1、關于線性系統的頻域分析 第一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出線性系統的時域分析綜述頻率特性是研究自動控制系統的一種工程方法。應用頻率特性可以間接地分析系統的動態性能與穩態性能。頻率特性法的突出優點是組成系統的元件及被控對象的數學模型若不能直接從理論上推出和計算時，可以通過實驗直接求得頻率特性來分析系統的品質。其次，應用頻率特性法分析系統可以得出定性和定量的結論，并且有明顯的物理意義。在應用頻率特性法分析系統時，可以利用曲線，圖表及經驗公式，因此，用頻率特性法分析系統是很方便的。 第二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出本章是本書的重點，本章的重點有：乃氏圖的繪制；伯德圖

2、的繪制；乃奎斯特穩定判劇；系統的相對穩定性。 第三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出基本概念1 何謂乃氏（Nyquist）圖在復平面上，當 由 變化時，向量 端點的軌跡，稱為幅相頻率特性圖即乃奎斯特圖通常又稱為極坐標圖，簡稱乃氏圖乃氏圖的優點：它可以在一張圖上描繪出整個頻域的頻率響應。不足之處是，不能明顯地表示出開環傳遞函數中每個單獨因子的作用。0 第五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第六張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出2 何謂尼氏（Nichols）圖尼氏圖又稱為對數幅相圖，對數幅相圖采用直角坐標系，其中

3、取幅頻特性 的對數 為縱坐標，單位為分貝（dB），線性分度，取相頻特性 做橫坐標單位為度（），線性分度，對數幅相圖是以頻率 為參變量的。 第七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出3 何謂伯德（Bode）圖對數幅頻特性曲線以頻率 為橫坐標，并采用對數分度；縱坐標表示對數幅頻特性的函數 ，單位為分貝（dB），線性分度，對數相頻特性曲線的橫坐標與對數幅頻特性曲線相同；縱坐標表示相頻特性的函數值單位為度（）線性分度，對數幅頻特性和對數相頻特性組成的對數坐標圖，稱之為伯德圖。第九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第十張，PPT共九十

4、二頁，創作于2022年6月退出4 何謂頻率響應系統對正弦輸入的穩態響應稱為頻率響應。開環系統對正弦輸入的穩態響應稱為開環頻率響應；閉環系統對正弦輸入穩態響應稱為閉環頻率響應；第十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第十二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出（1）其穩態輸出也是與輸入信號頻率相同的正弦信號；（推倒P129）（2）穩態輸出信號的幅值為 ，得稱為系統的幅頻特性；（3）穩態輸出相對正弦輸入的相移為稱為系統的相頻特性， 稱為相位滯后， 稱為相位超前。在線性定常系統中，系統或元部件的正弦輸入信號為 ，當頻率由0變化到 時，則其輸出量的穩態分量的復數形式與輸入量的復數形

5、式之比，稱為頻率特性。記為 第十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5 何謂最小相位系統和非最小相位系統在s平面右半部沒有極點和零點的傳遞函數稱為最小相位傳遞函數；反之，在s平面右半部有極點和零點的傳遞函數稱為非最小相位傳遞函數。具有最小相位傳遞函數的系統稱為最小相位系統；反之，稱為非最小相位系統。第十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第十五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第十六張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出6 何謂幅角定理在s平面上任選一封閉曲線 ，并使 上每個點不包含 的零點與極點，則 映射到 平面上也是一條封閉曲線。當s順時針沿 變

6、化一周時， 向量端點軌跡按順時針圍繞原點總圈數 等于封閉曲線 內包圍的零點數目與極點數目之差，其中， 與 是指 在 內的零點數與極點數。第十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第十八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 對的分析第十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出7 何謂負穿越在乃氏圖上，開環頻率特性，從上半部分穿過負實軸的 段到實軸的下半部分，稱為正穿越；開環頻率特性從下半部穿過負實軸的 段到實軸的上半部分，稱為負穿越；起始于（或終止于） 段的負實軸的正、負穿越稱為正負半穿越；在伯特圖上，在幅值 的區域內，當角頻率 增加時，相頻特性曲線 從下向上穿越 線

7、稱為正穿越；相頻特性曲線 從上向下穿越 線稱為負穿越；第二十張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出8 何謂控制系統的相對穩定性在控制系統的基礎上，進一步表征其穩定程度高低的概念，稱為控制系統的相對穩定性。第二十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5.2 乃氏圖及伯特圖的繪制頻率響應法是一種圖解法，因而簡捷而準確地作出滿足工程分析和設計需要的系統開環頻率特性曲線是非常重要的。幅相曲線主要用于判定閉環系統的穩定性，故只需要概略地繪制，而對于對數頻率特性伯特圖，工程上采用簡便作圖法，即利用對數運算的特點和典型環節的頻率特性，繪制系統開環對數幅頻漸近特性。第二十二張，PPT共九十二

8、頁，創作于2022年6月退出1 乃氏圖的繪制（1）基本法1）作表格2）在復平面上找到相應的點，用光滑曲線連起來。表5-1 幅相表第二十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出（2）求實部、虛部分別計算 的實部和虛部，在復平面上找到相應點，用光滑曲線連起來。第二十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出（3）找特殊點找到幾個特殊點繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖 第二十五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 典型環節的乃氏圖（幅相頻率圖）的繪制1 比例環節第二十六張，PPT共九十二頁，創作

9、于2022年6月退出 2 積分環節和微分環節第二十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 3 慣性環節和一階環節第二十八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 證明寫出實部與虛部各自的參量方程如下：第二十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 第三十張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 4 型系統的開環頻率特性 第三十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 第三十二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 第三十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 第三十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 第三十五張，PPT共九十

10、二頁，創作于2022年6月退出2 伯特圖的繪制（1）將系統的開環傳遞函數化為典型環節的連乘積形式；（2）找出每一個典型環節對數頻率特性的交接頻率與斜率；（3）在 處作20lgk，在此基礎上作積分環節，然后按轉折頻率由小至大依次作出其它環節；（4）進行必要的修正說明：在繪制Bode圖時，一般慣性環節無特殊說明不需要修正；而振蕩環節需要修正。第三十六張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出（5）分別作出每個典型環節的相頻特性，然后疊加；或者先作對數相移計算表，然后在半對數坐標紙上找到相應點再用平滑曲線連接而成。 第三十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出1 比例環節第三十八張，P

11、PT共九十二頁，創作于2022年6月退出2 積分環節第三十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出3 慣性環節第四十張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出4 振蕩環節第四十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出4 振蕩環節第四十二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第四十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出4 其他環節第四十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第四十五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5.3 乃氏判劇的八種形式1 形式閉環系統穩定的充要條件是，當 由 變到時，系統的開環頻率特性 按逆時針方向包圍（-1，j0

12、）點P周，P為位于s平面右半部的開環極點數目。否則，系統不穩定。第四十六張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第四十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第四十八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第四十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第五十張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出7 何謂負穿越在乃氏圖上，開環頻率特性，從上半部分穿過負實軸的 段到實軸的下半部分，稱為正穿越；開環頻率特性從下半部穿過負實軸的 段到實軸的上半部分，稱為負穿越；起始于（或終止于） 段的負實軸的正、負穿越稱為正負半穿越；在伯特圖上，在幅值 的區域內，當角頻率 增加時，

13、相頻特性曲線 從下向上穿越 線稱為正穿越；相頻特性曲線 從上向下穿越 線稱為負穿越；第五十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第五十二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第五十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出綜上所述，乃氏判據判穩時可能發生的情況為：（）不包圍（-1，j0）點，若 則系統穩定。否則，閉環系統不穩定；（）逆時針包圍（-1，j0）點次，若 則系統穩定。否則，閉環系統不穩定；（）順時針包圍（-1，j0）點，閉環系統不穩定。第五十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出問題：1 在引入Nyquist判劇時，為什么只就開環極點在虛軸上的分布情

14、況進行討論而沒有就開環零點的情況進行討論？2 原點處有開環極點時為什么要補作一條虛線，虛線在實際中是否存在？補作虛線與開環傳函中的那一個環節有關系，在給出的Nyquist判劇形式與形式中的具體關系是什么？3 根據Nyquist判劇給出如下情況的分析：對于P=0的開環系統，若其開環頻率響應通過（-1，j0）點，則系統處于什么狀態？第五十五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出2 形式閉環系統穩定的充要條件是，當角頻率由0變化到時，開環頻率特性 正、負穿越 平面負實軸上（-1，- ）段的次數差 為，這里 是開環傳遞函數極點中處于s平面右半部的數目。否則，閉環系統不穩定。第五十六張，PPT共

15、九十二頁，創作于2022年6月退出3 形式閉環系統穩定的充要條件是，在開環對數幅頻特性 不為負值的所有頻段內，對數相頻特性 與 線的正穿越與負穿越次數差為 ，這里 是開環傳遞函數位于s平面右半部的極點數目。否則，閉環系統不穩定。 第五十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第五十八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出4 形式閉環系統穩定的充要條件是，在Nichols圖0dB線上方，開環頻率響應的對數幅相特性對 線的正、負穿越次數差應等于 ，其中 為s平面右半部含有的開環傳遞函數極點的數目。否則，閉環系統不穩定。第五十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第六十張，

16、PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5 形式對于最小相位系統，閉環系統穩定的充要條件是 ， ；否則不穩定。 6 形式乃氏判據左手定則。乃氏判據左手定則的內容如下：將左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面內垂直且指尖向上，對于最小相位系統，將左手放在系統開環頻率特性即將包圍（-1，j0）點的最里層上，且四指指尖與系統開環頻率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）點，則該閉環系統穩定，否則不穩定。 第六十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第六十二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出7 形式若系統不穩定，系統的開環增益增加大于原來 倍，則閉環系統穩定；否則，系統不穩定。

17、8 形式若系統不穩定，系統對頻率為 的信號的相角增加大于 ，則閉環系統穩定；否則，系統不穩定。第六十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5.4 穩定裕度設計控制系統，要求它必須穩定，這是控制系統賴以正常工作的必要條件。除此之外，還要求控制系統具有適當的相對穩定性。相對穩定性的概念：基于Nyquist判劇，當控制系統的開環傳遞函數 在s平面右半部無極點時，其開環頻率響應 若通過點（-1，j0），則控制系統處于臨界穩定邊緣。在這種情況下若控制系統的參數發生漂移，便有可能使控制系統的開環頻率響應包圍點（-1，j0），從而造成控制系統不穩定。因此，在Nyquist 圖上，開環頻率響應 與點

18、（ -1，j0 ）的接近程度可直接表征控制系統的穩定程度。第六十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出其定性關系是：在Nyquist圖上， 不包圍點（-1，j0）的情況下，若 離點（-1，j0）越遠，說明具有P=0的控制系統的穩定性程度越高；反之， 越靠近點（-1，j0） ，則上述系統的穩定程度越低。在控制系統穩定的基礎上，進一步用以表征其穩定程度高、低的概念，便是通常所謂的控制系統的相對穩定性。第六十五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出穩定裕度是衡量系統相對穩定性的指標，有相角裕度和幅值裕度1 相角裕度當系統開環頻率特性的幅值為1時，系統開環頻率特性相角與 的和定義為相

19、角裕度，所對應的頻率 稱系統的剪切頻率，即式中 滿足第六十六張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出2 幅值裕度當系統開環頻率特性為 時，系統開環頻率幅值的倒數定義為幅值裕度，所對應的頻率 稱相位交界頻率，即如果以分貝為單位來表示幅值裕度時，有保持適當的穩定裕度，可以預防系統中元件性能變化等可能帶來的不利影響。為了得到較滿意的暫態響應，一般相角裕度應當為在 到 之間，而幅值裕度應大于第六十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第六十八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出第六十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5.5 閉環頻率特性性能指標常用的指標有諧振峰

20、值，系統帶寬和帶寬頻率。1 諧振峰值諧振峰值 是指系統閉環頻率特性幅值的最大值2 系統帶寬和帶寬頻率設 為系統的閉環頻率特性，當幅值特性 下降到 時，對應的頻率 稱為帶寬頻率。頻率范圍 稱為系統帶寬。 第七十張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出5.6 頻率域指標的計算對于典型二階系統，頻域指標可解析計算；高階系統頻域指標一般由經驗公式計算。1 典型二階系統開環傳遞函數為有阻尼自振角頻率剪切頻率相角裕度第七十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出帶寬頻率諧振頻率諧振峰值典型二階系統的幅值裕度 為無窮大第七十二張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出2 高階系統諧振峰值

21、的確定，工程上常采用下述經驗公式式中中間頻段第七十三張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出例題1（教材P185，5-8） 已知系統的開環傳遞函數試繪制系統開環幅相特性與對數頻率特性。第七十四張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出解：慣性環節的交接頻率為找漸近線第七十五張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出則第七十六張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出 乃氏圖第七十七張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出伯特圖第七十八張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出例題2（教材P186，5-17）如圖題5-17所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩定的，哪些是不穩定的。 第七十九張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出解：所以系統穩定所以系統不穩定所以系統不穩定第八十張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出所以系統穩定所以系統不穩定所以系統穩定第八十一張，PPT共九十二頁，創作于2022年6月退出例題3（教材P187，5-25）已知最小相位開環系統的漸近對