1、高等代數重難點指導第一章多項式一、重難點歸納與分析（一）基本內容一元多項式的基本概念與基本性質：主要討論數域的概念、一元多項式的定義與運 算規律。一元多項式的整除性理論：主要討論帶余除法與余數定理、整除的基本概念與基本 性質、最大公因式和互素的基本概念與基本性質。一元多項式的因式分解理論：主要討論不可約多項式的基本概念與基本性質、因式 分解及其唯一性定理、三個特殊數域上的多項式分解。一元多項式的根與重根：主要討論重因式的定義與性質、多項式的根、多項式根的 個數定理。多元多項式則主要討論多元多項式的基本概念、字典排列法與對稱多項式。（二）重難點歸納教學重點：整除概念，帶余除法及整除的性質，最大公

2、因式、互素、輾轉相除法、不可 約多項式概念、性質，k重因式與k重根的關系。；教學難點：因式分解及唯一性定理，多項式根的理論，復（實）系數多項式分解定理， 本原多項式，Eisenstein判別法 二、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：關于一元多項式的基本概念，通常有一元多項式的比較次數法、比較系數法，用以 確定多項式的次數及證明有關命題。關于一元多項式整除性理論，通常有多項式整除性的檢驗、最大公因式的求法、互 素的判別、按冪展開等等，可采取綜合除法、帶余除法、輾轉相除法、待定系數法、反證法 及利用多項式的整除、最大公因式、互素等定義與性質求證有關命題。關于一元多項式的因式分解理論，通常有多項式

3、的可約性判別、因式分解、重因式 的判別等等，可采取艾森斯坦判別法、克龍萊克爾分解法、求有理根的分解法、分離重因式 法、輾轉相除法以及利用不可約多項式的定義與性質求證有關命題。關于一元多項式的根與重根，通常有根的檢驗及重根的判別、根與系數的關系以及 求多項式的根與重根等等，可利用輾轉相除法、結式判別法、分離重因式法、艾森斯坦判別 法等進行討論，以及利用某些基本定理求解。關于多元多項式，通常有對稱多項式化初等對稱多項式的化法與對稱多項式的應用， 其中化對稱多項式為初等對稱多項式的方法主要有公式法、首項消去法及待定系數法；應用 對稱多項式，可以對具有對稱多項式形式的線性方程組求解、進行因式分解、進行

4、恒等式的 證明及求多元多項式的零點。第二章 行列式一、重難點歸納與分析（一）基本內容1、n階排列。2、n級行列式及其性質。3、行列式按一行（列）展開。4、行列式的計算。5、Cramer 法則及 Laplace 定理。（二）重難點歸納教學重點：n級行列式的基本概念與計算。教學難點：n級行列式的定義、展開定理、計算技巧。、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、判定一個排列的奇偶性，能根據排列的奇偶性確定行列式的展開式的符號。2、能熟練運用行列式的定義，牢固掌握行列式的性質，并能達到正確、熟練計算 行列式的目的。3、能利用Cramer法則求解線性方程組。第三章線性方程組一、重難點歸納與分析（一）基

5、本內容1、消元法解線性方程組。2、向量組的線性表示、線性組合、線性相關性。3、線性方程組有解的判定方法。4、線性方程組解的結構。（二）重難點歸納教學重點：消元法解線性方程組，線性相關性，線性方程組有解的判定方法及其線 性方程組解的結構定理。教學難點：向量組線性相關性理論及線性方程組的基本理論。、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、消元法解線性方程組。2、能熟練運用向量組的相關性理論，證明向量組線性相關或者線性無關。3、求向量組的極大線性無關組和秩。4、能熟練掌握齊次和非齊次線性方程組的求解方法。第四章矩陣一 、重難點歸納與分析（一）基本內容1、矩陣的概念及其運算。2、矩陣乘積的行列式與秩。

6、3、矩陣的可逆條件及其逆矩陣的求法。4、矩陣分塊的方法及其運算。5、初等矩陣的概念、性質，初等變換與初等矩陣的關系。（二）重難點歸納教學重點：矩陣的運算、矩陣的可逆條件及其逆矩陣的求法。教學難點：初等矩陣及其應用、分塊矩陣的逆、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、熟練掌握矩陣的加、減、數乘、乘積、轉置、求逆等運算。2、可交換矩陣的一些性質。3、矩陣運算與線性方程組之間的聯系。4、有關矩陣的秩的計算。5、可逆矩陣的判別及其逆矩陣的求法。6、有關簡單分塊矩陣的運算及證明。第五章二次型一、重難點歸納與分析（一）基本內容1、二次型及矩陣表示：包括二次型的定義，矩陣表示。矩陣合同的定義，性質：反身

7、性，對稱性，傳遞性。經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。2、標準型：主要結果是數域P上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換變成平 方和的形式，這是通過數學歸納法證明的，在證明的過程中，我們得到了怎樣將一個二次型 化成標準二次型的方法（分三種情況），這個結論的另外一個表述是數域P上任何一個對稱 矩陣都合同與一對角矩陣。3、唯一性：首先指出合同的矩陣都有相同的秩，即經過非退化的線性替換之后，二次 型矩陣的秩是不變的，因而，在一個二次型的標準形中，系數不為零的平方項的個數是唯一 確定的，與所做的非退化線性替換無關，但在一般數域內，二次型的標準型不是唯一的，與 所做的非退

8、化線性退化有關。4、在復數域上：任意一個復系數的二次型，經過一適當的非退化線性替換可以化成規 范型，且規范型是惟一的。從而有兩個復對稱矩陣合同的充要條件是它們的秩相等。5、實數域上：任意一個實數域上的二次型，經過一適當的非退化線性替換可以變成規 范型，且規范形是唯一的。這個定律也稱為慣性定理，其中正平方項的個數P為正慣性系數，負平方項的個數,-P稱為負慣性系數，它們的差P - （r - p） = 2p - r稱為符號差，慣 性定理也可以表述為實二次型的標準形中系數為正的平方項的個數是唯一確定的，它等于正 慣性系數，而系數為負的平方項的個數就等于負慣性系數。6、正定二次型：實二次型f （氣,x2

9、,L ,氣）稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數（c ,c ,L ,c ），都有f （c ,c ,L ,c ） 0。同時有，非退化實線性替換保持正定性不變，12 n12 n由此得：n元實二次型是正定的充分必要條件是它的正慣性指數等于n。7、實對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型XTAX正定。推論：正定矩陣的行列式大于零。實對稱矩陣A正定的充分必要條件是它的順序主子式全大于零。（二）重難點歸納教學重點：二次型的標準形及其規范形，正定矩陣的判定及證明 教學難點：正定矩陣的判別。二、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、熟練掌握化二次型為標準形或規范形的方法。2、會判別矩陣或二次型的正定性。3、

10、有關二次型或矩陣的正定性的證明。第六章線性空間一、重難點歸納與分析（一）基本內容1、線性空間的概念、性質。2、線性空間的基與維數，向量的坐標，過渡矩陣等概念。3、線性子空間、生成子空間、子空間的和與直和，余子空間的概念及性質。4、同構映射及線性空間同構的概念。（二）重難點歸納教學重點：線性空間的概念、子空間的和，基、維數。教學難點：線性空間定義，線性相關性和子空間的直和。二、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、線性空間和子空間的判定與證明。2、線性相關與線性無關的判定與證明。3、基與維數的確定。4、過渡矩陣與坐標的求法。5、直和與同構的判定與證明。第七章線性變換一、重難點歸納與分析（一）基

11、本內容1、線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣。2、特征值與特征向量。3、對角矩陣；線性變換的值域與核。4、不變子空間。5、若當標準形。6、最小多項式。（二）重難點歸納教學重點：線性變換的定義與運算，線性變換的矩陣、特征值與特征向量的概念、 矩陣的相似對角化方法。教學難點：線性變換的值域與核、若當標準形、最小多項式。二、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、線性變換的判定與證明。2、線性變換在某組基下矩陣的求法。3、線性變換的核與值域的求法。4、基變換與坐標變換公式的應用，過渡矩陣的求法。5、矩陣相似的證明。6、線性變換或矩陣的特征值與特征向量的求法。7、線性變換的不變子空間的有關

12、證明。8、矩陣可對角化的判定及相似對角陣的求法。第八章人一矩陣一、重難點歸納與分析（一）基本內容1、入-矩陣和入-矩陣的初等變換。2、入矩陣的標準形。3、行列式因子、不變因子組、初等因子組。（二）重難點歸納教學重點：矩陣的初等變換及標準形，行列式因子，不變因子。教學難點：初等因子；若爾當標準形，矩陣的有理標準形。二、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、化人一矩陣為標準形。2、求人一矩陣的不變因子；初等因子。3、證明兩個矩陣相似、求矩陣的高次冪、求矩陣的若當標準形。4、求線性變換的最小多項式。第九章歐幾里得空間一、重難點歸納與分析（一）基本內容1、歐幾里得空間的定義與基本性質。2、標準正交基。3、同構。4、正交變換。5、子空間。6、對稱矩陣的標準形。7、向量到子空間的距離、最小二乘法。（二）重難點歸納教學重點：標準正交基、同構、正交變換、子空間、對稱矩陣的標準形。教學難點：同構、正交變換、子空間、對稱矩陣的標準形二、題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1、證明在某種內積定義下，線性空間為一歐氏空間。2、計算向量的長度、向量間的距離和夾角。3、證明一個向量組為標準正交組。4、有關度量矩陣的證明。5、矩陣正交分解的有關證明。6、用正交線性替換化二次型為