1、人教A版（2019）選擇性必修第一冊1.4.1(3)空間中直線、平面的垂直1.空間中點、直線和平面的向量表示(1)點點+位置向量 (2)線點+方向向量 (3)平面點+法向量2.空間中直線、平面的平行溫顧探新【探新思考】：下面我們就看看直線與直線垂直的向量表示及其應用溫顧探新 類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間又有什么樣關系呢？一、直線和直線垂直【思考】由直線與直線垂直的關系，可以得到這兩條直線的方向向量有什么關系？顯然的，就是：這兩條直線的方向向量垂直l1l2(1)一、直線和直線垂直說明：(1)兩直線垂直分為相

2、交垂直和異面垂直，都可轉化為兩直線的方向向量相互垂直.(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂 直即證兩直線方向向量的數量積為0.A1B1C1D1ABCD一、直線和直線垂直則由已知條件和正三棱柱的性質，一、直線和直線垂直例2如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上 的點，且CN CC1.求證：AB1MN.一、直線和直線垂直例2如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上 的點，且CN CC1.求證：AB1MN.證（法二）設AB的中點為O，作OO1AA1.以O為坐

3、標原點，建立如圖所示的 空間直角坐標系.M為BC的中點，AB1MN.證:由題意，以點B為坐標原點，在平面DBC內過點B作垂直于BC的直線為x軸， BC所在直線為y軸，在平面ABC內過點B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖 所示的空間直角坐標系，一、直線和直線垂直【練1】如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F、 分別為AC，DC的中點.求證：EFBC. 我們知道直線與直線垂直，就是這兩條直線的方向向量垂直，那么，直線與平面垂直的向量表示又是怎樣的呢？二、直線與平面垂直直線與平面垂直，就是：直線的方向向量與平面的法向量平行；l(2)二、直線和平面垂直說明：

4、(1)若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行.(2)證明線面垂直的方法：基理論：用基向量表示直線所在的向量，證直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零；坐標理論：建系，求直線方向向量的坐標，證直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零；法向量理論：建系，求直線方向向量及平面法向量的坐標，證直線方向向量與平面法向量共線。BCDD1A1B1C1A二、直線和平面垂直證：設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面B1AC的法向量為n(x，y，z)，二、直線和平面垂直則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).令x1得n(

5、1,1，1)，EF平面B1AC.例4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF平面B1AC.證:以D為坐標原點，DC，DA，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立如圖所示的空間直角坐標系.所以EFPB，EFAB.二、直線和平面垂直設DA1，E(a,0,0)，其中a0，則C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，【練2】如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PD底面ABCD,ADPD,E,F分別為CD,PB的中點. 求證：EF平面PAB.又PB平面PAB，AB平面PAB，PBABB，所以EF平面PAB. 由上可知

6、：直線與平面垂直，就是：直線的方向向量與平面的法向量平行，接下來我們研究學習平面與平面垂直的向量表示。三、平面與平面垂直(3)平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直三、平面和平面垂直說明：(1)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直.(2)利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直.(3)向量法證明面面垂直的優越性：不必考慮圖形的位置關系，恰當建系后，只需經過向量運算就可得到要證明的結果，思路方法“公式化”，降低了思維難度.xyzA1D1C1B1ACBDEF三、平

7、面和平面垂直證:以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸 建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，E(0,1,0)，F(1/2,2,0).證:（法一）如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線 分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.而PA平面PBC，FG平面PBC.又FG平面EFG，平面EFG平面PBC.三、平面和平面垂直令PAPBPC3，則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，例6 如圖,在正三棱錐PABC中,三條側棱兩兩互相垂直,

8、G是PAB的重心,E，F分別為BC，PB上的點， 且BEECPFFB12.求證：平面GEF平面PBC.三、平面和平面垂直證（法二）同法一建立空間直角坐標系，則E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0).設平面EFG的法向量是n(x，y，z)，即n(0,1，1).即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG平面PBC.例6 如圖,在正三棱錐PABC中,三條側棱兩兩互相垂直,G是PAB的重心,E，F分別為BC，PB上的點， 且BEECPFFB12.求證：平面GEF平面PBC.證 如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA，DP，DC分別 為x軸、y軸、z軸的

9、正半軸建立空間直角坐標系.所以 PQDQ，PQDC，三、平面和平面垂直則D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，又DQDCD，DQ，DC平面DCQ，PQ平面DCQ，又 PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.鞏固練習1.設l1的一個方向向量為a(1,3，2)，l2的一個方向向量為b(4,3，m)，若l1l2， 則m等于 （ ）解 因為l1l2，所以ab0，鞏固練習即1(4)33(2)m0，2.已知平面的法向量為a(1,2,2),平面的法向量為b(2,4,k),若,則k等于( ) A.4 B.4 C.5 D.5解，ab，ab282k0.k5.3.如圖，四棱錐PABC

10、D的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD底面ABCD，且PD1， 若E，F分別為PB，AD的中點，則直線EF與平面PBC的位置關系是_.垂直解 以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，鞏固練習xyz4.在空間直角坐標系中，已知直角三角形ABC的三個頂點為A(3,2,1),B(1,1,1)， C(5，x,0)，則x的值為_.解A(3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x,0)，分三種情況：綜上，x的值為0或9.鞏固練習0或9證 如圖，連接OP，OQ，PQ，取O為坐標原點，以OA，OC所在直線為x軸、z軸， 建立空間直角坐標系(如圖所示).鞏固練習5.如圖，在四面體ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1， 設P為AC的中點，Q在AB上，且AB3AQ，證明：PQOA.6.如圖，在四棱錐EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2， BCE120，求證：平面ADE平面ABE.鞏固練習證 取BE的中點O，連接OC，因為AB平面BCE，以O為原點建立空間直角坐標系(如圖所示).設平面ADE的法向量為n(a，b，c)，又AB平面BCE，OC平面BCE，所以ABOC.因為BEOC，ABBEB，AB，BE平面ABE，所以OC平面ABE.所以平面ABE的法向量可取為m(1,0,0).所以平面A