1、數值分析思考題51、插值與擬合的相同點和不同點分別是什么？相同點：插值和擬合都是函數逼近或者數值逼近；都需要根據已 知數據構造函數；可使用構造的函數計算未知點函數值。不同點：插值要求函數通過所有樣本點，擬合則不要求，只要均 方差最小即可；當數據的函數形式已知時，僅需要擬合參數值。2、寫出n次多項式擬合的一般形式，奇函數和偶函數的多項式擬 合的一般形式。n次多項式擬合的一般形式：P x = a0 + a1 x + a2x2 + + anXn， 奇函數一般形式:P x =叩+弓X 3+財+產1， 偶函數攵一般形式:P x =。產2 + a2 X 4 + a2nX 2九-3、詳述你所知道的矩陣分解，

2、它們的意義如何？三角分解：將原正方矩陣分解成一個上三角形矩陣和一個下三角形矩 陣的乘積。簡化一個大矩陣的行列式值的計算過程，減少求解線性方 程組的計算量和存儲量。正交分解：將矩陣分解成一個正交陣和一個上三角形矩陣的乘積。對 矩陣進行滿秩分解，可以求解線性方程組的極小最小二乘解。4、超定(矛盾)線性方程組的最小二乘解有哪些情況？說明它與 廣義逆的關系。若rank(A)=n，超定線性方程組有唯一的最小二乘解;若rank(A)n， 超定線性方程組有無窮多個最小二乘解。超定(矛盾)線性方程組的 極小最小二乘解為x = A+b.5、給出各種正交化方法的優劣比較。GS法的列q由A的列經過反復線性組合，由于

3、舍入誤差的 影響，可能會導致產生的單位正交向量產生較大的偏差MGS法解決了這個問題，且比GS法穩定，但MGS法的列 正交性可能較差。Household變換法的運算量大于GS法、MGS法，但其計算 解更精確。(4)Givens變換的運算量一般為Household變換法的兩倍，但對于 有較多零元素的矩陣，其運算量往往大大減少。6、用Householder變換求解下列線性方程組的極小最小二乘解1124r n41235x151346X2=6145737_1568 _X1- 49 _解： 氣2 = 5,y=( 5,0,0,0,0)t,U1=x - y = x - X 261 =氣- a1 2 61 =

4、(1 - 5, 1,1,1,1)t, 規格化 , % = (1, (1 5)/4, (1 5)/4, (1 5)/4, (1 5)/4)t ,P = = 0.5528U1 U i,0.4472 0.4472 0.4472 0.4472 0.4472H = I-p u ut =0.44720.6382-0.3618-0.3618-0.36180.4472-0.36180.6382-0.3618-0.36180.4472-0.3618-0.36180.6382-0.36180.4472-0.3618-0.3618-0.36180.63822.2361 6.7082 8.9443 13.4164 1

5、3.86360.0000 -2.6180 -2.6180 -2.6180 -2.9798H(Alb)=0 -1.6180 -1.6180 -1.6180 -1.979810.0000 -0.6180 -0.6180 -0.6180 -0.97980.0000 0.3820 0.3820 0.3820 1.0202a2 =(-2.6180 -1.6180 -0.6180 0.3820 )Tu = a - | | e = ( -5.7803222 2 1-1.6180 -0.61800.3820 )T規格化 2, %=( L00000.27990.1069 -0.0661 )TP =- = 1.8

6、2792 utu2 2-0.8279 -0.5117 -0.1954 0.1208H = I -p u ut-0.5117 0.8568 -0.0547 0.0338-0.1954 -0.0547 0.9791 0.01290.1208 0.0338 0.0129 0.99201.000000000-0.8279-0.5117-0.19540.1208H =0 -0.5117 0.8568 -0.0547 0.033820 -0.1954 -0.0547 0.9791 0.012900.12080.03380.01290.99201-，-2.23616.70828.944313.416413.86360 3.1623 3.1623 3.1623 3.7948H H(A|b)=0.00000.00000.00000.0000-0.08352 10.00000.00000.00000.0000-0.25550 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.57252.2361 6.7082 8.9443 13.4164 U =0 3.1623 3.1623 3.1623QT