1、本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.計算:i(1+i)2=()A.-2B.2C.2iD.-2i2.復數-2i1+i =()A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i3.在復平面內,復數z=12+i+i2 018對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知復數z=2-i2+i-2+i2-i,則z的共軛復數的虛部為()A.65B.85C.-85D.-85i5.已知復數z=5a2+i+1+i1-i,aR,若復數z對應的點在復平面內位于第四象限,則實

2、數a的取值范圍是()A.a1C.0a1D.a0,則z12-z22B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2C.z12+z22=0z1=z2=0D.z1-z1是純虛數或零12.已知復數z,下列結論正確的是()A.“z+z=0”是“z為純虛數”的充分不必要條件B.“z+z=0”是“z為純虛數”的必要不充分條件C.“z=z”是“z為實數”的充要條件D.“zzR”是“z為實數”的充分不必要條件三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.設復數z=1+i1-i,則|z|=.14.在復平面內,復數1+i與-1+3i分別對應向量OA和OB,其中O為坐標原點,則|AB|

3、=.15.已知i為虛數單位,若復數z=a2-4+(a-2)i(aR)是純虛數,則|z+1|=;zz=.(本題第一空2分,第二空3分) 16.定義復數的一種運算z1* z2=|z1|+|z2|2(等式右邊為普通運算),若復數z=a+bi,且正實數a,b滿足a+b=3,則z*z的最小值為.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)計算:(1)(2+2i)4(1-3i)5;(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.18.(本小題滿分12分)已知復數z=a-1+ai(aR).(1)若z是純虛數,求a;(2)若|z|=5,求z.19.

4、(本小題滿分12分)已知z是復數,z+2i與z2-i均為實數.(1)求復數z;(2)若復數(z+ai)2在復平面內對應的點在第一象限,求實數a的取值范圍.20.(本小題滿分12分)已知復數z滿足|z|=2,z2的虛部是2.(1)求復數z;(2)設z,z2,z-z2在復平面內對應的點分別為A,B,C,求ABC的面積.21.(本小題滿分12分)已知z為虛數,z+9z-2為實數.(1)若z-2為純虛數,求虛數z;(2)求|z-4|的取值范圍.22.(本小題滿分12分)已知=-12+32i(i為虛數單位).(1)求(+22)2+(2+2)2;(2)求2+12;(3)類比i(i2=-1),探討(3=1,

5、為虛數)的性質,求n(nN*)的值.答案全解全析一、單項選擇題1.Ai(1+i)2=i2i=-2.2.A復數-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-i(1-i)=-i-1.3.C因為z=12+i+i2 018=2-i(2+i)(2-i)+(i4)504i2=2-i5-1=-35-15i,所以復數z=12+i+i2 018對應的點的坐標為-35,-15 ,所以復數z=12+i+i2 018對應的點位于第三象限.4.B復數z=2-i2+i-2+i2-i=(2-i)2(2+i)(2-i)-(2+i)2(2-i)(2+i)=-8i5,則z的共軛復數的虛部為85.5.Bz=5a(2-i)(

6、2+i)(2-i)+(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2a+(1-a)i,因為復數z對應的點在復平面內位于第四象限,所以2a0,1-a1.6.D由題圖得,OC=OA+OB,所以OC對應的復數為1+2i-2+i=-1+3i,所以點C對應的復數為-1+3i.7.A若z1=z2,則m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=1或m=-2.所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要條件.8.B設z=a+bi(a,bR),點B對應的復數為z1,則A(a,b),z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因為點B與點A恰好關于坐標原點對稱,所以-b-1=-a,a-1=-b,解得a=

7、1,b=0,于是z=1.二、多項選擇題9.BCz=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,所以|z|=2,故A是假命題 ;z2=2i,故B是真命題;z的共軛復數為1-i,故C是真命題;z的虛部為1,故D是假命題.10.BC對于A,在復平面內,實軸上的點都表示實數,虛軸上的點除原點外都表示虛數,A錯誤;對于B,設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則z1+z2=(a+c)-(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i,所以z1+z2=z1+z2,B正確;對于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正確;對

8、于D,若|z-i|=|z+i|,則在復平面內,復數z到點(0,1)和(0,-1)的距離相等,所以復數z對應的點的集合是實軸,D錯誤.故選BC.11.ABC當z1=4+i,z2=2-2i時,z12=15+8i,z22=-8i,滿足z12+z220,但z12與-z22都是虛數,不能比較大小,故A中結論錯;因為|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|與(z1+z2)2-4z1z2不一定相等,故B中結論錯;當z1=2+i,z2=1-2i時,z12=3+4i,z22=-3-4i,滿足z1+z2=0,但z1=z2=0不成立,故C中結論錯;設z1=a+bi(a,bR),則z1=a-bi

9、,故z1-z1=2bi,當b=0時,z1-z1=0,當b0時,z1-z1是純虛數,故D中結論正確.12.BC若z+z=0,則z不一定為純虛數,也可以為0,反之,若z為純虛數,則z+z=0,“z+z=0”是“z為純虛數”的必要不充分條件,A錯誤,B正確;“z=z”是“z為實數”的充要條件,C正確;若zzR,則z不一定為實數,也可以為虛數,反之,若zR,則zzR,“zzR”是“z為實數”的必要不充分條件,D錯誤.故選BC.三、填空題13.答案1解析z=(1+i)2(1-i)(1+i)=1+2i+i21-i2=2i2=i,|z|=1.14.答案22解析AB=OB-OA,所以AB對應的復數為(-1+3

10、i)-(1+i)=-2+2i,所以|AB|=22.15.答案17;16解析復數z=a2-4+(a-2)i(aR)是純虛數,a2-4=0,a-20,解得a=-2,z=-4i,z=4i,|z+1|=|1-4i|=17,zz=16.16.答案322解析z*z=|z|+|z|2=2a2+b22=a2+b2=(a+b)2-2ab.a+b=3,aba+b22=94,當且僅當a=b=32時,等號成立,-ab-94,z*z 9-294=92=322.故z*z的最小值為322.四、解答題17.解析(1)原式=16(1+i)4(1-3i)4(1-3i)=16(2i)2(-2-23i)2(1-3i)=-644(1+

11、3i)2(1-3i)=-16(1+3i)4=-41+3i=-1+3i.(5分)(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.(10分)18.解析(1)若z是純虛數,則a-1=0,a0,(3分)所以a=1.(6分)(2)因為|z|=(a-1)2+a2=5,所以a2-a-2=0,所以a=2或a=-1.(10分)當a=2時,z=1+2i,z=1-2i,當a=-1時,z=-2-i,z=-2+i.(12分)19.解析(1)設z=x+yi(x,yR),則z+2i=x+(y+2)i,(1分)z2-i=x+yi2-i=(2x-y)+(x+2y)i5.(2分)由條件得,y+2=

12、0且x+2y=0,所以x=4,y=-2.(5分)所以復數z=4-2i.(6分)(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(8分)由條件得12+4a-a20,8(a-2)0,(10分)解得2a6,所以實數a的取值范圍是(2,6).(12分)20.解析(1)設z=a+bi(a,bR),則z2=a2-b2+2abi.(2分)由題意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,(4分)所以z=1+i或z=-1-i.(6分)(2)當z=1+i時,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以SABC=1.(9分)當

13、z=-1-i時,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以SABC=1.(12分)21.解析設z=x+yi(x,yR,y0).(1)z-2=x-2+yi,由z-2為純虛數,得x=2,所以z=2+yi,(2分)所以z+9z-2=2+yi+9yi=2+y-9yi,由z+9z-2為實數,得y-9y=0,解得y=3,(4分)所以z=2+3i或z=2-3i.(5分)(2)因為z+9z-2=x+yi+9x+yi-2=x+9(x-2)(x-2)2+y2+y-9y(x-2)2+y2iR,(7分)所以y-9y(x-2)2+y2=0,因為y0,所以(x-2)2+y2=9,(9分)由(x-2)29得x(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|=(x-4)2+y2