1、西南大學附屬中學校高2019級第九次月考數學試題（理）2019年4月（全卷共150分，考試時間為120分鐘）注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效3考試結束后，將答題卡交回（試題卷自己保管好，以備評講）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1012x設集合U1，Ay|yx21，U，則集合A的真子集個數為（）A2B3C7D82我們用Rez表示復數z的實部，用Imz表示復數z的虛部，若已知復數z滿足z1i2i，其中z是復數z的共軛復數，則RezImz（）A

2、0B1C1iD1i在等差數列a中，若其前n項和S滿足SS45，則a（）3nn725A7B9C14D184袋中裝有大小相同的四個球，四個球上分別標有數字“2”“0”“1”“9”現從中隨機選出三個球，則所選的三個球上的數字能構成等差數列的概率為（）CDA23B1213142C156A34b若兩個單位向量a，的夾角為120，kR，則akb的最小值為（）B3D32已知隨機變量X服從正態分布N2，2且PX40.88，則P0X4（）A0.88B0.76C0.24D0.127若(3xx)n展開式的二項式系數之和為32，則展開式中含x3項的系數為（）A40B30C20D158關于x的不等式a21x2a1x10

3、的解集為R，則a的取值范圍是（）A(，1)B，1C(，11D(，135353535將函數fx2sin(2x9)的圖像向右平移0個單位長度，再將所得圖像上的每個6點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，所得圖像關于直線x6對稱，則的最小正值為（）12B6C12DA55610如圖是函數fxx2axb的部分圖像，則gxlnxfx的零點所在的區間是（）y1函數A(，)B(，1)11422C1，12O13D2，x已知橢圓C：112x2y2ab2F1ab0，F，為其左、右焦點，P為橢圓C上除長軸端點外的12任一點，FPF的重心為G，內心為I，且有IGFF(其中為實數)，則橢圓C的離心率e（）1212BCD

4、12A12123332xx對于函數fx和gx，設xx|fx0，x|gx0，若對所有的x，都有1212xx1，則稱fx和gx互為“零點相鄰函數”若函數fxex1x2與gxx2axa3互為12“零點相鄰函數”，則實數a的取值范圍是（）C，34B2，A2，73733D2，二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分已知實數x，y滿足條件xy10，則zx2y的最大值為_x013xy1014BC在ABC中，角A，所對邊分別為Bbca，若，c3，且cosC1ab4cosAcosB，則ABC的面積等于N_15直線xysin10R的傾斜角的取AOC值范圍是M_D16已知正方形ABCD的邊長為22，將ABC沿

5、對角線AC折起，使平面ABC平面ACD，N得到如圖所示的三棱錐BACD，若O為AC的中點，M，分別為DC，BO上的動點(不包括端點)，且BNCM，則三棱錐NAMC的體積取得最大值時，三棱錐NADC的內切球的半徑為_(2)在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若fA，a2，bc4，求b，c三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分(本小題滿分12分)已知函數fx3sin(3x)cos(x)cos2(17x)2(1)求函數fx的單調遞增區間；3218(本小題滿分12分)

6、某競賽的題庫系統有60%的自然科學類題目，40%的文化生活類題目(假設題庫中的題目總數非常大)，參賽者需從題庫中抽取3個題目作答，有兩種抽取方法：方法一是直接從題庫中隨機抽取3個題目；方法二是先在題庫中按照題目類型用分層抽樣的方法抽取10個題目作為樣本，再從這10個題目中任意抽取3個題目(1)兩種方法抽取的3個題目中，恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率是否相同？若相同，說明理由；若不同，分別計算出兩種抽取方法對應的概率；(2)已知某參賽者抽取的3個題目恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目，且該參賽者答對自然科學類題目的概率為錯誤！未指定書簽。34，答對文化生活類題目的概

7、率為錯誤！未指定書簽。23設該參賽者答對的題目數為X，求X的分布列和數學期望(本小題滿分12分)已知橢圓C：192x2y2ab2F1ab0的左、右焦點分別為F，過F任121B作一條與兩坐標軸都不垂直的直線，與橢圓C交于A，兩點，且ABF的周長為8當直線AB的斜率為2AF與x軸垂直2(1)求橢圓C的標準方程；(2)在x軸上是否存在定點M，總能使MF平分AMB？說明理由134時，C20(本小題滿分12分)如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB2AD，DAB60，點E是AB的中點，點F是CD的中點分別沿DE，BF將ADE和CBF折起，使得面ADE面CBF(點A，在平面BFDE的同側)，連接AC，CE，

8、如圖2所示ACDFCDFAEBEB圖1圖2(1)求證：CEBF；(2)當AD2，且面CBF面BFDE時，求二面角BACD的余弦值21(本小題滿分12分)定義在R上的函數fx滿足fx12f1e2x2x22f0 x，f(x)x2xgx1133922228(1)求函數gx的單調區間；(2)如果xx，且gxgx4，求證：xx1121212（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分22(本小題滿分10分)【選修44：坐標系與參數方程】在平面直角坐標系xOy中，曲線C：xcos1y1sin錯誤！未指定書簽。(為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建

9、立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos23sin，直線l的極坐標方程為2(1)分別求曲線C的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程；12(2)設直線l交曲線C于O，M兩點，交曲線C于O，N兩點，求MN的長1223(本小題滿分10分)【選修45：不等式選講】已知函數fx2x2，gxxa(1)若a1，解不等式fxgx3；(2)若不等式fxgx至少有一個負數解，求實數a的取值范圍3（命題人：廖航審題人：王乙橙）西南大學附屬中學校高2019級第九次月考數學試題參考答案（理）2019年4月15CABDB610BDDCB1112AD15，44162132143154326317解：(1)f(x)3sin(3+

10、x)cos(x)+cos2(+x)，2sin2x+錯誤！未指定書簽。=sin(2x錯誤！未指定書簽。)+錯誤！未指定書簽。f(x)3(sinx)(cosx)+(sinx)216231cos2x22由2kx錯誤！未指定書簽。6k+，kZ，22得k錯誤！未指定書簽。xk+錯誤！未指定書簽。，kZ，63，k+錯誤！未指定書簽。，kZ即函數f(x)的單調遞增區間是k錯誤！未指定書簽。63錯誤！未指定書簽。得，sin(2A錯誤！未指定書簽。)+=錯誤！未指定書簽。，(2)由f(A)3213622sin(2A錯誤！未指定書簽。6)=1，2A錯誤！未指定書簽。，0A，02A2，錯誤！未指定書簽。116662

11、A=錯誤！未指定書簽。，A=錯誤！未指定書簽。，可以認為每抽取1個題目，抽到自然科學類題目的概率均為錯誤！未指定書簽。，623a=2，b+c=4，根據余弦定理得，4=b2+c22bccosA=b2+c2bc=(b+c)23bc=163bc，bc=4，聯立得，b=c=218解：(1)兩種抽取方法得到的概率不同方法一：由于題庫中題目總數非常大，35抽到文化生活類題目的概率均為錯誤！未指定書簽。2，5所以抽取的3個題目中恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率為C錯551253223613誤！未指定書簽。方法二：按照題目類型用分層抽樣抽取的10個題目中有6個自然科學類題目和4個文化生活類題

12、目，從這10個題目中抽取3個題目，恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率為(2)由題意得，X的所有可能取值為0，1，2，3C1C2364錯誤！未指定書簽。C31010P(X=0)=111433136，P(X=2)=+=錯誤！未指定書簽。，P(X=3)=P(X=1)=311+112+121=7錯誤！未指定書簽。，433433433363123211224322143343343394333所以X的分布列為XP01361736249313+1錯誤！未指定書簽。+2錯誤！未指定書簽。X的數學期望E(X)=0錯誤！未指定書簽。173636+3=4125931219解：(1)因為ABAFBF

13、8，即AFBFAFBF8，221122a又AFAFBFBF2a，所以4a8，21212當直線AB的斜率為34時，AF與x軸垂直，所以2AF2FF12341，且y0，解得y，即Ac，a2b2aa由c2y2b2b2又因為a2，所以b23，所以b23c4c4b結合c2a2b2，解得c1，3x2y2所以，橢圓C的標準方程為4310(2)由(1)得，F1，設直線AB的方程為xmy1m0，1Ax，y，Bx，y，Ms，0，聯立3x24y2121122消去x，整理得3m24y26my90，xmy1，yy3m243m24所以錯誤！未指定書簽。yy126my912，120，如果MF平分AMB，則k1AMkBM0，

14、即yyxsxs12所以yxsyxs0，1221即ymy1ymy1syy1221120，所以2myy1syy12120，即2m91s6my3m243m240，所以1s3，即s40所以M4，為所求20解：(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形，AB2CD，DAB60，點F是CD的中點，所以CFCB，FCB60所以CFB是等邊三角形連接EF，由BFBCBE，EBFCFB60，所以BEF是等邊三角形取BF中點O，連接OC，OE，如圖3所示，則COBF，EOBFAC因為CO，EO平面COE，COEOO，DFO所以BF平面COE，EB又CE面COE，圖3所以BFCE(2)由(1)知COBF，EOBF由面CB

15、F垂直面BFDE，可得COOE，以C為坐標原點，直線OE，OB，OC分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系由AD2，可得BF2，OCOE3，10C0E00F0B0，0，3，3，0，1，101所以BC0，1，3，EB3，FC0，3y0010設Dx，由DFEB，得x，1y，3，yD所以x3，2，03，2，所以DF103，由，得取x1，則y3，z1pBC0y3z03xy0pEB0yzyz設平面BCE的法向量為px，平面CDF的法向量為qx，1112221111111由，得2qDF03xy0qFC0y3z0222z取x1，則y3，1222pq31qq所以p1，3，1，3，1所以cosp，pq521解

16、：(1)由錯誤！未指定書簽。fx12f1e2x2x22f0，得fxf1e2x22x2f0令錯誤！未指定書簽。x1，得f1f122f0，故f01又f012于是gxf1e2，則f12e2，故fxe2xx22x，1133917f(x)x2xe2x1x22222824當x1時，gx0，gx遞減；當x時，gx0，gx遞增；故gxg()0，故gx在R上單調遞增，(2)注意到g()2，由gxgx4得gxgx2g()22由gx單調遞增，不妨設xx，則x，x，下面用分析法，22ggxe2x12x，x2e2x12；12212所以gx的單調遞增區間為，111212111212要證xx1，即證x1x，由gx單調遞增，

17、故只需證明gxg1x，121212而gxgx4，故只需證4gxg1x1222，即證gxg1x422設Hxgxg1x，x(，)顯然Hx在(，)上單調遞增，故HxH()2g()412則Hxgxg1xe2x12xe21x121xe2x1e12x4x211122222解：(1)曲線C的普通方程為x2(y1)21，即x2y22y0，1曲線C的極坐標方程為22sin0，即2sin1因為曲線C的極坐標方程為=2cos+2錯誤！未指定書簽。3sin，即2=2cos+2錯誤！2未指定書簽。3sin，故曲線C的直角坐標方程為x2y22x23y，即(x1)2+(y錯誤！未指定書簽。3)2=4（5分）2(2)解法一直線l的極坐標方程=化為直角坐標方程得y=錯誤！未指定書簽。3x，3由，y，則|OM|=3y3xx2y22y0得x0，y0或x33223944y0y23y3xx0 x2由得錯誤！未指定書簽。或x2y22x23y則|ON|=412=4故|MN|=|ON|OM|=4323解：(1)若a1，則不等式fxgx3化為2x2+|x1|3當x1時，2x2+x13，x2x+20，(x錯誤！未指定書簽。立+錯誤！未指定書簽。1)270不成24由，錯誤