1、常微分方程Ordinary Differential Equation主講教師：文 武 副教授（碩士） 教務處副處長E-mail: 手機湖校區辦公室電話： 2790064蓮湖校區行政樓辦公室： 2012教材 (Text Book): 常微分方程(第三版）常微分方程，(第二版）（97年國家教委一等獎）， 王高雄等編（中山大學), 高教出版社。參考書目 (Reference) 常微分方程及其應用方法、理論、建模、計算機 周義倉、靳禎、秦軍林 編著 （科學出版社） 常微分方程 都長清、焦寶聰等 編著 首都師范大學出版社 學習常微分方程的目的是用微積分的思想，結合線性代數，解

2、析幾何等的知識，來解決數學理論本身和其它學科中出現的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學生學會和掌握常微分方程的基礎理論和方法，為學習其它數學理論，如數理方程、微分幾何、泛函分析等后續課程打下基礎；同時，通過這門課本身的學習和訓練，使學生學習數學建模的一些基本方法，初步了解當今自然科學和社會科學中的一些非線性問題，為他們將來從事相關領域的科學研究工作培養興趣，做好準備。 課程評分方法 試卷成績(70%)+作業成績（20%）+考勤（10%）=該門課程總成績二、如何學習常微分方程 ?1. 課前預習, 培養濃厚的學習興趣.聰明在于學習 , 天才在于積累 .學而優則用 , 學而優則創 .由薄到厚

3、, 由厚到薄 .馬克思 一門科學, 只有當它成功地運用數學時,才能達到真正完善的地步 .華羅庚2. 認真聽課，養成正確的學習習慣.3. 課后復習，鍛造扎實的學習基礎.常微分方程緒論 常微分方程是現代數學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學、物理、電子技術、航空航天、生命科學、經濟領域等都有廣泛的應用。一、微分方程的發展歷史 方程對于學過中學數學的人來說是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關系找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一

4、個或者多個方程式，然后取求方程的解。 在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規律；火箭在發動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數學方程不僅與未知函數有關，而且與未知函數的導數有關，這就是我們要研究的微分方程。解這類問題的基本思想和初等數學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數和未知函數之間的關系找出來，從列出的包含未知函數及其導數的一個或幾個方程中去求得未知函數的表達式即求解微分方程。 牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解。后來瑞士數學家雅各布貝努利、歐拉、

5、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 微分方程差不多是和微積分同時先后產生的，在公元17世紀，蘇格蘭數學家耐普爾創立對數的時候，就討論過微分方程的近似解。 常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。同時，數學的其他分支的新發展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。 牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算

6、出那時尚未發現的海王星的位置。這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五種方法1、利用初等函數或初等函數的積分形式來導出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉而研究特解的存在性問題。2、利用數學分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對初值的連續性和可微性問題。3、微分方程解析理論 由于絕大多數微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數（即解）的表示成級數形式，并引進 特殊函數，如，橢圓函數、阿貝爾函數、貝塞爾函數等，并使微分方

7、程和函數論及復變函數聯系起來，產生了、微分方程解析理論。5、微分方程的定性和穩定性理論 1900年，希爾波特提出的23個問題中的第16個問題之一，至今未解決。三、微分方程的講授內容（學時：76學時）1、基本概念 2 、 一階微分方程3、二階微分方程 4、 微分方程組四、微分方程的教材特點4、微分方程的數值解法 1.1 微分方程的概念與實例 1.2 解的存在唯一性 1.3 一階微分方程的向量場本章主要內容第一章 引 論 本章主要介紹微分方程的有關概念，解的存在唯一性問題及一階微分方程的向量場，同學們應著重掌握微分方程的一些基本概念: 解、通解、特解、階數、初值條件等；解的存在唯一性定理；了解一階

8、微分方程的向量場，并熟悉MAPLE軟件，會使用MAPLE軟件解決本章出現的一些問題。1、單種群增長模型（Logistic 方程） 一、 導出微分方程的一些實例 1.1 微分方程的概念2、數學單擺模型凡含有自變量、未知函數以及未知函數的導數（或微分）的方程稱為微分方程。例如：1 ）如果微分方程中未知數只依賴于一個自變量，稱為常微分方程。例如：二、 微分方程的基本概念2 ）如果微分方程中未知數依賴于兩個或更多的自變量，稱為偏微分方程。例如：注：我們不特別聲明，就稱常微分方程為微分方程或方程。方程的階數：一個微分方程中，未知函數最高階導數的階數，稱為方程的階數。如果一個微分方程關于未知函數及其各階導

9、數都是線性的，則稱它為線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程。一般的n階微分方程的形式為：其中：的已知函數。例如：是二階非線性微分方程。是變量解和隱式解：為方程的解。將其代入方程后，能使它變成恒等式，則稱函數若關系式決定的隱函數是為方程的隱式解。上述方程解稱設例：有隱式解（任意常數）上的解。例：是在是在上的解。是定義在區間（a,b）上的n階可微函數，把含有 n 個相互獨立的任意常數稱為n 階方程的通解。的解n 階方程的通解：若存在的一個鄰域，使得則稱含有n個相互獨立的常數。例：是的通解。因為而特解：在通解中確立了一組任意常數后所得的解稱 為特解。定解條件：為了確定微分方程的一個特定的解，我們通

10、常給出這個解所必需滿足的條件，這就是定解條件常見的定解條件是初始條件。是指如下的 n 個條件：的初始條件所謂 階微分方程其中是給定的 個常數。求微分方程滿足定解條件的解就是所謂的定解問題。當定解條件為初始條件時，相應的定解問題也就為初值問題。例：驗證函數是微分方程的解。滿足初始條件的解為微分方程的特解。初始條件不同，對應的特解也不同。解：求出所給的函數導數把及的表達式代入方程，得因此，函數是微分方程的解。內容小結1. 微分方程的基本概念線性微分方程， 非線性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的階p16. 8, 9(2,4,6)初始條件作 業微分方程的解，通解，特解牛頓(1642 1727

11、)偉大的英國數學家 , 物理學家, 天文學家和自然科學家.他在數學上的卓越貢獻是創立了微積分.1665年他提出正流數 (微分) 術 ,次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成流數術與無窮級數一書 (1736年出版).他還著有自然哲學的數學原理和廣義算術等 .萊布尼茲(1646 1716)德國數學家, 哲學家.他和牛頓同為微積分的創始人 , 他在學藝雜志上發表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優于牛頓 . 他還設計了作乘法的計算機 , 系統地闡述二進制計數法 ,并把它與中國的八卦聯系起來 .( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士數學家, 位數學家. 標和極坐標下的曲率半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術,上的一件大事, 而伯努利定理則是大數定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出 這是組合數學與概率論史此外, 他對雙紐線, 懸鏈線和對數螺線都有深入的研究 .歐拉 (1707 1783)瑞士數學家. 他寫了大量數學經典著作, 如無窮小分析引論 , 微 還寫了大量力學, 幾何學, 變分法教材. 他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創造性的論文. 他的最大貢獻是擴展了微積分的領域, 要分