1、第三章 z變換及離散系統的頻域分析課程名稱：數字信號處理任課教師：張培珍授課班級：信計1081-1082 3.1 z變換124533.5 序列的傅里葉變換及性質3.4 z變換與拉氏變換和傅里葉變換的關系 3.3 z變換的性質和定理3.2 z反變換 3.6 離散系統的頻域分析673.7 綜合實例引言離散時間信號與離散時間系統3信號與系統的分析方法時域分析法頻域分析法拉普拉斯變換傅里葉變換Z變換DFT變換復頻域連續離散z變換的定義 3.1 z變換離散時間信號與離散時間系統3Z變換Matlab函數: F=ztrans()Z逆變換Matlab函數: F=itrans()雙邊：單邊：z變換的收斂域對于任

2、意給定序列x(n)，使其z變換收斂的z平面上所有z值的集合稱為z變換的收斂域。收斂域一般用環狀域來表示，其中取值可為零，取值可為無窮大，如圖所示。 序列x(n)的z變換絕對收斂的條件是絕對可和，即3.1 Z變換3例3.1 Z變換3討論幾類序列Z變化的收斂域 1.有限長序列其z變換為3.1 Z變換30n2n1n (n).保證|z-n|下面分四種情況來考慮其收斂域。3.1 Z變換3例3.1序列 如圖3.8所示，求其z變換及收斂域。解 這是一個有限序列，其z變換為 其收斂域為0|z|，即除原點之外的整個z平面，如圖3.9所示。 圖3.8序列 圖3.9 序列 的收斂域 3.1 Z變換32. 右邊序列第

3、一項為有限長序列，其收斂域為 ；第二項為z的負冪級數，其收斂域為 ,即以 為半徑的圓外，其中 。只有兩項都收斂時，該z變換才收斂。一般而言，右邊序列的收斂域為 。 3.1 Z 變換3x(n)n0n1.1.當時 ，此時的右邊序列就是因果序列，其收斂域為 。 例3.2 求序列 的z變換及收斂域。 解 這是一個右邊序列，其z變換為 只有當 時 ，即 ，該序列收斂。此時 只有當收斂域為 ，即半徑 的圓外部。 收斂域為3.1 Z變換33. 左邊序列第二項為有限長序列，其收斂域 ；第一項為z的正冪級數，其收斂域為 ,即以 為半徑的圓內。只有兩項都收斂時，該z變換才收斂。一般而言，左邊序列的收斂域為 。當時

4、 ，其收斂域為 。 ,即以。當。 3.1 Z變換3x(n)0n n2例3.3 求序列 的z變換及收斂域。 解 這是一個左邊序列，其z變換為 顯然，只有當 時，即 ，該序列才收斂。因此 其收斂域為 ，即半徑 的圓內部分 圖3.11 收斂域 3.1 Z變換34. 雙邊序列只有當 時，雙邊序列z變換才存在，其收斂域為 ，即為一環狀域。若 ，則無公共收斂域， 不存在。 3.1 Z變換30nx例3.4 已知雙邊序列 ，b為實數，求X(z)。解 這是一個雙邊序列，其z變換為 3.1 Z變換3(1) 若 ，則存在公共收斂域 (2)若 ，則不存在公共收斂域，X(z)不存在。3.1 Z變換33.1 Z變換3問題

5、：(n)，u(n)屬于哪一種序列（單邊、雙邊、有限長）？其Z變換、收斂域如何？總結：有限序列全z面，零和無窮要察看；右邊序列圓外面，因果斂至無窮遠；左邊序列圓里面，逆向因果含零點；雙邊序列是圓環，邊界考慮零極點。3.1 Z變換33.1 Z變換3RezjImz半徑R=1的圓N-1階例：3.1 Z變換33.1 Z變換33.2 序列x(n) z反變換其中c是在X(z)的收斂域內一條繞原點的逆時針閉合單圍線。求z反變換的方法通常有留數法、冪級數法和部分分式法三種。 3.2 Z 反變換3若X(z)是z的有理函數，利用留數定理來計算圍線積分。其中X(z)zn-1須在圍線上連續，在圍線以內有K個極點zk，而

6、在圍線以外有M個極點zm。 則有或注意在公式(3.12)中，必須滿足X(z)zn-1的分母多項式z的階次要比分子多項式z的階次高二階或二階以上。 (3.12)(3.11)3.2.1 留數法3zk是X(z)zn-1的極點，其對應的留數計算方法是：(1) zk是X(z)zn-1的單階極點 (2) zk是X(z)zn-1的 l 階極點3.2.1 留數法3例3.5 ，設收斂域 ，試用留數法求x(n)。 解 由收斂域可知x(n)是一個右邊序列。式中，圍線c是半徑大于2的圍線，如圖3.13所示。 圖3.13 例3.5的圍線 3.2.1 留數法3從X(z)zn-1的表達式可以看出，當 時，有兩個一階極點 和

7、 ，當 時有兩個一階極點 和 及n階極點 。 當 時， 3.2.1 留數法3當 時，可用式(3.12)求留數，其留數為零。 所以或3.2.1 留數法3把X(z)按z-1展成冪級數，即 其級數的系數就是序列x(n)。常用方法有按冪級數公式展開法和長除法。 3.2.2 冪級數法3部分分式法是將X(z)表達式展開成常見部分分式之和，然后分別求各部分的z反變換，最后把各z反變換相加即可得到。即 則3.2.3 部分分式法3例3.11 若已知 ，設收斂域 ，試用部分分式法求x(n)。 解 由X(z)的表達式可以看出，存在 和 兩個單階極點。所以查表3-1，可得到 3.2.3 部分分式法31線性若 則有 2

8、序列的移位若則有3.3 Z 變換的性質和定理3例已知 ,求其z變換。3.3 Z 變換的性質和定理33序列的翻褶若 則有4. 乘以指數序列若則有3.3 Z 變換的性質和定理35. 序列乘以若則有6. 復序列的共軛若則有3.3 Z 變換的性質和定理37. 初值定理 若x(n)為因果序列，則有 3.3 Z 變換的性質和定理33.3 Z 變換的性質和定理38. 終值定理 如果x(n)為因果序列，且X(z)的極點在單位圓以內(單位圓上最多有一階極點)，則有 證明9. 序列的卷積(時域卷積定理)若 ，則 即收斂域等于兩個收斂域的重疊部分。如果Y(z)=X(z)H(z)存在零極點相消情況時，收斂域會擴大。3

9、.3 Z 變換的性質和定理310z域復卷積定理 若 ，則 ，其中c是平面上 的公共收斂域內繞原點逆時針一周的封閉圍線。 3.3 Z 變換的性質和定理311. 帕斯瓦爾定理3.3 Z 變換的性質和定理3它表明信號在時域的總能量等于信號在頻域的總能量，即信號經傅里葉變換后其總能量保持不變，符合能量守恒定律。 3.3 Z 變換的性質和定理33.3 Z 變換的性質和定理3設 為連續信號， 為其理想采樣信號，則 的拉普拉斯變換為 即而序列 的z變換為 3.4 z變換與拉普拉斯變換的關系3可以看出，當 時，序列x(n)的z變換就等于理想采樣信號的拉普拉斯變換。即 3.4 z變換與拉普拉斯變換的關系3（3.

10、28）又由式(3.26)可知 由于 所以上式說明：在時域采樣信號的拉式變換是連續時間信號拉氏變換在s平面上沿虛軸的周期延拓。 （3.31）結合式(3.28)和式(3.31)可知連續時間信號 的拉普拉氏變換 與離散時間信號x(n)的z變換之間的關系為 離散時間信號與離散時間系統3由于傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓 。也就是說，采樣序列在單位圓上的z變換，就等于理想采樣信號的傅里葉變換。式(3.30)也可寫成即采樣序列的頻譜是連續信號頻譜 以 為周期的周期延拓。3.4 z變換與傅里葉變換的關系3序列的傅里葉變換定義為 常用 表示序列的傅里葉變換。 序列的傅里葉反

11、變換定義為 常用 表示序列的傅里葉反變換。 3.5 序列的傅里葉變換3序列的傅里葉變換是具有周期性的。 可以看出， 是以 為周期的周期性函數。因此在繪制 圖形時，一般只需在 或 區間上標注即可。 3.5 序列的傅里葉變換3序列傅里葉變換的性質3.5 序列的傅里葉變換33.6.1 系統函數 線性移不變系統，可用單位脈沖響應h(n)來表示，即 等式兩邊取z變換，有 Y(z) = X(z) H(z) H(z)稱為線性時不變系統的系統函數。 3.6 離散系統的頻域分析3一個N階線性時不變系統，其常系數差分方程表示的一般形式為 兩邊取變換，有 3.6.2 系統函數和差分方程3還可以表示為 其中，cm為H

12、(z)的零點，dk為H(z)的極點，K為比例常數。從表達式可以看出，系統函數也可由系統的零、極點來確定。3.6.2 系統函數和差分方程3例3.17 差分方程 ，且 ， ， ，求 。 解 對已知的差分方程兩邊取變換，有 代入已知條件，得到 取z反變換，得到3.6.2 系統函數和差分方程33.6.3 因果穩定系統31）因果：其單位脈沖響應h(n)=0,n0;那么系統的收斂域一定包括無窮點，收斂域在某一圓外3.6.3 因果穩定系統3序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的收斂域：2）穩定：穩定系統的系統函數H(z)的收斂域須包含單位圓Z=13.6.3 因果穩定系統3H(z)須從單位圓到 的整個z

13、域內收斂即系統函數H(z)的全部極點必須在單位圓內3）因果穩定：不能構成既穩定又因果系統例3.19 已知某系統函數 ，分析其因果性和穩定性。解 根據系統函數可知，H(z)的極點為z1=0.5和z2=2。下面分三種情況討論。(1) 當收斂域 ，該系統是因果系統。由于其收斂域不包含單位圓，所以不是穩定系統。對應的單位脈沖響應 ，這是一個因果序列，同時又是發散的序列。3.6.3 因果穩定系統3(2) 當收斂域 ，該系統不是因果系統。由于其收斂域包含單位圓，所以是穩定系統。單位脈沖響應，這是一個非因果但收斂的雙邊序列。(3) 當收斂域 ，該系統不是因果系統。由于其收斂域不包含單位圓，所以也不是穩定系統

14、。3.6.3 因果穩定系統3設某一系統由差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)描述。(1) 求系統的系統函數H(z)，并畫出零極點分布圖。(2) 限定系統是因果的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應h(n)。(3) 限定系統是穩定的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應h(n)。(4) 求出系統的頻率響應并畫出響應的幅頻特性曲線。(5) 設輸入x(n)=(n)+ (n-1)，且系統因果的條件下，求輸出y(n)。綜合實例3解 (1) 對差分方程兩邊求z變換可得 所以其中，零點為綜合實例3極點為(2) 若限定系統是因果的，則收斂域為當n0時，h(n)=0 當n0時，綜合實例3因而（3）若限定系統是穩定的，則收斂域包括單位圓，為當n0時，圍線C內只有一個極點 當n0時，圍線C內只有兩個極點 3.6.4 系統頻率響應的幾何確定法3綜合以上結果，可得 （4）系統的頻率響應為 3.6.4 系統頻率響應的