1、高考中的球體問題例1球面上有三點 A、B、C組成這個球的一個截面的接三角形三個頂點，其中AB 18, BC 24、AC 30,球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.分析：求球的表面積的關鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，ABC是截面的接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關系式r2 R2 d2求出球半徑 R.解：.AB 18, BC 24, AC 30,_ 2_ _ 2_ 2 AB BC AC , ABC是以AC為斜邊的直角三角形.ABC的外接圓的半徑為15,即截面圓的半徑r 15,1c 1c o又球心到截面的距離為 d -R, .

2、 R2 (R)2 152,得R 103. 22球的表面積為 S 4 R2 4 (10J3)2 1200 .說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關系式r R R2 d2解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關系，求三個量.例2.自半徑為R的球面上一點 M ,引球的三條兩兩垂直的弦MA,MB,MC ,求MA2 MB2 MC2 的值.分析：此題欲計算所求值， 應首先把它們放在一個封閉的圖形進行計算，所以應引導學生構造熟悉的幾何體并與球有密切的關系，便于將球的條件與之相聯.解：以MA, MB , MC為從一個頂點出發的三條棱，將三棱錐M ABC補成一個長方體，則另外四個頂點必在

3、球面上，故長方體是球的接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑.MA2 MB2 MC2=(2R)2 4R2.說明：此題突出構造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算.例3.試比較等體積的球與正方體的表面積的大小.分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關系，再轉化為其面積的大小關系.解：設球的半徑為r ,正方體的棱長為 a,它們的體積均為 V ,則由tr3 V,r3 EV, r ；|雙，由 a3 V,得 a W .4. 4S球 4 r2 4 (3 3V )2 3 4 V2 .S正方體6a2 6(3 V)2 63 V2 3 216V2 .,4216 V4 V2也16

4、72 ,即 S球 S正方體.例4 一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器注入水，并放入一個半徑為r的鐵球，這時水面恰好和球面相切.問將球從圓錐取出后，圓錐水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐下降部分(圓 例5.設正四面體中，第一個球是它的切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積 之比及體積之比.臺)的體積等于球的體積，列式求解.解：如圖作軸截面，設球未取出時水面高B. AC 3r , PC 3r ,PC h,球取出后，水面高 PH x則以AB為底面直徑的圓錐容積為 次錐球取出后水面下降到 EF ,水體積為V7K13131334又

5、V水V圓錐V球，則一x 3 r 93AC2 PC 1 (V3r)2 3r 3 r3,21213EH2 PH (PHtan30)2PH x3. 39解得 x 3/15 r .分析：此題求解的第一個關鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關系，第二個關鍵是兩個球的半徑之間的關系，依靠體積分割的方法來解決的.解：如圖，正四面體 ABCD的中心為O, BCD的中心為O1 ,則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離.設OO1 r,OA R,正四面體的一個面的面積為 S.1 依題意得Va BCD -S(R r), 3R r 4r 即 R 3r .內切球的表面積4 r2

6、所外接球的表面積Tr2又 Va BCD 4Vo內切球的體積 ,外接球的體積BCD3r327說明：正四面體與球的接切問題， 可通過線面關系證出， 切球和外接球的兩個球心是重合的，1為正四面體局的四等分點，即定有切球的半徑r h(h為正四面體的高)，且外接球的半4徑 R 3r.例6.把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第 四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離.分析：關鍵在于能根據要求構造出相應的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成 TOC o 1-5 h z 正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2.解：四球心組成棱長為2

7、的正四面體的四個頂點，則正四面體的高,2 z9 3 22.6h ii2(2 ).33而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1,故第四個球的最高點與桌面的距離為例7.如圖1所示，在棱長為1的正方體有兩個球相外切且又分別與正方體切.（1）求兩球半徑之和；分析：此題的關鍵在于作截面，一個球在正方體，學生一般知道作對角面，而兩個球的球心 連線也應在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察R與r和棱長間的關系即可.解：如圖2,球心01和02在AC上，過O1, 02分另作AD,BC的垂線交于E, F .則由 AB 1, AC 百

8、得 AOi V3r,CO2 V3R .3v 3( rR) v3 , R r-；=3 1練習：1、一個四棱柱的底面是正方形，側棱與底面垂直，其長度為4,棱柱的體積為16,棱柱的各頂 點在一個球面上，則這個球的表面積是A16兀B.20 兀C24兀D.32 兀答案：C解：由題意知，該棱柱是一個長方體，其長、寬、高分別為2,2,4.所以其外接球的半徑R=、4 4 16 =般.所以球的表面積是S=4兀R=24兀.2A.3兀B.4兀C.3 3 兀D.6tt 答案：A 以四面體的棱長為正方體的面對角線構造正方體目，則正方體接于球，正方體棱長為1,則體對2、一個正四面體的所有棱長都為J2 ,四個頂點在同一個球

9、面上，則此球的表面積為()角線長等于球的直徑，即2R=J3,所以S球=4兀R2=3兀.3.在半球有一個接正方體，試求這個半球的體積與正方體的體積之比解：將半球補成整個的球(見題中的圖) ，同時把原半球的接正方體再補接一個同樣的正方體,構成的長方體剛好是這個球的接長方體，那么這個長方體的體對角線便是它的外接球的直徑.設原正方體棱長為 a,球的半徑為R則根據長方體的對角線性質 ，得(2 F)2=a2+a2+(2a) 2, 即 4R2=6a2.所以 R=6a.從而 V半土t=-2-R3=2 6a =上6a3, 23322V正方體=a3.因此.V半球：V正方體=&a3 : a3=V6 兀：2.2 TO

10、C o 1-5 h z .一個正四面體的所有棱長都為 J2 ,四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為（）A.3 %B.4 兀/c.3 屈：匕、二ThD.6 兀二一7卜/答案：A 三 J 解析：以PA PB P棱作長方體,則該長方體的外接球就是三棱錐 P- ABC勺外接球,所以球的 半徑 出41（何2 32 =2,所以球的表面積是 S=4兀R2=16兀.2.過球O表面上一點 A引三條長度相等的弦 AB、AC、AD ,且兩兩夾角都為 60，若 球半徑為R,求弦AB的長度.解：由條件可抓住 A BCD是正四面體， A、B、C、D為球上四點，則球心在正四面 TOC o 1-5 h z 6.體中心，設

11、 AB a,則截面BCD與球心白距離d a R,過點B、C、D的截面、 ,3322622 6圓半徑r a,所以(a)R(a R)得a R. HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 3333. 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ B ）.312.直三棱柱 ABC AB1cl的各頂點都在同一球面上，若 AB AC AA 2,BAC 120 ,則此球的表面積等于 。解：在 ABC中AB AC 2 , BAC 120，可得BC 2向，由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為O

12、,球心為O,在RT OBO中，易得球半徑 R J5 ,2故此球的表面積為4 R 20 .正三棱柱 ABC AB1C1接于半徑為2的球，若 A,B兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為.答案89.表面積為2石的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A 叵 B . 1C .2D .正3333a的正三角形，所以由243 知,答案A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a 1,則此球的直徑為 J2 ,故選A。.已知正方體外接球的體積是323，那么正方體的棱長等于（A.2 2 B.2.3C.4、. 2D.4. 3.正方體的切球與其外接球的體積之比為（C ）A. 1 ： V3B . 1 ： 3 C

13、 . 1 ： 373.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3,則這個球的體積為（ 土）83.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2, 3,則此球的表面積為 . 14冗.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為 1 cm,那么該棱柱的表面積為cm 2. 2 4 . 2.如圖，半徑為2的半球有一接正六棱錐 P ABCDEF ,則此正六棱錐的側面積是 . 677.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是.J2C )16.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（A. 3B. 2C.163D.以上都不對 TOC o 1-5 h z 17.設正