1、21.3實際問題與一元二次方程【學習目標】1.會分析實際問題中蘊含的數量關系，列出一元二次方程解決實際問題。2.經歷分析和解決實際問題的過程，體會一元二次方程的數學建模作用，進一步提高在實際問題中運用方程這種重要數學工具的基本能力。【學習重難點】重點：列一元二次方程解決實際問題。難點：找出題目中的等量關系。知識點一列一元二次方程解決實際問題的一般步驟與列一元一次方解應用題一樣，列一元二次方程解應用題的一般步驟為：1審：審清題意，明確那些死未知量，哪些是已知量，以及它們之間的關系；2設：根據題意，設恰當的未知數。設未知數有“直接設元”和“間接設元”兩種方法；3列：將相等關系中的各個量用含未知數的

2、代數式表達出來，再根據相關關系列出方程；4解：解方程，得出未知數的值；5驗：檢驗得出的方程的解是否符合題意，舍去不符合一題的解；6答：寫出正確的解【例題】某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結1000個桃子,現準備多種一些桃樹以提高產量.試驗發現,每多種一棵桃樹,每棵棵桃樹的產量就會減少2個.如果要使產量增加15.2%,那么應種多少棵桃樹?【變式】某商場銷售一批名牌襯衫,現在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經調查發現:如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?知識點二列一元二次方程解決

3、平均增長率(1)增長率問題的有關公式：增長數=基數X增長率增長率=實計計劃劃x100%連續兩次增長，且增長率相等的問題:若原來為m,現在為n,增長率為X,滿足公式m(1+x)2二n(mn)【例題1】雅安地震牽動著全國人民的心,某單位開展了“一方有難,八方支援”賑災捐款活動.第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；(2)按照(1)中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【變式1】某城市2006年底已有綠化面積300公頃,經過兩年綠化,綠化面積逐年增加,到2008年底增加到363公頃.設綠化面積平均每年的增長率

4、為x,由題意，所列方程正確的是()A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363C.300(1+2x)=363D.363(1x)2=300【變式2】某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，設蔬菜產量的年平均增長率為x，則可列方程為()A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(1+2x)=100D.80(l+x2)=100【變式3】某市去年9月招收區內初中班學生50名，并計劃在明年9月招生結束后，使區內初中班三年招生總人數達到450名.若該市區內初中班招生人數平均每年比上年的增長率相同，求這個增長率.

5、知識點三列一元二次方程解決與幾何圖形有關的應用題與幾何圖形有關的一元二次方程的應用題主要是將數量及數量之間的關系隱藏在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有：三角形、四邊形、正（長）方形，以后還會有圓。涉及三角形的三邊關系、三角形全等、面積的計算、體積的計算、勾股定理。【例題1】如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2.ABDC【變式1】如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各剪去一個同樣的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒.

6、若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長.設剪去的小正方形邊長是xcm，根據題意可列方程為（）A.10X6-4X6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10X6-4x2=32【變式2】如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長為7m.知識點四列一元二次方程解決與循環有關的問題單循環公式：x（x-1）=總次數2雙循環公式：x（x-1）=總次數注：雙循環常見題型：送禮物（禮尚往來）；球賽：每支球隊分別以主、客場身份和其他球隊交鋒兩次。

7、【例題】一次會議上，每兩個參加會議的人都握了一次手，有人統（總）計一共握了45次手，這次參加會議到會的人數是多少？【變式1】在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為()A.9人B.10人C.11人D.12人【變式2】祁中初三66班學生畢業時，每個同學都要給其他同學寫一份畢業留言作為紀念，全班學生共寫了930份留言.如果全班有x名學生，根據題意，列出方程為()A.=930B.=930C.x(x+1)=930D.x(x-1)=93022【變式3】一次籃球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，計劃安排15場比賽，比賽組織者應邀請_6個隊參賽.【變式4】一種電腦病毒，起

8、初有一臺感染，經過2輪感染后，將會有81臺電腦被感染。平均每臺電腦能感染多少臺電腦，第三輪感染后，會超過700臺嗎？知識點五列一元二次方程解決與傳播有關的問題可傳染人數共傳染人數第0輪1(傳染源)1第1輪xx+1第2輪x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+x(x+1)=(1x)2二總被傳染人數【例題】有一種傳染性疾病，蔓延速度極快據統汁，在人群密集的某城市里，通常情況下，每人一天能傳染給若干人，通過計算解答下面的問題：（1）現有一人患了這種疾病，開始兩天共有225人患上此病，求每天一人傳染了幾人?（2）兩天后，人們有所覺察，這樣平均一個人一天以少傳播5人的速度在遞減，求再過兩天共有多少

9、人患有此病?【變式1】有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有64人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染給多少個人？知識點六列一元二次方程解決與經濟有關的問題（1）利潤=售價-進價；（2）售價=標價X折扣;售價-進價利潤率=x100%進價總利潤=一件商品的利潤X銷售量銷售額=單價X銷售量【例題1】某百貨商場服裝柜在銷售中發現“寶樂”牌童裝每天可售出20件，每件贏利40元，經市場調查發現，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天可多售出8件.為擴大銷售量，增加贏利，減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，問：要想平均每天在銷售這種童裝上贏利1200元，那么每件童裝應降價多少元？若該商場要在銷售這種童裝上平

10、均每天所獲得的利潤最多，這種童裝應如何定價？【變式1】賓館有50間房供游客居住，當毎間房毎天定價為180元時，賓館會住滿；當毎間房毎天的定價每增加10元時，就會空閑一間房如果有游客居住，賓館需對居住的毎間房毎天支出20元的費用當房價定為多少元時，賓館當天的利潤為10890元？設房價定為x元.則有()v爲一RQA.(180+X-20)(50-)=10890B.(x-20)(50-)=108901010180 xC.X(50-)-50X20=10890D.(x+180)(50-)-50X20=10890【變式2】某商品經過兩次降價，由每件100元降至81元，則平均每次降價的百分率為10%拓展點一隊

11、伍參賽的問題例題】參加足球聯賽的每兩隊之間都要進行一場比賽，共要比賽28場，共有多少個隊參加足球聯賽？拓展點二數字問題【例題】兩個連續奇數的積是323，求這兩個數【變式1】有一個兩位數，它的兩個數字之和是8，把這個兩位數的數字交換位置后所得的數乘以原來的數就得到1855，求原來的兩位數。【變式2】有一個兩位數，十位數字比個位數字大3，而此兩位數比這兩個數字之積的二倍多5，求這個兩位數。變式3】三個連續偶數，已知最大數與最小數的平方和比中間一個數的平方大332，求這三個連續偶數.拓展點三增長率的問題例題1】某電冰箱廠每個月的產量都比上個月增長的百分數相同已知該廠今年4月份的電冰箱產量為5萬臺，6

12、月份比5月份多生產了1.2萬臺1）求該廠今年產量的月平均增長率為多少？2）預計7月份的產量為多少萬臺？【變式1】某工廠三月份的利潤為16萬元，五月份的利潤為25萬元，則平均每月增長的百分率為25%【變式2】已知某工廠計劃經過兩年的時間，把某種產品從現在的年產量100萬臺提高到121萬臺，那么每年平均增長的百分數是10%.按此年平均增長率，預計第4年該工廠的年產量應為146.41萬臺.拓展點四商品銷售問題【例題】某商場銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價5元出售，其銷售量就減少100件.如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優惠

13、，那么這種襯衫售價應定為多少元？【變式】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？拓展點五方案設計問題【例題】在一塊長16m,寬12m的矩形土地上，要建造一個花園，其余部分硬化，使花園所占面積為矩形土地面積的一半.你能給出設計方案嗎？小明的設計方案如圖1：你是怎樣想的？請看QQ群中的視頻2小明的設計也許根據小明的設計思路，應求出四周硬化小路的寬度設四周小路的寬度為xm花園的長為：，寬為：列方禾解方

14、程得：x1=，x2=.當x=時，花園的長，寬是當x=_時，花園的長是，寬是由此發現四周小路的寬度只能等于m.小亮的設計方案如圖2：根據小明的設計思路，需要求出扇形的半徑.如果設扇形半徑為xm,則四個扇形面積和為花園的面積=的面積一的面積=這兩個根都符合題列出方程：；方程的兩個根是込=，X2=小穎的設計方案如圖3：設縱橫花園的寬度均為xm：如圖3,花園的面積用含有x的代數式表示為；如果將花園設計方案改成圖4所示，此時花園的面積可表示為如果再將花園設計方案改成圖5所示，此時花園的面積可表示為你能列出方程了吧！把你的解答過程寫在下面:i設:列:解；驗拓展點六動點問題【例題】如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=8cm，動點P,Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/S的速度向B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度