1、第4章 矩陣的特征值 和特征向量4.1 矩陣的特征值和特征向量4.2 相似矩陣與矩陣可對角化的條件4.3 實對稱矩陣的特征值和特征向量2022/8/1311. 特征值與特征向量定義2. 相關概念4.特征值與特征向量求法3.兩個有用公式(特征方程根與系數的關系)5.特征值與特征向量的性質4.1 矩陣的特征值 和特征向量2022/8/1321. 特征值與特征向量定義 定義4.1若存在常數及非零向量例：設即2022/8/1332、相關概念(定義4.2)稱因為 即n元齊次線性方程組 有非零解，等價于2022/8/134設A為n階矩陣，則0是A的特征值， 是A的屬于0的特征向量的充要條件是0為特征方程d

2、et(E-A)=0的根，是齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解。推論1、2（P159）若1，2是A屬于0的特征向量，則c11+ c22也是A屬于0的特征向量。定理4.12022/8/1353.兩個有用公式(特征方程根與系數的關系)可求得非零解對每個解方程此即對應于的特征向量.解特征方程,即可得特征值4.求法即為的跡.這里記為tr(A)2022/8/136例 1求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當時,解方程由2022/8/137得基礎解系全部特征向量為當時,解方程由得基礎解系全部特征向量為2022/8/138例 2求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當時,解方程得基礎解系全部特征向量為202

3、2/8/139當時,解方程得基礎解系全部特征向量為注意在例1與例2中,特征方程的重根所對應的線性無關特征向量的個數.2022/8/1310例3如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是 0或 1.證明設兩邊左乘矩陣, 得由此可得因為所以有得由證明過程可得結論,若是的特征值,則是的特征值.進而是的特征值2022/8/1311練習：2022/8/13125.特征值與特征向量的性質定理4.2 n階矩陣A與它的轉置矩陣AT有相同的特征值。證： 要使A和AT有相同的特征值，只要 |E- AT|= |E- A|成立。 事實上， |E- AT|= |(E- A)T|= |E- A| 定理4.3 n階

4、矩陣A可逆的充要條件是它的任一特征 值不等于0。證 必要性：A可逆，則|A|0,所以 |0E-A|=|-A|=(-1)n|A| 0,即0不是A的特征值。 充分性(反證法)：設A不可逆，即|A|=0,從而 2022/8/1313|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,即0是A的特征值，矛盾。 定理4.4 不同特征值對應的特征向量是線性無關的.定理4.5 1,2,m是A的m個不同的特征值，A的屬于i的線性無關的特征向量為i1,i2,isi(i=1,2,.,m)，則向量組11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm,線性無關。即1, 2, m是A的m個不同的特征值，1, 2, m

5、分別是A的屬于1, 2, m的特征向量，則1, 2, m線性無關。2022/8/1314不同特征向量可屬于同一個特征值.一個特征向量不能對應于不同特征值.不同特征值對應的特征向量是線性無關的.2022/8/1315練習2022/8/13164.2 相似矩陣與矩陣 可對角化的條件1. 相似矩陣概念2. 相似矩陣基本性質3. 方陣的對角化含義4. 矩陣可對角化的條件2022/8/13171.相似矩陣概念這時也是的相似矩陣:相似等價.定義4.3 設A、B都是n階方陣,若有可逆矩陣P,使 P-1AP=B則稱B是A的相似矩陣,或說A與B相似.記作 A B 稱P為把A變成B的相似變換矩陣.2022/8/1

6、3182.相似矩陣基本性質基本性質(1)相似矩陣有相同的行列式.(2)相似矩陣有相同的跡.(3)相似矩陣有相同的秩.(4)相似矩陣有相同的特征多項式.(5)相似矩陣有相同的特征值.2022/8/1319證明(1)設矩陣A與B相似,即有P -1 AP=B(2) 顯然.(3) (4) 由(3)即得.(5) 由(4)及跡的定義即得.2022/8/1320例1已知與相似,求x,y.解因為相似矩陣有相同的特征值,故A與B有相同的特征值 2, y, -1.根據特征方程根與系數的關系,有而故x=0,y=1.2022/8/1321課堂練習2022/8/13223.方陣的對角化含義所謂方陣可以對角化,是指相似.

7、即存在可逆矩陣使 成立.4.矩陣可對角化的條件定理(充要條件)階方陣可對角化有個線性無關的特征向量.2022/8/1323證明設得到即是的對應于特征值的特征向量.因可逆,故線性無關.2022/8/1324設線性無關.記則因線性無關,故可逆,即可對角化.推論(充分條件)若A的n個特征值互不相等,則A與對角陣相似(可對角化).逆不成立,即與對角陣相似的矩陣,特征值不一定互不相等.2022/8/1325如果A有k對應的線性無關的特征向量的個數(幾何重數)相等,則 A一定可對角化. 關的特征向量的個數少于k則A一定不能對角化.如果A有一個k重特征值,并且所對應的線性無重特征值,只要重數(代數重數)和所

8、定理(證明略)2022/8/1326例2有三個不同的特征值對應的特征向量分別為已知求(1)(2)解又所以2022/8/1327(2)即記顯然可逆,則有而故2022/8/1328課堂練習2022/8/1329 1. 實對稱矩陣特征值的性質2. 實對稱矩陣對角化方法4.3 實對稱矩陣的 特征值和特征向量2022/8/13301.實對稱矩陣特征值的性質(1)實對稱矩陣的特征值都是實數.(2)實對稱矩陣對應于不同特征值的特征向量必正交.(3)實對稱矩陣的重特征值的重數(代數重數)與對應的線性無關的特征向量的個數(幾何重數)相等.結論2022/8/1331任一實對稱矩陣一定可以對角化.與之相似的對角陣的對角元素就是的全部特征值,而正交陣是由其對應的單位特征向量所組成的.2.實對稱矩陣的對角化設為階實對稱矩陣,則必存在正交矩陣使其中是以的個特征值為對角元的對角陣.主要結論2022/8/1332例1求一個正交陣解(1)求特征值:特征值為2022/8/1333(2)求特征向量:對于解得線性無關的特征向量為對于解得線性無關的特征向量為(3)特征向量正交化、單位