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文檔簡介

1、3.4 分支過程分支過程是由F.Galton于1874年在研究家族姓氏的消失時提出的. 這種模型是一類特殊的Markov鏈, 它在生物遺傳原子核的連鎖反應中都有重要應用.對于一個家族, 假設在第0代(常稱為祖先)有一個個體, 他所繁衍的第一代子女數為一隨機變量, 可能取值為0,1,2, 而每個第一代個體又再衍生子孫. 整個群體可能興旺,也可能消亡. 記X0為第0代個體數, 一般假定為1, 并記Xn為第n代后裔的個體數. Markov鏈Xn,n0就稱為分支過程. 記Zn(i)為第n代后裔中第i個個體所繁衍的后代數, 則如果我們簡化地假定各代個體具有相同的繁衍能力, 而且同一代個體繁衍是相互獨立的

2、. 也就是說,我們假定Zi, i=1,2,Xn是獨立同分布的. 不妨記此時, 可以算出Markov鏈Xn, n0的轉移概率:利用第10頁的(1.20)我們可以求出注意到第0代只有一個個體, 所以X1與Z1同分布. 利用迭代法我們可以計算出:可以看出, 的大小對于整個群體和家族的繁衍存亡至關重要. 當0有注意到因此,注: 當1時, 群體終將消失. 而當1時群體消失的概率是一個較為復雜的問題, 但是它是分支過程中令人感興趣的量.我們可以用生成函數來研究消亡概率. 記過程Xn的生成函數為n(s)=EsXn, X1的生成函數則直接記為(s), 即:其中 .由第10頁的(1.24)知其中第二個等式由數學

3、歸納法可證。記則n(0)表示單個祖先開始家族將在第n代之前消亡的概率. 我們所感興趣的整個群體終將消亡的概率是當n時n(0)的極限.當p0=1時, 家族不能發端; 而當p0=0時, 它將永不消亡, 所以一般假定0p01.假定0p00, 所以因此n(0)隨n單調上升, 故極限存在(因為有上界). 記n(0)的極限為, 則就是群體消亡的概率. 由令n得: .練習: 假定某生物群體中每個個體所繁衍下一代的個數服從參數為的Poisson分布. 試討論與群體必然消亡的關系.解:參數為的Poisson分布的生成函數為:設表示群體消亡的概率, 則當1時, (4.2)有唯一解=1, 故必然消亡;當1時, (4.2)存在解1時, 記則因此，存在

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