1、第2章 隨機變量的分布2.1 隨機變量的分布函數2.2 離散型隨機變量2.3 連續型隨機變量2.1 隨機變量的分布函數一. 隨機變量常見的兩類隨機試驗結果：示數的降雨量；候車人數；發生交通事故的次數示性的明天天氣(晴，多云)；化驗結果(陽性，陰性)如何將試驗結果數量化，以便用數學手段研究？定義樣本空間上的實值函數X , 將所有樣本點數量化()XR 隨機變量舉例 我們稱之為隨機變量。隨機變量的引進是概率論發展進程中的一次飛躍隨 機 變 量上述變量都定義在樣本空間上,具有以下特點：(1) 變量的取值由隨機試驗的結果來確定;(2) 取各數值的可能性大小有確定的統計規律性.隨機變量的作用：它可以完整地

2、描述試驗結果，并將隨機試驗數量化，從而可用量化分析方法來研究隨機現象的統計規律性.（關心取值情況和取值概率）隨 機 變 量 定義：設E的樣本空間為W，對于每一個樣本點w W，都有唯一實數X(w)與之對應,（此時X(w) 為一變量）且對于任意實數x，事件 w| X(w) x 都有確定的概率，則稱X(w) 為隨機變量，簡記為X。 摸彩賭博二. 分布函數 在實際問題中，常常需要研究隨機變量在任一區間上取值的概率 如：產品質量檢查時，隨機抽取的件產品中次品件數 X 不超過3的概率？5 某公司生產的某一型號液晶電視壽命在45000, 55000 (小時)之間的概率？ 從摸彩賭博例子中可看到：對任一實數

3、x P w| X(w) x ， 這是一個函數。 定義：設X是一個隨機變量， x是任意實數，稱 F( x ) = P X x = P w: X(w) x 為隨機變量X 的分布函數， F( x ) 也記為FX( x ) 。 注：（1）分布函數F( x )的函數值表示事件“隨機點X落在(, x 內”的概率。分 布 函 數 （2） F( x )的改變量 DF = F( x +Dx) - F( x ) = Px X x +Dx 是事件“隨機點X落在(x , x +Dx 內”概率。摸球試驗射擊試驗儀器壽命問題OxxXOxxx+DxX分布函數的性質：（1） F( x ) 為單調不降函數， 即若 x1 x2

4、，則有F( x1 ) F( x2 ) 。（2） 0F( x ) 1，且limF( x ) = 0 , limF( x ) = 1 。x-x+（3） F( x ) 是右連續函數，即F( x +0 ) = F( x ) 。 分布函數的性質可以 用來確定某一函數是否為一個隨機變量的分布函數，還可以用來求分布函數中未知參數。分布函數的確定分 布 函 數E5 檢驗N 件產品中的次品數。E4 測量某零件長度x和直徑y所產生的誤差。E2 拋一枚硬幣，觀察其出現正面H和反面T的情況。若用X 表示拋一次硬幣時出現正面的次數，則 X (H )=1，X(T )=0。 k=N件產品中有k 件次品 k=0, ,n. 則

5、誤差 和直徑所產生的分別表示測量零件長度和用,yx, ) ,(+-+-=yxyx事 件 的 數 量 化 用Y表示檢查N 件產品中的次品數，我們有 Y(k) = k 。例1 一個莊家在一個簽袋中放有8個白、8個黑的圍棋子。規定：每個摸彩者交一角錢作“手續費”，然后一共從袋中摸出五個棋子，按 “摸子中彩表”給“彩金”。摸到五個白四個白三個白其它彩金2元2角5分無獎解：用“ i ”表示“摸出的五個棋子中有 i 個白子”，則試驗的樣本空間為W = 0，1，2，3，4，5摸 彩 賭 博 用X (單位:元)表示賭徒摸一次得到的彩金，則有X ( i ) = 0，i = 0，1，2X ( 3 ) = 0.05

6、， X ( 4 ) =0.2，X ( 5 ) = 2 X是定義在W上的隨機變量，對每一個 樣本點 i ，都有一個實數X ( i )與之對應。 且 5001.0 0128.01282.03589.012,1,00=-=PXP0128.05251658=CCPXP1282.042.05164818=CCCPXP3589.0305.05163828=CCCPXP摸 彩 賭 博 對于任意實數x，X(w) x 實際上表示一個隨機事件，從而有確定的概率。例如1)(5=WPXP9872.00128.014,3,2,1,02.1=-=PXP0)(5.0=-PXPf 總結：從本例中可看到，隨機變量X 完整地描述

7、了試驗的全過程，而不必對每一個事件進行重復討論。進一步，我們可以把高等數學工具用于對隨機試驗的分析。摸 彩 賭 博例2：一袋中有依次標有-1、2、2、2、3、3 數字的六個球，從中任取一球，試寫出球上號碼 X 的分布函數。解：由題意有313,212,611=-=XPXPXP當x -1時,F(x) = P Xx = P(f ) = 0。x-123xX摸 球 試 驗當-1 x 2時,F(x) = PXx = PX = - 1 = 1/6 。x-123xX當2 x 3時,F(x) = P Xx = PX = - 1 + PX = 2 =2/3 。x-123xX當3 x 時,F(x) = PXx =

8、P W = 1 。x-123xX摸 球 試 驗綜上所述,可得-=313232216110)(xxxxxFx1O-123F(x)1 這是一個單調不降，有界,右連續的階梯函數摸 球 試 驗在不連續點處的階躍值恰為 P X=k , k= -1, 2 , 3。 例3：一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X 表示彈著點與圓心的距離。試求X 的分布函數。解：由題意有當x 0時, F(x) = P Xx = P( f ) = 0。當x 2時, F(x) = P Xx = P( W ) = 1。 當0 x 2時, 由題意知Xx射 擊 試 驗 P 0 Xx = k x2 其中k為一常數。 由題意可得 1 = P 0 X 2 = 4 k k = 。x1O2從而有 F(x) = P Xx = P X0 + P 0 Xx =241x所以分布函數為: 0 為一常數,試寫出電子管的壽命T 的分布函數。解：由題意 當t 0，由題設條件有儀 器 壽 命 問 題 P T t + D t |T t = lD t + o(D t ),求解方程得分布函數