1、第一章 時域離散信號和時域離散系統1.1 引言1.2 時域離散信號1.3 時域離散系統1.4 時域離散系統的輸入輸出描述法線性常系數差分方程1.5 模擬信號數字處理方法1.2 時域離散信號序列 一、序列 時域離散信號又稱離散時間信號，它既可以是實數也可以是復數。離散時間信號是整數值變量n的函數，表示為x(n)。因為離散時間信號x(n)對于非整數值n是沒有定義的，所以一個實值離散時間信號序列可以用圖形來描述，如圖1-1所示。圖 1-1 離散時間信號x(n)的圖形表示 離散時間信號常常可以由對模擬信號(如語音信號)進行等間隔采樣而得到。例如，對于一個連續時間信號xa(t)，以每秒fs=1/T個采樣

2、的速率采樣而產生采樣信號，它與xa(t)的關系如下： 然而，并不是所有的離散時間信號都是這樣獲得的。一些信號可以認為是自然產生的離散時間序列，如每日股票市場價格、 人口統計數和倉庫存量等。 二、 幾種常用序列1 單位脈沖序列(n) 這個序列只在n=0 處有一個單位值1，其余點上皆為0， 因此也稱為“單位采樣序列”。單位采樣序列如圖1-2所示。(1-1)圖 1-2 (n)序列 這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時間系統中的作用，很類似于連續時間系統中的單位沖激函數(t)。但是， 在連續時間系統中，(t)是 t=0 點脈寬趨于零，幅值趨于無限大，面積為1的信號，是極限概念的信號， 并非任何現實

3、的信號。而離散時間系統中的(n)，卻完全是一個現實的序列， 它的脈沖幅度是1， 是一個有限值。 2 單位階躍序列u(n) 如圖 1-3 所示。它很類似于連續時間信號與系統中的單位階躍函數u(t)。 (1-2)圖 1-3 u(n)序列 (n)和u(n)間的關系為 這就是u(n)的后向差分。 而 令n-m=k，代入此式可得 這里就用到了累加的概念。 (1-3)(1-4)(1-5)3矩形序列RN(n) (1-6)矩形序列RN(n)如圖1-4所示。 圖 1-4 RN(n)序列 RN(n)和(n)、u(n)的關系為: (1-7)(1-8)4實指數序列 式中，a為實數。當|a|1時，序列是發散的。a為負數

4、時，序列是擺動的，如圖1-5所示。 圖 1-5 指數序列(a) |a|1; (c) a=-|a| 5 正弦型序列x(n)=A sin(n0+) (1-10)式中: A為幅度; 為起始相位; 0為數字域的頻率，它反映了序列變化的速率。 0=0.1時, x(n)序列如圖1-6所示，該序列值每20個重復一次循環。 圖 1-6 正弦序列(0=0.1) 6 復指數序列（復正弦序列） 序列值為復數的序列稱為復數序列。 復數序列的每個值具有實部和虛部兩部分。 復指數序列是最常用的一種復序列： (1-11a)或 (1-11b)式中，0是復正弦的數字域頻率。 對第二種表示，序列的實部、虛部分別為 如果用極坐標表

5、示，則 因此有： 三 、序列的周期性 如果對所有n，存在一個最小的正整數N，滿足 (1-12)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。 現在討論上述正弦序列的周期性。 由于 則 若N0=2k, 當k為正整數時，則 這時的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2k/0（N，k必須為整數）。可分幾種情況討論如下。 （1） 當2/0為正整數時，周期為2/0。 （2） 當2/0不是整數，而是一個有理數時（有理數可表示成分數），設 其中，P,Q為互素的整數，取k=Q,則N=P。 （3）當2/0是無理數時，則任何k皆不能使N取正整數。 這時，正弦序列不是周期性的。 這和連續信號是不一樣的。 同樣，指數為純

6、虛數的復指數序列 的周期性與正弦序列的情況相同。 四、 用單位采樣序列來表示任意序列 用單位采樣序列來表示任意序列對分析線性時不變系統（下面即將討論）是很有用的。 設x(n)是一個任意序列，則x(n)可以表示成單位采樣序列的移位加權和，即 其中， 這種任意序列的表示方法，在信號分析中是一個很有用的公式。例如：x(n)的波形如圖1-7所示，可以表示成： x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6)圖1-7 用單位采樣序列移位加權和表示序列 五、 序列的能量 序列x(n)的能量E定義為序列各采樣樣本的平方和， 即 六、 數

7、字頻率與模擬角頻率之間的關系 如果正弦序列 是由模擬正弦信號 采樣得到的，即 因此有：上式說明：數字頻率是模擬角頻率關于采樣頻率的歸一化頻率。數字頻率，單位是弧度，rad模擬角頻率，單位是弧度每秒，rad/s模擬頻率，單位是赫茲，Hz或者1/s七、 序列的運算 1.乘法和加法 序列之間的乘法和加法，是指它們的相同序號的序列值逐項對應相乘和相加，如右圖所示。2. 移位、翻轉及尺度變換 設序列x(n)，其移位序列為x(n-m)； 當m 0時，稱為x(n)的延時(右移）序列； 當m 0時，稱為x(n)的超前(左移）序列。 x(-n)則是x(n)的翻轉序列（關于縱軸翻轉）。 x(mn)是x(n)序列每

8、m（m1）個點取一點形成的（序列的抽取）。如當m=2時，x(2n)是x(n)每兩個點取一個點。 x(n/m) （m1）是將序列x(n)相鄰兩個點之間插m-1個零（序列的插值）。如當m=2時，x(n/2)是x(n)相鄰兩個點之間插一個零。1.3 時域離散系統 設時域離散系統的輸入為x(n)，經過規定的運算，系統輸出序列用y(n)表示。設運算關系用T表示，輸出與輸入之間關系用下式表示： y(n)=Tx(n) 其框圖如下圖所示。 1.3.1 線性系統 滿足線性疊加原理的系統稱為線性系統。設x1(n)和x2(n)分別作為系統的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n

9、)，y2(n)=Tx2(n) 那么線性系統一定滿足下面兩個公式： T x1(n)+x2(n) = y1(n)+y2(n) （可加性） Ta x1(n)=a y1(n) （齊次性） 例1.3.1 證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數)，所代表的系統是非線性系統。 證明 ： y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此，該系統不是線性系統。 用同樣方法可以證明 所代表的系統是線性系統。 1.3.2 時不變系統 如果系統對輸入信號的運算關系T在整個

10、運算過程中不隨時間變化，或者說系統對于輸入信號的響應與信號加于系統的時間無關，則這種系統稱為時不變系統，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0) 例1.3.2 檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統是否是時不變系統，a和b是常數。 解 ： y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此該系統是時不變系統。例1.3.3 檢查y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統。 解 ： y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n

11、0)Tx(n- n0) 因此該系統是時變系統。同樣方法可以證明 所代表的系統也是時變系統。 思考：y(n)=x(2n)所代表的系統是否是時不變系統？還有y(n)=x(-n)呢？ 1.3.3 線性時不變系統輸入與輸出之間的關系 一、單位取樣響應（單位脈沖響應）h(n) 設系統的輸入x(n)=(n)，系統的初始狀態為零，定義這種條件下系統輸出稱為系統的單位取樣響應，用h(n)表示。換句話說，單位取樣響應即是系統對于(n)的零狀態響應。用公式表示為 h(n)=T(n) h(n)和模擬系統中的h(t)單位沖激響應相類似，都代表系統的時域特征。 二、線性時不變系統輸入輸出之間的關系三、卷積和的計算1、解

12、析法2、圖解法3、列表法（適用于有限長序列） 卷積中主要運算是翻轉、移位、相乘和相加，這類卷積稱為序列的線性卷積（卷積和）。設兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。四、卷積和的性質 線性卷積服從交換律、結合律和分配律： x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)任意序列和單位采樣序列的卷積：1.3.4系統的因果性和穩定性一、因果性 如果系統n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻以后的輸入序列無關，則稱該

13、系統具有因果性質，或稱該系統為因果系統。 線性時不變系統具有因果性的充分必要條件是系統的單位取樣響應滿足下式： h(n)=0， n0 思考：系統 y(n)=x(n)+x(n+1) 的因果性？二、穩定性 所謂穩定系統，是指系統輸入有界，系統輸出也是有界的。 線性時不變系統穩定的充分必要條件是系統的單位取樣響應絕對可和，用公式表示為例：設線性時不變系統的單位取樣響應 ，式中a是實常數，試分析該系統的因果穩定性。1.4 線性常系數差分方程一個N階線性常系數差分方程用下式表示： 或者 線性常系數差分方程的求解 已知系統的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種： (

14、1)經典解法。 (2)遞推解法。 (3)變換域方法。1.5 模擬信號數字處理方法 在緒論中已介紹了數字信號處理技術相對于模擬信號處理技術的許多優點，因此人們往往希望將模擬信號經過采樣和量化編碼形成數字信號，再采用數字信號處理技術進行處理；處理完畢，如果需要，再轉換成模擬信號，這種處理方法稱為模擬信號數字處理方法。其原理框圖如下圖所示。圖中的預濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節主要介紹采樣定理和采樣恢復。 圖1.5.1 模擬信號數字處理框圖 一 、采樣定理 對模擬信號進行采樣可以看作一個模擬信號通過一個電子開關S。設電子開關每隔周期T合上一次，每次合上的時間為T，在電子開關輸出端得到其采樣信號

15、。 上式表明采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率s重復出現一次，或者說采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以s為周期，進行周期性延拓而成的。 設xa(t)是帶限信號，最高截止頻率為c，其頻譜Xa(j)如下頁圖所示。稱為折疊頻率。它如同一面鏡子，當信號頻譜超過它時，就會被折疊回來，造成頻譜的混疊。 采樣定理：(1)對連續信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續信號的頻譜以采樣頻率為周期進行周期性的延拓形成的。 (2)設連續信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為c，如果采樣角頻率s2c，那么讓采樣信號通過一個增益為T，截止頻率為s/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢

16、復出原連續信號xa(t)。否則s2c會造成采樣信號中的頻譜混疊現象，不可能無失真地恢復原連續信號。 或者 簡單描述為： 帶限信號可以進行時域采樣，采樣后導致頻譜周期化，只要頻譜不發生混疊，就可以無失真地恢復原信號。 一般稱fs為頻率，單位為赫茲(Hz)，s為角頻率，單位為弧度/秒; 習慣上都統稱為“頻率”。 它們的區別由符號f及來識別。 二、采樣的恢復 如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即模擬信號譜的最高頻率小于折疊頻率 則采樣后不會產生頻譜混疊，由式（1.5.5）知 故將 通過一個理想低通濾波器，這個理想低通濾波器應該只讓基帶頻譜通過，因而其帶寬應該等于折疊頻率，它的特性如下頁圖所示。 下面從時域的角度研究采樣的恢復過程。設理想低通濾波器的單位沖激響應為 ：內插函數：理想低通濾波器的輸出為：因此，內插公式： 波形如圖所示，其特點為：在采樣點nT上，函數值為1; 其余采樣點上，函數值都為零。上式稱為采樣內插公式，即信號的采樣值xa(nT)經此公式而得到連續信號xa(t)。 也就是說，xa(t)等于各xa(nT)乘上對應的內插函數的總和。在每一采樣點上，只有該點所對應的