1、數(shù)理金融學(xué) 第7章連續(xù)時間金融初步： 期權(quán)定價2022/8/1327.1 期權(quán)（Option）期權(quán)是一種選擇權(quán)，它表示在特定的時間，以特定的價格交易某種一定金融資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)交易就是“權(quán)錢交易” 。期權(quán)交易同任何金融交易一樣，都有買方和賣方，但這種買賣的劃分并不建立在商品和現(xiàn)金的流向基礎(chǔ)上。它是以權(quán)利的獲得和履行為劃分依據(jù)的。期權(quán)的買方就是支付期權(quán)費（Option premium）的一方，在他支付了期權(quán)費之后，即獲得了能以確定的時間、價格、數(shù)量和品種買賣合約的權(quán)利。 2022/8/1337.1.1 期權(quán)合約的概念（1）定義期權(quán)合約（ Option contracts）是期貨合約的一個發(fā)展，它

2、與期貨合約的區(qū)別在于期權(quán)合約的買方有權(quán)利而沒有義務(wù)一定要履行合約，而期貨合約雙方的權(quán)利和義務(wù)是對等的。（2）基本術(shù)語行權(quán)價格（Strike price）：是買賣標(biāo)的資產(chǎn)(Underlying asset）的價格。它在合約有效期內(nèi)是固定不變的，而且它不一定就是資產(chǎn)的市價，可以高于或低于市價，當(dāng)然也可能恰好相等。2022/8/134期權(quán)費（Option premium）：期權(quán)買方付的購買期權(quán)的費用，也就是買賣權(quán)利的價格。買入方支付期權(quán)費，既可購買買權(quán)，也可購入賣權(quán)，同理，賣出方收取期權(quán)費，既可出售看漲期權(quán)，也可出售看跌期權(quán)。到期日（Maturity date）約定的實施期權(quán)日期。過期作廢，一般合約

3、有效期不超過一年，以三個月較為普遍。例外：長期股權(quán)期權(quán)（Long-term equity securities，LEAPS）數(shù)量（Amount）：以股票為例，每份期權(quán)合約代表可交易100股股票的權(quán)利，但執(zhí)行價格卻是按每股標(biāo)出。2022/8/135標(biāo)的資產(chǎn)（Underlying asset): 期權(quán)多方在支付期權(quán)費后有權(quán)購買或出售的合約中規(guī)定的資產(chǎn)。如股票期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)就是股票。結(jié)算（Settlement)。期權(quán)交易是通過經(jīng)紀(jì)人在市場上競價實現(xiàn)的，這經(jīng)紀(jì)人就是期權(quán)清算公司，它是每筆期權(quán)交易的中間人，是所有買方的賣方和所有賣方的買方。期權(quán)清算公司采用電腦清算每一筆合約，并為其提供擔(dān)保。如某個期權(quán)賣

4、方不履行義務(wù)，公司則必須代為履約，因此，期權(quán)無信用風(fēng)險。2022/8/1367.1.2 期權(quán)合約的種類（1）按權(quán)利分類買權(quán)或看漲期權(quán)（Call option） ：看漲期權(quán)的多頭方有權(quán)在某一確定時間以某一確定價格購買標(biāo)的資產(chǎn)，但無履約義務(wù)。一旦多方?jīng)Q定履約，空頭必須出售資產(chǎn)。賣權(quán)或看跌期權(quán)（Put option） ：多頭方有權(quán)在某一確定時間以某一確定價格出售標(biāo)的資產(chǎn)，但無履約義務(wù)。空頭方只有履約義務(wù)。 注意：這里看漲和看跌是以多頭的收益來命名的。2022/8/137看漲期權(quán)看跌期權(quán)多頭：買了以一定價格購買某種資產(chǎn)的權(quán)利，希望標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲空頭：賣了以一定價格購買某種資產(chǎn)的權(quán)利，希望標(biāo)的資產(chǎn)價格

5、下跌。因為下跌多方不會履約，則空頭賺取期權(quán)費。多頭 ：買了以一定價格出售某種資產(chǎn)的權(quán)利，希望標(biāo)的資產(chǎn)價格下跌。空頭：賣了以一定價格出售某種資產(chǎn)的權(quán)利。希望標(biāo)的資產(chǎn)價格上升，因為價格上升多方不會履約，則空頭賺取期權(quán)費。期權(quán)2022/8/138（2）按合約是否可以提前執(zhí)行（Settlement）歐式期權(quán)（European option）：只有在到期日那天才可以實施的期權(quán)。美式期權(quán)（American option ）：有效期內(nèi)任一交易日都可以實施的期權(quán)。問題：若其他條件相同，那種期權(quán)的期權(quán)費更高？（3）按標(biāo)的資產(chǎn)（Underlying asset）分類權(quán)益期權(quán)：股票期權(quán)、股指期權(quán)。固定收益期權(quán)：利率

6、期權(quán)、貨幣期權(quán)。金融期貨期權(quán)：股指期貨期權(quán)，將期貨與期權(quán)結(jié)合在一起。2022/8/139例1：清華同方股票期權(quán)（歐式）2001年1月1日，投資者A向B購買未來6個月內(nèi)交割的，以每股35元的價格購買清華同方股票的權(quán)利（看漲期權(quán)），共10份合約， 100股為標(biāo)準(zhǔn)合約單位，該期權(quán)的總價格為500元，即每股期權(quán)費為元。概念辯析： 2001年1月1日為合約生效日，這里35元為行權(quán)價格，每股期權(quán)費為元，2001年6月30日為到期日，也是執(zhí)行日。A是多頭，B是空頭。2022/8/1310操作步驟：2001年1月1日合約生效，投資者A必須向B付出500元。因此，不論未來的價格如何，A的成本是500元。如果6月

7、30日股票的價格高于35元，則A行權(quán)。那么，A還要再付出35000元購買股票，由于股票價格高于其成本，那么他馬上將股票拋售就能獲利。問題1：若5月20日清華同方宣布它的股票以1:10的比例進(jìn)行分割，該期權(quán)合約條款是否應(yīng)該調(diào)整？問題2：如果預(yù)期清華同方在合約有效期內(nèi)現(xiàn)金分紅，是否對期權(quán)價格構(gòu)成影響？ 2022/8/1311如果到期日股票價格為45元，則多方的利潤是多少？空方損失多少？9500如果到期日股票價格為30元，則多方的損失為？空方獲利多少？5002022/8/1312例2：投資者A購買清華同方股票看跌期權(quán)（歐式） 合約生效日：2001年1月1日有效期：6個月期權(quán)費：元/股合約數(shù)量：10份

8、標(biāo)準(zhǔn)合約單位：100股執(zhí)行價（行權(quán)價）： 35元/股問題：如果6月30日清華同方股價低于元，A是否行權(quán)？假設(shè)6月30日的價格為元，A將獲利1000元，A如何才能獲得這1000元？ 2022/8/1313 因為（1）A必須持有股票1000股，才能在將來行權(quán)時出售給B，因此，A原先有1000股。（2）假設(shè)6月30日的價格為元， A行權(quán)，則以35元的價格向B出售1000股股票，獲得35000元。（3）A花33500元購買1000股股票，剩余1500元，扣除500元的期權(quán)費，A就獲得1000元。（4）現(xiàn)在，A擁有1000股股票加1000元現(xiàn)金的資產(chǎn)，顯然A獲利1000元。2022/8/1314看漲期權(quán)

9、的風(fēng)險與收益關(guān)系ST RST R圖中：何為多方、何為空方？ 看跌期權(quán)的風(fēng)險與收益關(guān)系7.1.3 期權(quán)的風(fēng)險與收益2022/8/1315看漲期權(quán)多頭的收益STXCt，若STXCt，若ST X其中，ST是到期日T標(biāo)的資產(chǎn)的價格； X是執(zhí)行價格, Ct和Pt分別是t時刻看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的期權(quán)費。看跌期權(quán)多頭的收益X ST Pt ，若ST XPt，若ST X2022/8/1316總結(jié)看漲期權(quán)的損益（Profit & Loss)（1）多頭方：Rclmax(0,ST-X)-Ct（2）空頭方：Rcs Ct -max(0,ST-X)看跌期權(quán)的損益（1）多頭方： Rplmax(0, X -ST)-Pt（2）空

10、頭方： Rps Pt -max(0, X -ST)2022/8/13177.1.4 期權(quán)的投資策略（1）保護(hù)性看跌期權(quán)（Protective put）同等數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)多頭與看跌期權(quán)多頭構(gòu)成的組合。組合價值至少是X-Pt，最大是ST-Pt問題：保護(hù)性看跌期權(quán)的投資策略是否違反“風(fēng)險與收益對等”原則？STXSTX股票多頭STST看跌期權(quán)多頭X-ST-Pt-Pt總計X-PtST-Pt2022/8/1318保護(hù)性看跌期權(quán)的特征對于該組合的多方而言，其損失是有限的，而理論收益無限雙重目的在標(biāo)的資產(chǎn)下跌時減少損失不影響標(biāo)的資產(chǎn)上升時的獲利機(jī)會 所以，它對資產(chǎn)具有保護(hù)作用，因此，要付出保護(hù)費！2022/8

11、/1319（2）拋補(bǔ)的看漲期權(quán)（Covered call）：標(biāo)的資產(chǎn)多頭看漲期權(quán)空頭。拋補(bǔ)期權(quán)空頭方將來交割標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)正好被手中的資產(chǎn)抵消。STXSTX股票多頭STST看漲期權(quán)空頭Ct-(ST-X)Ct總計ST CtXCt組合的最大價值是XCt，最小為Ct。2022/8/1320拋補(bǔ)看漲期權(quán)的收益特征在獲得期權(quán)費的同時，放棄了標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲可能帶來的獲利機(jī)會。問題：投資者希望到期日標(biāo)的資產(chǎn)市價超過X，還是低于X？（基于“機(jī)會（沉沒）成本”的分析）若投資者手中擁有股票100元，則他可以設(shè)置一個執(zhí)行價格為110元的看漲期權(quán)空頭，期權(quán)費3元。若價格為到期日資產(chǎn)價格為105元，則投資者獲利8元。

12、反之，若股票價格低于100元呢？ 投資策略：盡可能設(shè)置高的執(zhí)行價格X。2022/8/1321（3）對敲（Straddle），又稱騎墻或者跨坐組合：對敲多頭組合：同時買進(jìn)具有相同執(zhí)行價格與到期時間的同一種股票的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)。（期權(quán)費可能不等？）STXSTX看漲期權(quán)多頭-CtST-X-Ct看跌期權(quán)多頭X-ST PtPt總計X-ST -Ct-PtST- X-Ct -Pt2022/8/1322 RST RXST00 RXST02022/8/13232022/8/1324對敲組合多頭的收益特征損失有限：若標(biāo)的資產(chǎn)價格=執(zhí)行價格，則損失最大（理論）收益無限：收益隨標(biāo)的資產(chǎn)價格的上升或下降而增加。問題

13、：對敲組合多頭適用于什么樣的市場條件？當(dāng)投資者預(yù)期標(biāo)的資產(chǎn)的價格會有較大的波動，且無法判斷其方向時。例如一家企業(yè)成為兼并收購的目標(biāo)時。2022/8/13257.1.5 期權(quán)與金融工程金融工程（Financial engineering）包括創(chuàng)新型金融工具與金融手段的設(shè)計、開發(fā)與實施，以及對金融問題給予創(chuàng)造性的解決。運(yùn)用期權(quán)與標(biāo)的股票以及無風(fēng)險債券構(gòu)造資產(chǎn)組合（Portfolio），可以得到與某些金融工具有完全相同的損益特征（即模仿金融工具），也可以合成金融工具，例如：可轉(zhuǎn)換債券。2022/8/1326實例：模仿股票（the mimicking stock)模仿股票是一個買權(quán)多頭和一個賣權(quán)空頭的

14、組合。假設(shè)t時刻，股票買權(quán)和賣權(quán)的價格分別是ct和pt，兩個期權(quán)的執(zhí)行價格都是XSt（t時刻股票的價格），到期日股票價格為ST。則到期日的收益為 R= max(0,ST-X)-max(0, X -ST)- (ct-pt） =ST-X-ctpt =ST- St -ctpt2022/8/13277.1.6 期權(quán)的作用與本質(zhì)（1）套期保值（Hedge） 利用期權(quán)損益的不對稱性可以對資產(chǎn)進(jìn)行保值。期權(quán)的多頭方相當(dāng)于購買了一個保險，期權(quán)費相當(dāng)于保險費。例：假設(shè)A公司的股票當(dāng)前價格為每股60元，投資者B估計股票A將上漲。投資者要購買10000股的股票（10份期權(quán)合約）。那么，他有兩個策略可以選擇。2022

15、/8/1328策略1：B直接購買10,000股股票，總投資600,000元；策略2：B買入執(zhí)行價格為60元的看漲期權(quán)，假設(shè)期權(quán)費為3元/股，總投資30000元。兩種策略比較：若A公司的股票大幅上漲，上漲越多二者的獲利越趨向于相同（雖然策略要付出期權(quán)費，但策略1的投資額大大多于策略2，要付出利息） 。若股票大幅下跌，策略2的損失鎖定為30000元，策略1的損失卻是無法預(yù)期的。2022/8/1329（2）高杠桿(Leverage)的投資例4：公司股票現(xiàn)價為60元/股，其未來3個到期的看漲期權(quán)的期權(quán)費為2元/股，若預(yù)期到期日的股票價格為63元，投資者持有6000元，則兩種投資策略下的損益為：購買股票

16、獲利300元，利潤率：5；購買30份期權(quán)合約（100股/份）獲利3000元，利潤率：50%。若股票價格下跌到61元，期權(quán)投資虧損6000元，股票虧損100元。期權(quán)投資是賭博？2022/8/1330（3）期權(quán)的本質(zhì)時間價值期權(quán)的購買者買到的是：降低未來不確定性的保險。期權(quán)空頭方給予多頭方一段時間，使其能夠進(jìn)一步利用所獲得的新的信息，降低對未來預(yù)期中的不確定程度，從而做出更加合理的決策。投資：時間價值的交易風(fēng)險的交易。引申：由于時間的單向性，時間是最寶貴的資源：義務(wù)=獻(xiàn)出時間，權(quán)利=得到時間。2022/8/1331練習(xí)題假設(shè)有兩個標(biāo)的資產(chǎn)和到期日相同的看漲期權(quán)1和2，期權(quán)1的執(zhí)行價格和期權(quán)費分別是

17、95元和7元，期權(quán)2的執(zhí)行價格和期權(quán)費分別是105元和3元。 若某投資者買入兩個期權(quán)1，同時賣出1個期權(quán)2，形成一個期權(quán)投資組合，請計算該組合的損益?（分別用分段函數(shù)和圖來表示）。2022/8/1332練習(xí)題假設(shè)某股票當(dāng)前的市場價格為100元，以該價格作為執(zhí)行價格買權(quán)和賣權(quán)分別為7元和3元。投資者選擇以下兩種投資策略通過股票市場以100元價格買入該股票；通過期權(quán)市場構(gòu)造模仿股票。如何模仿？請列出二者的損益，并分析其投資效率（投入產(chǎn)出比）？2022/8/13337.2 Black-Scholes期權(quán)定價模型概述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Mer

18、ton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎模型基本假設(shè)8個無風(fēng)險利率已知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán)2022/8/1334無交易費用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險利率股票交易無限細(xì)分，投資者可以購買任意數(shù)量的標(biāo)的股票對賣空沒有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票，其價格S的變化為幾何布朗運(yùn)動2022/8/1335B-S模型證明思路ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價公式2022/8/13367.3 維納過程根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機(jī)游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是Ma

19、rkov stochastic process的一種。對于隨機(jī)變量w是Wiener process，必須具有兩個條件：在某一小段時間t內(nèi)，它的變動w與時段滿足t（）2. 在兩個不重疊的時段t和s, wt和ws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立！（）有效市場2022/8/1338滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當(dāng)時段的長度放大到T時（從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻）隨機(jī)變量wt的滿足證明：2022/8/1340在連續(xù)時間下，由（）和（）得到（）（）所以， 概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機(jī)過程，稱為維納過程。2022/8/13417.4 ITO定理一般維納過程(G

20、eneralized Wiener process)可表示為（）顯然，一般維納過程的性質(zhì)為2022/8/1342一般維納過程仍不足以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過程2022/8/1343B-S 期權(quán)定價模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運(yùn)動來代表股價的波動省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運(yùn)動方程（）證券的預(yù)期回報與其價格無關(guān)。2022/8/1344ITO定理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標(biāo)t）令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資

21、產(chǎn)x的衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可以表示為（）證明：將（）離散化由（）知利用泰勒展開，忽略高階段項，f(x,t)可以展開為（）在連續(xù)時間下，即因此，（）可以改寫為（）從而即x2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動！（）由（）可得（）由（）得到（） 由于x2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即當(dāng)t0時，由（）可得7.5 B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格，令f(s,t)代表衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為2022/8/1351假設(shè)某投資者以份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和1個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，且滿足則該組合的收益為202

22、2/8/1352下面將證明該組合為無風(fēng)險組合，在t時間區(qū)間內(nèi)收益為注意到此時不含有隨機(jī)項w，這意味著該組合是無風(fēng)險的，設(shè)無風(fēng)險收益率為r，且由于t較小（不采用連續(xù)復(fù)利），則整理得到B-S微分方程的意義衍生證券的價格f，只與當(dāng)前的市價S，時間t，證券價格波動率和無風(fēng)險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，可以采用風(fēng)險中性定價，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動，都可以采用B-S微分方程求出價格f。2022/8/1355若股票價格服從幾何布朗運(yùn)動設(shè)當(dāng)前時刻為t，則T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布

23、，即7.6 幾何布朗運(yùn)動與對數(shù)正態(tài)分布2022/8/1356令則這樣由伊藤引理得到即2022/8/1357由（）2022/8/1358則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以2022/8/13597.7 B-S買權(quán)定價公式 對于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)（買權(quán)）的在定價日t的定價公式為2022/8/1360（1）設(shè)當(dāng)前時刻為t，到期時刻T，若股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，若已經(jīng)當(dāng)前時刻t的股票價格為St,則T時刻的股票價格的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導(dǎo)（）2022/8/1361（）由（）和（）得到（）根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風(fēng)險中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風(fēng)險回報，則這表明

24、：在風(fēng)險中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風(fēng)險利率。2022/8/1362（2）在風(fēng)險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為（）2022/8/1363由于ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其pdf為（）第1項第2項將由(7.16)得到2022/8/1364（3）化簡（）中的第1、2項，先化簡第1項（）當(dāng)前時刻價格，不是變量2022/8/1365（）2022/8/1366 將（）與（）內(nèi)的第2個指數(shù)項合并，即（）2022/8/1367將（）代入（）下面，將利用變量代換來簡化（），不妨令（）2022/8/13682022/8/1369y的積分下限為y的積分上限為202

25、2/8/1370將dy與y代入（），即有這樣就完成了第1項的證明。（）2022/8/1371下面證明B-S公式中的第2項，首先進(jìn)行變量代換，令2022/8/1372則z的積分下限z的積分上限2022/8/1373將z和dz代入（）2022/8/1374則由（）和（）得到其中2022/8/1375pr0dN(d)例如:當(dāng)d時,N(d)913.5%2022/8/1376B-S買權(quán)公式的意義N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的

26、現(xiàn)值。 2022/8/1377其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。假設(shè)兩個N(d)均為1，看漲期權(quán)價值為St-Xe-rT，則沒有不確定性。如果確實執(zhí)行了，我們就獲得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權(quán)，而承擔(dān)了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)，具有如下性質(zhì)FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInt