳 角 三角函數，勾股 定理，掌握銳角 三 角函 數 的 定 義 和 勾 股 定 理 是 解 決 問 題 的前提.10min2若 sin (70 ) cos50 ，則 的 度數是 ( )A 20 B 30 C 40 D 50本 題考 查 了互 余

27、兩 角 三 角函 數的關系，關鍵 是 根 據 互 余 兩 角 三 角函 數 的 關系得到關于的方程.3在 RtABC 中，C90，則下列式 子一定成立的是 ( )A sin A = sin B B cos A = cos BC tan A = tan B D sin A = cos B本 題考 查 了互 余 兩 角 三 角函 數的關系，熟記 同角 (或余角) 的 三 角函 數 關 系 式 是 解 題 的關鍵.4A ，B ，C 是ABC 的三個內角，則sin 等于 ( )A + B2A cos B sin 本 題考 查 了互 余 兩 角的三 角 函 數 的 關 系 及等 腰 三 角 形 的18A

28、 + B2C cos C D cos性質.5若角、是直角三角形的兩個銳角，則 tan的值為 ( )本 題考 查 了互 余 兩 角 三 角函 數的關系，利用 一 個 角的 正 弦 等 于 它 余 角的 余 弦 是 解 題 關 鍵，還要熟記特 殊 角三 角函 數值.A 0C 1 B 1D 1拓展題6若A35 ， B65 ，試比較 cos A 與sin B 的大小，并說明理由本 題考 查 了互 余 兩 角的 正 弦 與余弦的關系：cos =sin (90O ) 以及 正 弦 函 數 的增減性.15min7如圖，已知在 RtABC 中，C90， 它的三邊長分別為 a ，b ，c ，對于同一 個銳角 A

29、 的正弦 ，余弦存在關系式 sin2A+cos2A1 試說明本 題 利 用了 銳 角 三 角函 數 的 概 念 和 勾 股 定 理 對 同 角的 三 角函數的關系： sin2A+cos2A 1 進 行 了 證 明 和 應用.評價設計評價分為 A、B、C 三個等級，A 等：超過 5 題過程規范準確， 答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 4 題過程不夠規范，答 案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 4 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.19參考答案1.A 2.B 3.D 4.A 5.A6.解： 在直角ABC 中， A+B90， sin B = cos A = ；7.解： sin

30、 A = ，cos A = sin2A+cos2A + = a2+b2 c2 ， sin2A+cos2A12023.1.3 一般銳角的三角函數值單元名稱解直角 三角形課題23.1.3 一般銳 角的三角函數值節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題11用計算器求 sin2437的值， 以下按鍵順序正確的是 ( )ABCD本題通過用計算器 求三角函數的正確 按鍵順序，鞏固了用 計算器求三角函數 值，掌握 DMS 表示 度分秒是解題的關鍵10min2如圖，在ABC 中， C90， B42 ，BC8，若用科學計 算器求 AC 的長，則下列按鍵順序 正確的是 ( )本題通過用計算器 求三角函數

31、的正確 按鍵順序，鞏固了用 計算器求三角函數 值以及正切球的概 念.A B CD3已知sin A 0.1782，則銳角A 的 度數大約為 ( )A8 B9 C10D11此題鞏固了使用計 算器解決三角函數 問題，解題關鍵是正確使用計算器.214用計算器求sin15、sin25、sin35、 sin45 、sin55 、sin65 、sin75 、 sin85的值，研究sin 的值隨銳 角變化的規律，根據這個規律判斷：若 sin ，則( )A30 60B30 90C0 60D60 90本題鞏固了用計算 器求三角函數值的 方法，解題的關鍵是 通過計算得出sin 的值隨銳角 的增大 而增大5用計算器求

32、得tan65 (精確到 0.01)本題鞏固了三角函 數的計算，解題的關 鍵是正確利用計算 器得出答案.拓展題6計算： 2sin45 32方式一：(用計算器計算) 計算的 結果是 按鍵順序為：方式二：(不用計算器計算)本題通過用計算器 求三角函數的正確 按鍵順序，鞏固了用 計算器求三角函數 值以及二次根式的 運算.5min評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 5 題過程規范準確，答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 4 題過程不夠規范， 答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 4 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.22參考答案1. A 2.D 3.C 4.A

33、5.方式一：(用計算器計算)計算的結果是 9按鍵順序為：(以卡西歐計算器為例)方式二：(不用計算器計算)原式 2 9 9 92323.2.1 解直角三角形單元名稱解直角三角形課題23.2.1 解直角三角形節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1在RtABC 中，斜邊AB 的長為m， B40 ，則直角邊 AC 的長是( )Amsin40 Bmcos40Cmtan40 D 本題通過利用 40 的正弦值進行計算， 鞏固解直角三角形 的方法.掌握銳角三 角函數的正弦、余 弦、正切是解決本體的關鍵.18min2在 RtABC中，有下列情況，則 直角三角形可解的是 ( )A已知 BC6， C9

34、0B已知C90 ， A60， BC5C已知C90 ， A BD已知CB45本題通過根據解直 角三角形需要滿足 的條件，逐一判斷得 出結論，鞏固了解直 角三角形，掌握求解 直角三角形的條件是解決本題的關鍵3如圖，在 RtABC 中，C90，AB4，sin A ，則 BC 的長為( )本題根據正弦的定 義計算，得到答案， 鞏固了解直角三角 形、掌握正弦的定 義，提高了學生的計 算能力.A 2 B 3CD4在 RtABC 中，C90，sin A ，BC ，則 AC 的長本題利用直角三角 形的邊角間關系先求出AB ，再利用勾24為 股定理求出AC鞏 固了學生解直角三 角形的方法以及綜 合運用勾股定理、

35、直 角三角形的邊角間關系解決問題.5(1) 在ABC 中， C90 ， A60，BC8，求 AB 和AC 的長；(2) 在ABC 中，C90，a ，b ，解這個直角三角 形本題通過解直角三 角形，含 30角的 直角三角形，鞏固了 直角三角形的邊角 關系.6在ABC 中，ABAC10，cos B = ，那么 BC 的長是( )A 4 B 8本題通過解直角三 角形，等腰三角形的 性質，鞏固解直角三 角形的方法以及綜 合運用等腰三角形 的三線合一添加輔助線的能力.CD7如圖，在ABC 中， A90，斜邊BC 的垂直平分線分別交AB、BC 交于點 D、E，如果cos B ，AB7，那么 CD 的長等于

36、 本題通過解直角三 角形，鞏固三角函數 的定義以及線段垂 直平分線的性質.8在ABC 中，AB6，BC8，本題鞏固了解直角25B60 ，則ABC 的面積是 三角形、含 30角 的直角三角形的性 質、勾股定理以及三 角形面積公式等知 識，由勾股定理求出 AD 的長是解題的關鍵拓展題95 + 四邊形具有不穩定性，對于四條 邊長確定的四邊形，當內角度數 發生變化時，其形狀也會隨之改 變如圖，改變邊長為 2 的正方 形 ABCD 的內角，變為菱形 ABCD，若DAB45 ，則陰影部分的面積是 ( )A B 5 2C D 5 2 本題通過解直角三 角形求三角形邊長 以及將陰影部分的 面積化為面積之差 鞏

37、固了解直角三角 形的應用，提高了學 生的分析問題，解決 問題的能力.12min10在ABC 中，tanB ，AB ，AC ，則線段 BC 的長 為 本題需要分兩種情 況討論，通過銳角三 角函數的定義及運 用以及分類討論的 數學思想方法，鞏固 了解直角三角形，勾股定理，提高了學生26的運算能力以及分析能力.評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 5 題過程規范準確，答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 4 題過程不夠規范， 答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 4 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.參考答案1. A 2.B 3.A 4. 45.解：(1) 在

38、ABC 中， C90 ， A60 ，BC8，AB ，2ACABcos60 ，答：AC= ，AC= ；(2) 在ABC 中， C90 ，a ，b ， tan A 3 ， A30，c2a2， B90- A60，c=2 ， A30 ， B606.B7. 8.129.D10.3+或 3-27. . 一23 2 2 解決單 直角三角形的實際問題單元名稱解直角 三角形課題23.2.2 解決單 一直角三角形的實際問題節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1如圖，坡角為 的斜坡 AB 長 米，若tan ，則斜坡的鉛直高度 BC 長為 ( )A米 B5 米C10 米 D米本題結合解直角三 角形的應用

39、坡度 坡角問題鞏固了利 用正切的定義解決 問題.10min2如圖，在離鐵塔 BC 底部 30 米的 D 處，用測角儀從點 A 處測得塔 頂 B 的仰角為30，測角儀高 AD 為 1.5 米，則鐵塔的高 BC 為 ( )A16.5 米B(10+1.5) 米 C(15+1.5) 米 D(15+1.5) 米本題結合解直角三 角形的應用 仰角 俯角問題，鞏固正確 作出輔助線，構造出 直角三角形解決問 題的方法,提高了分 析問題，解決問題的 能力.283如圖要測量小河兩岸相對的兩點 P，A 的距離，點 P 位于點A 正北 方向，點 C 位于點A 的北偏西 46，若測得 PC50 米，則小河寬 PA 為

40、( )A50sin44米B50cos44米C50tan44米D50tan46米本題通過解直角三 角形的應用，鞏固解 直角三角形的一般 過程.提高了將實際 問題抽象為數學問 題的能力以及根據 題目已知特點選用 適當銳角三角函數 或邊角關系去解直 角三角形的能力.4如圖，一艘海輪位于燈塔 P 的南 偏東 37方向，距離燈塔 40 海里 的 A 處，它沿正北方向航行一段 時間后，到達位于燈塔的正東方 向上的 B 處，這時，B 處與燈塔 P 的距離 PB 的長可以表示為 ( )A40 海里B40sin37海里C40cos37海里D40tan37海里本題通過解直角三 角形的實際應用，鞏 固了方位角、直角

41、三 角形、銳角三角函數 的有關知識，結合航 海中的實際問題，將 解直角三角形的相 關知識有機結合，體 現了數學應用于實 際生活的思想5人字折疊梯完全打開后如圖 1 所本題是將實際問題29示，B，C 是折疊梯的兩個著地點， D 是折疊梯最高級踏板的固定 點圖 2 是它的示意圖，已知AB AC，BD140cm ， BAC 40 ，則點 D 離地面的高度 DE 為 cm (結果精確到 0.1cm；參考數據：sin700.94，cos700.34，sin200.34，cos200.94)轉化為直角三角形 中的數學問題，熟練 掌握銳角三角函數 的正弦、余弦、正切 是解題的關鍵拓展題6如圖 1 是一臺手機

42、支架，圖 2 是 其側面示意圖，AB，BC 可分別繞 點 A ，B 轉動，測量知 BC8cm， AB16cm當 AB ，BC 轉動到 BAE60 ，ABC50時，點 C 到AE 的距離為 cm(結果保留小數點后一位，參考數據：sin700.94，1.73)本題結合生活中的 實際問題鞏固解直 角三角形，提高學生 分析問題，解決問題 的能力.構造直角三 角形，利用直角三角 形的邊角關系是解 決問題的關鍵15min307為了解決樓房之間的采光問題， 我市有關部門規定：兩幢樓房之 間的最小距離要使中午 12 時不能 遮光如圖，舊樓的一樓窗臺高 1 米，現計劃在舊樓右側 50 米處再 建一幢新樓若我市冬

43、天中午 12 時太陽照射的光線與水平線的夾 角最小為度，則新樓最高可建多少米？本題通過解直角三 角形的應用鞏固了 解直角三角形，解答 本題的關鍵是求出 AC 的長評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 5 題過程規范準確，答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 4 題過程不夠規范， 答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 4 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.參考答案1 B 2.B 3.C 4.B 5. 131.6 6. 6.37.解：設舊樓的一樓陽臺處即為點 B ，過點 B 作 BCAC 交 AC 于點 C，如右圖所示，則ABC ，BC50m ， BCA90

44、 ，tan ，ACBCtan 50tan ，又舊樓陽臺高 1m，新樓最高可建 (50tan +1) m，31. .23 2 3 解決雙直角三角形的實際問題單元名稱解直角 三角形課題23.2.3 解決雙 直角三角形的實際問題節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1如圖所示，某攔水大壩的橫斷面 為梯形 ABCD，AE，DF 為梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角45，坡長 AB10米，背水坡 CD 的坡度 i1：，則背水坡的坡長 CD 為 ( ) 米本題結合解直角三 角形的應用 坡度 坡角問題，提高了學 生的推理能力和應 用意識.熟練掌握坡 度坡角的概念，由銳 角三角函數定義求 出 AE

45、 的長是解題的 關鍵.15minA20C10B20D202mm如圖，山頂有一座電視塔 BC，在 地面上一點 A 處測得塔頂 B 的仰 角60，在塔底 C 處測得 A 點俯角45 ，已知塔高 BC 為60m ，則山高 CD 等于 ( ) .ABB本題結合解直角三 角形的應用仰角 俯角問題，鞏固了解 直角三角形的方法. 熟練掌握等腰直角 三角形的判定與性 質和銳角三角函數 定義是解題的關鍵32C30mDm3如圖，一艘輪船在小島A 的西北方向距小島 40海里的 C 處，沿正東方向航行一段時間后到達小 島 A的北偏東 60的 B 處，則該船行駛的路程為 ( )A80 海里B120 海里C(40+40)

46、 海里D(40+40) 海里本題結合解直角三 角形的應用方向 角問題，鞏固直角三 角形的邊角關系，提 高作垂線構造直角 三角形的解題能力.4某數學興趣小組進行了測量塔高 度的社會實踐活動如圖，他們 先在點 D 處用高 1.5 米的測角儀 AD 測得塔頂 M 的仰角為 30 ， 然后沿DF 方向前行 70m到達點E 處，在點 E 處測得塔頂 M 的仰角 為 60求塔的高 MF(結果保留根號)本題結合解直角三 角形的應用 仰角 俯角問題，解題的關 鍵是靈活運用所學 知識解決問題，本題 的突破點是證明AB BM.5如圖，點 A 到點 C 的距離為 100 米，要測量河對岸 B 點到河岸AD 的距離小

47、明在 A 點測得 B 在北偏東 60的方向上，在 C 點測得本題通過解直角三 角形的應用鞏固了 解直角三角形以及等腰三角形的判定33B 在北偏東 30的方向上，請求出 B 點到河岸AD 的距離.等知識，正確作出輔 助線構造直角三角 形是解題的關鍵拓展題6如圖，燈塔 B 在燈塔 A 的正東方 向，且 AB75km燈塔 C 在燈塔 A 的北偏東 20方向，燈塔 C 在 燈塔 B 的北偏西 50方向(1) 求ACB 的度數；(2) 一輪船從 B 地出發向北偏西 50方向勻速行駛，5h 后到達 C 地，求輪船的速度本題結合解直角三 角形的應用 方向 角問題鞏固了解直 角三角形以及等腰 三角形的判定等知

48、 識，證明 BCAB 是 解題的關鍵15min7某數學測量小組準備測量體育場 上旗桿 AB 的高度如圖所示，觀 禮臺斜坡 CD 的長度為 10 米，坡 角為 26.5 ，從斜坡的最高點 C 測得旗桿最高點A 的仰角為 37 ，斜坡底端 D 與旗桿底端 B 的距離是 9 米，求旗桿 AB 的高度(結果保留整數)參考數據：sin26.5 ， cos26.5 ，tan26.5 ，本題結合解直角三 角形的應用 仰角 俯角問題，鞏固了仰 角俯角定義解決本 題需做兩條垂線，構 造兩個直角三角形， 結合圖形計算，得到 答案，提高了學生的 應用意識以及解決 問題的能力.34sin37 ，cos37 ， tan

49、37 8某區域平面示意圖如圖所示，AB 和 BC 是兩條互相垂直的公路， AB800 米， 甲勘測員在 A 處測 得點 D 位于北偏東 45 ，乙勘測 員在 C 處測得點 D 位于南偏東 60 ，CD300 米，則公路 BC的長是多少米？本題結合解直角三 角形的應用 方向 角問題，鞏固了銳角 三角函數的定義.正 確標注方向角以及 合理添加輔助線是 解決本題的關鍵.評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 5 題過程規范準確， 答案正確，解法有獨到之處. B 等：超過 4 題過程不夠規范，答 案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 4 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰

50、.35參考答案1. A2. A3. D4. 解：由題意得：AB70 米，CF1.5 米， MAC30 ， MBC60， MAC30 ， MBC60， AMB30， AMBMAB，MBAB70 米，在 RtBCM 中， MCB90 ， MBC60， BMC30BC BM35 (米)，MCBC35 (米)，MFCF+CM (35+1.5) 米即高 MF 為 (35+1.5) 米5.解：過 B 作 BMAD 于 M，如圖：由題意得： BAD90 6030 ， BCD90 3060， ABCBCD BAD30， BADABC，BCAC100 米，BMAD， BMC90，在 RtBCM 中，sin BC

51、M ，BMBCsin BCM100 50 (米)，即 B 點到河岸AD 的距離為 50 3 米.366. 解：(1) 由題意得： BAC90 2070 ， ABC90 50 40， ACB180 BAC ABC180 70 4070；(2) 由 (1) 得： BAC ACB70，BCAB75km，75515 (km/h)，即輪船的速度為 15km/h7. 解：如圖，過點 C 作 CEAB 于點 E ，作 CFBD 延長線于點 F，在 RtCDF 中， CDF26.5 ，CD10 米，CFCDsin26.510 4.5 (米)，DFCDcosCDF10 9 (米)，BFBD+DF9+918 (米

52、)，由題意得四邊形 ECFB 是矩形，CEBF18 米，AECEtan371813.5 (米)，ABAE+BE13.5+4.518 (米)，答：旗桿 AB 的高度為 18 米8. 解：過 D 作 DEOC 于 E， C60 ，CD300 米，37CE CD150 (米)，DE CE150 (米)， B90 ，AB800 米， A45， AOB45，OBAB800 米， DOEAOB45，DEO 是等腰直角三角形，OEDE150 3 米，公路 BC 的長為 150+ 150 +800 (950+ 150 ) (米)，38小專題：平面直角坐標系中的三角函數單元名稱解 直 角 三 角 形課題小專題：

53、平面直 角 坐 標 系中 的三角函數節次1作業類型題 號作業內容設計意圖時間要求基礎題1在平面直角坐標系xOy 中，點 P 的坐 標為 (3 ，4) ，連接 OP ，設 OP 與 x軸正方向的夾角為，則下列結論正確本 題 考 查 了 坐 標與圖形性質， 勾股定理，解直 角 三 角 形 等 知 識點，能熟記銳 角 三 角函 數 的 定 義 是 解 此 題 的關鍵.8min的是 ( )A sin = C tan = B cos = D sin = 2如圖，P 是平面直角坐標系中第一象 限內一點，OP1，且 OP 與 x 軸正方 向夾角為，則 P 點關于 x 軸對稱的點P的坐標是 ( )A ( co

54、s ， sin )B ( sin ， cos )C ( cos ， - sin )D ( sin ， - cos )本 題 主 要 考 查 解直角三角形， 解 題 的 關 鍵 是 熟 練 掌 握 正 弦 和 余 弦 的 定 義 及其應用.393在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為(0，3)，點 B 在 x 軸上，且 sin OAB ，則點 B 的坐標為 ( )A (4 ，0) B ( 4 ，0)C (4 ，0) 或 ( 4 ，0)D (5 ，0) 或 ( 5 ，0)本 題 主 要 考 查 了 解 直 角 三 角 形，熟練掌握解 直 角 三 角 形 的 方 法 進 行 求 解 是 解 決 本 題

55、 的 關鍵.4在平面直角坐標系xOy 中， 已知點 A 的坐標為 (2 ，3) ，那么直線 OA 與 x 軸夾角的正切值是 .本 題 主 要 考 查 三 角函 數 的 定 義，根據坐標值 求 夾 角 正 切 值 是解題的關鍵.拓展題5如圖，一束光線從點A (3 ，3) 出發， 經過y 軸上點C反射后經過點 B ( 1 ， 0)，則光線從點A 到點 B 經過的路徑 長為 本 題考 查 了直 角 三 角 形 的 有 關知識，同時滲 透 光 學 中 反 射 原理，構造直角 三 角 形 是 解 決本題關鍵.15min6如圖，在平面直角坐標系xOy 中，點 A (m ，n ) 為第一象限內一點，過點A分

56、別作 x 軸，y 軸的垂線，垂足分別為點 B ，點 C ，作OAB 關于直線 OA 的對稱圖形OAB(1) 當 n4 時， 若 點 B 落 在 y 軸 上 ， 則 m ；本 題 主 要 考 查 了 解 直 角 三 角 形，三角形的面 積，坐標與圖形 的 變 化 ， 軸 對 稱利用點的坐 標 表 示 出 相 應 線 段 的 長 度 是40若點B落在第一象限內，且 tan CAB ，求 m 的值；(2) 設OAB與四邊形 OBAC 重 合部分的面積為 S ，若 S 為四邊形 OBAC 面積的 ，求 的值解題的關鍵.評價設計評價分為 A 、B 、C 三個等級，A 等：超過 5 題過程規范準確，答案正

57、確，解法有獨到之處. B 等：超過 4 題過程不夠規 范，答案有一些問題，解法較常規. C 等：超過 4 題過程不規范或無過程，答案錯誤，思路不清晰.參考答案1.C 2.C 3.C 4. 5. 5 6.解：(1) ABOB ，ACOC，COBO，四邊形 OBAC 為矩形OCAB ，ACOB由折疊可知，OABOABBOA AOB ，ABABOCAB點A (m ，n ) 為第一象限內一點，ACOBm ，ABOCABn點B落在y 軸上，41BOAAOB45矩形 OBAC 為正方形OBABmn4故答案為：4設 OB與 AC 交于點 D ，如圖，由知：OBOB ，ABAB ， AOBAOBACOB， A

58、OBCAOCAOAOBDADOtanCAB ，設 DB5k，則 AB12k由勾股定理可得 DODA DBp2 + ABp2 13kOBOBDO+DB5k+13k18kABABn4， 12k4k mOB18k6(2) 四邊形 OBAC 為矩形， S 為四邊形 OBAC 面積的 ，S42高相同的三角形的面積比等于底的比， = AD2CD ，即 OD2CD設 CDa ，則 ODAD2a由勾股定理得 OC OD2 一 CD 2 = 3anABOC mACCD+AD3a m = 3a = n 3a當 m n 時，B在第二象限，如圖，設 AB與 OC 交于點 D，四邊形 OBAC 為矩形，S 為四邊形 O

59、BAC 面積的 ，S高相同的三角形的面積比等于底的比， = OD2CD設 CDa ，則 OCAB3aBDCDa，43由勾股定理得 OB OD2 一 BD2 = 3amOBACOB anAB3a = = 綜上， 的值為 3 或 4423 章 解直角三角形單元質量檢測 一選擇題 (共 10 小題)1在 RtABC 中，C=90，若ABC 的三邊都縮小 3 倍，則sin A 的值( )A 縮小 3 倍 B 放大 3 倍 C 不變 D 無法確定2若 sin (70 ) =cos50 ，則 的度數是( )A 20。 B 30。 C 40。 D 50。3在 RtABC 中， C=90 ，AB=2 ，BC

60、= ，則sin B 的值是( )A B C D 4已知角 為ABC 的內角，且cos = ，則 的取值范圍是( )A 0。 30。 B 30。 45。 C 45。 60。 D 60。 90。5如圖，在 RtABC 中，ACB=90 ，CD AB ，D 為垂足若 AC=8，BC=6， 則 sin ACD 的值為( )A B C D 6如圖，某停車場入口的欄桿 AB ，從水平位置繞點 O 旋轉到A,B, 的位置，已 知 AO 的長為 5 米若欄桿的旋轉角三AOA, = ，則欄桿 A 端升高的高度為( )A 米 B 米 C 5sin 米 D 5cos 米7如圖，ABC 的頂點均在正方形網格的格點上，