1、第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第七講正態分布知識梳理雙基自測考點突破互動探究名師講壇素養提升知識梳理雙基自測XN(，2)上方xx1集中分散知識點二正態分布(1)正態分布的定義及表示若對于任何實數a，b(ab)，隨機變量X滿足P(aXb)_，則稱X服從正態分布，記作XN(，2)(2)正態總體在三個特殊區間內取值的概率值：P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_.0.682 70.954 50.997 3對于正態分布N(，2)，由x是正態曲線的對稱軸知(1)P(X)P(X)0.5；(2)對任意的a有P(Xa)；(3)P(Xx0)1P(xx0)；(4)P(aXb)P(Xb)P(Xa)注：在

2、X服從正態分布，即XN(，2)時，要充分利用正態曲線的關于直線x對稱和曲線與x軸之間的面積為1.題組一走出誤區1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)隨機變量的均值是常數，樣本的平均數是隨機變量，它不確定()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小()題組二走進教材2(選擇性必修3P87T2)某市高二年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態分布N(170，52)，則P(165X180)_.0.818 6題組三走向高考3(2015山東)已知某批零件的長度誤差X(單位：毫米)服從正態分布N(0，32)，從中隨機取

3、一件，其長度誤差落在區間(3，6)內的概率為()(附：正態分布N(，2)中，P(X)0. 682 7，P(21)0.158 7，則P(1Y2)P(X1)0.158 7，P(1Y1，排除B、C又越大曲線越矮胖32，排除A故選D角度1正態曲線的對稱性(2022山東新高考質量測評聯盟聯考)在2019年高中學生信息技術測試中，經統計，某校高二學生的測試成績XN(86，2)，若已知P(80X86)0.36，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成績大于92分的概率為()A0.86B0.64C0.36D0.14解析由題意P(86x92)P(8092)0.50.360.14，故選D例2D考點二正態分布多維探

4、究引申本例中若有1 000名學生參加測試，則測試成績在80分以上的人數為_.解析1 000P(X80)1 0001(0.50.36)860.860角度2確定正態曲線的對稱軸(2022福建模擬)已知隨機變量X服從正態分布N(，2)，若P(X3)P(X1)1，則_.解析因為X服從正態分布N(，2)，所以P(X3)P(X3)1，所以P(X1)P(X3)，由正態曲線的對稱性知對稱軸為X2，所以2.例32角度3三個常用數據(2020安陽二模)2020年2月，受新冠肺炎的影響，醫衛市場上出現了“一罩難求”的現象在政府部門的牽頭下，部分工廠轉業生產口罩，已知某工廠生產口罩的質量指標XN(15，0.002 5

5、)，單位為g，該廠每天生產的質量在(14.9 g，15.05 g)的口罩數量為818 600件，則可以估計該廠每天生產的質量在15.15 g以上的口罩數量為()參考數據：若XN(，2)，則例4P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3) 0.997 3.A158 700B22 750C2 700D1 350解析由題意知，XN(15，0.002 5)，即15，2 0.002 5，即0.05；答案D關于正態總體在某個區間內取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態曲線關于直線x對稱，從而在關于x

6、對稱的區間上概率相等；P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)變式訓練2(1)(角度1)(2022江蘇調研)已知隨機變量X服從正態分布N(1，2)，且P(X4)0.9，則P(2X1)()A0.2B0.3C0.4D0.6(2)(角度2)(2022江西模擬)已知隨機變量X服從正態分布N(，2)，若P(X8)0.15，則P(2X5)()A0.3B0.35C0.5D0.7CB(3)(角度3)(2022青島模擬)已知某市居民在2019年用于手機支付的個人消費額X(單位：元)服從正態分布N(2 000，1002)，則該市某居民手機支付的消費額在(1 900，2 200)內的概率為()附：隨機變量X服從

7、正態分布N(，2)，則P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.A0.975 9B0.84C0.818 6D0.477 2C(2)根據題意，正態分布N(，2)，若P(X8)0.15，則5，即這組數據對應的正態曲線的對稱軸x5，則P(X5)0.5，又由P(X2)0.15，得P(2X5)0.50.150.35.故選B例5考點三正態分布的綜合應用A(2)(2021河南六市模擬)十九大以來，某貧困地區扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領廣大農村地區人民群眾脫貧奔小康.經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取得巨大進步，農民年收入也逐年增加，為了制定提升農民收入、

8、實現2020年脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統計了2019年50位農民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：解決正態分布問題的三個關鍵點若隨機變量XN(，2)，則(1)對稱軸x；(2)標準差；(3)分布區間利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3特殊區間，從而求出所求概率變式訓練3(2021廣西柳州鐵路一中、玉林一中聯考)從某公司生產線生產的某種產品中抽取1 000件，測量這些產品的一項質量指標，由檢測結果得如圖所示的頻率分布直方圖：名師講壇素養提升利用均值與方差求解決策性問題(2021湖南益陽調研)已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名未感染，

9、需要通過化驗血液來確定感染者血液化驗結果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為未感染者(1)若從這6名密切接觸者中隨機抽取2名，求抽到感染者的概率；(2)血液化驗確定感染者的方法有：方法一是逐一化驗；方法二是平均分組混合化驗，先將血液樣本平均分成若干組，對組內血液混合化驗，若化驗結果呈陰性，則該組血液不含病毒，若化驗結果呈陽性，則對該組的備份血液逐一化驗；直至確定感染者例6()采取逐一化驗，求所需化驗次數X的分布列及數學期望；()采取平均分成三組混合化驗(每組血液份數相同)，求該分組方法所需化驗次數的數學期望你認為選擇哪種化驗方案更合理？請說明理由隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了

10、隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定變式訓練4(2021山東濰坊期末)在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備)已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉設三臺設備的可靠度均為r(0r1)，它們之間相互不影響(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)當r0.9時，求能正常工作的設備數X的分布列；(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可能給該產業園帶來約50萬的經濟損失為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.9，更新設備硬件總費用為8萬元；方案2：對系統的設備進行維護，使得設備可靠度維持在0.8，設備維護總費用為5萬元請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？(3)設方案1、方案2的總損失分別為X1、X2.采用方案1，更換部分設備的硬件，使得設備可靠度達到0.9，由(2)可知計算機