1、離散型隨機變量的均值與方差一、考點、熱點回顧【學習目標】.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值或期望的概念，會根據離散型隨機變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實際問題；.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念，會根據離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差，并能解決一些實際問題；【要點梳理】要點一、離散型隨機變量的期望1.定義：要點詮釋：(1)均值(期望)是隨機變量的一個重要特征數，它反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平.(2) 一般地，在有限取值離散型隨機變量 的概率分布中，令PiP2 Pn,則有1_,、1 PiP2 Pn,E(X1X2 Xn)一，所以的數學期望又稱為平均數、

2、均值。nn(3)隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位.2 .性質:E( ) E E ;若 a b(a、b是常數)，是隨機變量，則 也是隨機變量，有 E(a b) aE b；E(a b) aEb的推導過程如下：的分布列為X1X2Xiax1 bax2 bax bPPP于是 E (ax1b)p1 (ax2b) p2(a% b) r = a(xipiX2P2Xi pi)b(pi P2Pi )=aE b E(a b) aE b。要點二：離散型隨機變量的方差與標準差.一組數據的方差的概念：已知一組數據Xi, X2,，Xn，它們的平均值為 X,那么各數據與 X的差的平方的平均數,9- 2 2S (X1

3、x) +(x2X)+ (Xnx)叫做這組數據的萬差。n.離散型隨機變量的方差：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為XiX2XPpip2pi則稱D = (Xi E )2 pi + (X2 E )2 p2 + (Xn E )2 pi +稱為隨機變量的方差 式中的E是隨機變量 的期望.D的算術平方根D叫做隨機變量 的標準差，記作.要點詮釋：隨機變量 的方差的定義與一組數據的方差的定義式是相同的；隨機變量 的方差、標準差也是隨機變量 E的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度；方差(標準差)越小，隨機變量的取值就越穩定(越靠近平均值).標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實

4、際問題中應用更廣泛。.期望和方差的關系：22D E( 2) (E )24.方差的性質：若 ab(a、b是常數)， 是隨機變量，則 也是隨機變量， D D(a b) a2D ；要點三：常見分布的期望與方差i、二點分布：若離散型隨機變量服從參數為p的二點分布，則期望E p方差 D p(1 p).證明：.P( 0)q,P( 1) p, 0 p 1 ,p q2、2D (0 p)2二項分布:若離散型隨機變量2q (1 p) p p(1 p).服從參數為n, p的二項分布，即B(n, P),則期望E nP方差 D np(1- p)期望公式證明：k kn k k k n k- P( k) CnP (1 p)

5、 CnP q ，k k n k k Cnp q0 0 n11 n 122 n 2 E 0 Cn p q 1 Cnpq2CnPqn (n 1)!k!(n k)! (k 1)!(n 1) (k 1)!00 n 111 n 2k 1 k 1 Enp( Cn iP q +Cn 1 p q +-+ Cn 1 p q(n 1)(k1) + ,+C；1 0、q )np(p q)n 1 np.3、幾何分布：獨立重復試驗中，若事件A在每一次試驗中發生的概率都為p ,事彳A第一次發生時所做的試驗次數是隨機變量，且P(k) (1 p)kp, k0,1,2,3，n,，稱離散型隨機變量服從幾何分布，記作： P(k)g(

6、k, P)。若離散型隨機變量服從幾何分布，且- P( k) g(k, P),則u1期望E P方差D1- P2P要點詮釋：隨機變量是否服從二項分布或者幾何分布，要從取值和相應概率兩個角度去驗證。4、超幾何分布：若離散型隨機變量 服從參數為N,M , n的超幾何分布，則期望E( ) nM N要點四：離散型隨機變量的期望與方差的求法及應用1、求離散型隨機變量的期望、方差、標準差的基本步驟:理解的意義，寫出可能取的全部值求 取各個值的概率，寫出分布列；XiX2XPPiP2Pi根據分布列，由期望、方差的定義求出 E 、D TOC o 1-5 h z EXiPiX2P2XnPn2XnE Pn HYPERL

7、INK l bookmark123 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document DXiEPiX2EP2注意：常見分布列的期望和方差,不必寫出分布列，直接用公式計算即可.2.離散型隨機變量的期望與方差的實際意義及應用離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平；隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度。方差越大數據波動越大。對于兩個隨機變量 1和2 ,當需要了解他們的平均水平時，可比較E 1和E 2的大小。E i和E 2相等或很接近，當需要進一步了解他們的穩定性或者集中程度時

8、，比較D 1和D 2,方差值大時，則表明 比匕較離散，反之，則表明E比較集中.品種的優劣、儀器的好壞、預報的準確與否、 武器的性能等很多指標都與這兩個特征數(數學期望、方差)有關.二、典型例題類型一、離散型隨機變量的期望例1.已知隨機變量 X的分布列為:X-2-1012p111m143520試求：(1 )E (X) ; (2)若 y= 2X-3,求 E(Y).【思路點撥】分布列中含有字母 m,應先根據分布列的性質，求出 m的值，再利用均值的定義求解;對于(2),可直接套用公式，也可以先寫出Y的分布列，再求 E (Y).【解析】(1)由隨機變量分布列的性質，得1201E(X) ( 2) 4611

9、(1) - 0 - 1331201730(2)解法一：由公式 E(aX+b) =aE(X)+ b,得E(Y) E(2X 3) 2E(X) 3 21762 HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 33015解法二：由于 Y = 2 X-3，所以y的分布如下X一 7-5-311P11111435620621511111E(Y) ( 7) 7 ( 5) 3 ( 3) 5 ( 1)6 1 元【總結升華】求期望的關鍵是求出分布列，只要隨機變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解 對于aX +b型隨機變量的期望，可以利用期望的性質求解，當然也可以求出a X+

10、b的分布列，再用定義求解 舉一反三：【變式1】已知某射手射擊所得環數的分布列如下:4567891 0(P .020.0 40 .06.09I.2 80).29(.22求E .【答案】E 4 P( 4) 5 P(5) 6 P( 6) 7 P( 7)8 P(8) 9 P(9) 10 P( 10)40.02 5 0.046 0.067 0.09 8 0.289 0.2910 0.228.32 o【變式2】已知隨機變量 E的分布列為-2-10123P112mn11216112其中m, nC 0,1)，且E(0 1,則m, n的值分別為6【答案】1,-3 4由 pi+p2+- - +p6= 1,得 m+

11、 n = ,12由 E( E =一,得-m =一,626 . m= - n=.34【變式3】隨機變量E的分布列為：024P0 . 40. 30.3則E( 5 H 4)等于()A.13B . 11C. 2.2?D .2. 3【答案】A由已知得E(衿0X0 .4+2 0.3+4 X0.3=1. 8,E(5 H4) =5E( E +4 =5X1 .8+4=13.【變式4】設離散型隨機變量的可能取值為1,2, 3,4,且P( k) ak b (k 1,2,3,4 ),E 3,則 a b ;【答案】0.1 ;由分布列的概率和為1,有(a b) (2 a b) (3a b) (4a b) 1,又 E 3,

12、即 1 (a b) 2 (2a b) 3 (3a b) 4 (4a b) 3,解得 a 0.1,b 0,故a b 0.1。例2.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取 2個球，每取到一個黑球記。分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記 2分，用 表示得分數。求：的概率分布列：的數學期望。【思路點撥】本題求取各個值的概率，其類型顯然是古典概型。【解析】依題意的取值為0、 1、2、3、4=0時，取得2黑球， P(0)=1時，取得1黑球1白球，P(1)c4 c31C；3=2時，取2白球或1紅球1黑球,P(c2 c2 c411C；C；36=3時，取1白球1紅球,. P(3)c3c2c；=4時，

13、取2紅球,P(C 24)冷4) C2C9136分布列為期望E【總結升華】01234p16131136161361111111401234.63366369求離散型隨機變量均值的關鍵在于列出概率分布表舉一反三：【變式1】 隨機的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數E的數學期望.【答案】拋擲骰子所得點數E的概率分布為123456P16161616166所以E 1 X + 2X + 3 X + 4X +5 X + 6*1 =(1 + 2 +3 + 4+5 +6) J = 3.5.6666666拋擲骰子所得點數 E的數學期望，就是 E的所有可能取值的平均值.【變式2】甲、乙、丙、丁獨立地破譯一個密碼，其中甲

14、的成功率是 1 ,乙、丙、丁的成功率都是2(1 )若破譯密碼成功的人數為X ，求X的概率分布；(2 )求破譯密碼成功人數的數學期望 .【答案】(1)破譯密碼成功的人數 X的可能取值為0, 1,2, 3,4.則X的概率分布表為X01234P8201871545454545412P(X 0) 238541P(X 1) 2c32054P(X2)c318541_2P(X 3) 2 C；541P(X 4) 54 TOC o 1-5 h z , 八 8, 20八 18八 7181,(2)由(1)知 E(X) 0 1 2 3 4 1.5 ,545454545454即破譯密碼成功的人數的數學期望為1.5.【變

15、式3】交5元錢，可以參加一次抽獎，已知一袋中有同樣大小的球10個淇中有8個標有1元錢,2個標有5元錢，抽獎者只能從中任取2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數之和.求抽獎者獲利的數學期望.【答案】抽到的2個球上的錢數之和E是個隨機變量，其中E取每一個值時所代表的隨機事件的概率是容易獲得的，本題的目標是求參加抽獎的人獲利的數學期望，由 E與 的關系為 =E 5,利用公式E （尸E （決5可獲解答.設E為抽到的2球錢數之和，則E的取值如下七=0由到2個1元），E= 6 （抽到1個1元,1個5元）,E =1需由到2個5元）.所以，由題意得P（2)C 28Cw 4516一,P(4510)c2Cw45c 2

16、8 c2645161045118455又設為抽獎者獲利的可能值，則=&5,所以抽獎者獲利的期望為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark254 o Current Document 187E( ) E( ) 551.4.55例3. 甲、乙兩人各進行 3次射擊，甲每次擊中目標的概率為 1 ,乙每次擊中目標的概率為 2,記23甲擊中目標的次數為X ，乙擊中目標的次數為 Y,（1）求X的概率分布；（2）求X和Y的數學期望所以X的概率分布如下表:X0123P18383818【思路點撥】甲、乙擊中目標的次數均服從二項分布【解析】(1) P(X0)C0P(X1)c3P(X2)

17、P(X3)C；(2)由(1)知 E(X) 01311.5, 8233 E(X) 31.5,E(Y)2【總結升華】在確定隨機變量服從特殊分布以后，可直接運用公式求其均值 舉一反三：【變式1】 有一批數量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續取出 20件商品，求抽出次品數的期望?！敬鸢浮吭O抽出次品數為，因為被抽商品數量相當大，抽20件商品可以看作20次獨立重復試驗,所以 B(20,1%),所以 E np 20 1% 0.2【變式2】一次單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得 5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分 1 00分.學生甲選對任

18、一題的概率為0.9,學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望?！敬鸢浮吭O學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數分別是則 B(20,0. 9), B(20,0.25),E 20 0.9 18, E 20 0.25 5由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5.所以，他們在測驗中的成績的期望分別是:E(5 ) 5E( ) 5 18 90, E(5 ) 5E( ) 5 5 25 類型二、離散型隨機變量的方差11234567P17171717171717例4.已知離散型隨機變量1的概率分布為離散型隨機變量2的概率分布

19、為23. 73.83. 944. 14. 24.3P17171717171717求這兩個隨機變量期望、均方差與標準差 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 111【解析】E 11274；777-212121D 1(1 4)2(2 4)2(7 4)2 77-14.3 4;7711E 2 3.7 3.8 771. D-12.D 2=0.0 4 ,2VDT0.2.【總結升華】本題中的1和2都以相等的概率取各個不同的值 ，但1的取值較為分散，2的取值較為集中.E 1 E 24,D 14, D 20.04,方差比較清楚地指出了2比1取值更集中.1 =-101

20、P111=236【變式1】已知隨機變量 E的分布列如下表：0 .2，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差舉一反三：求e（ E）, d（乳（2）設刀=2 E錨E111【答案】(1) E( ) x1Pl x2 P2 x3P3 ( 1) - 0 - 1 - 236_2X3 E( ) p3(2)E( ) 2E( ) 3 I，D( ) 4D()209X12nP1 n1 n1n的期望E (X),再利用方差的定義求之.【變式2】設隨機變量X的概率分布為本題考查方差的求法.可由分布列先求出 Xo求 D(X)。【答案】也可直接利用公式D解法一：(X) = E(X2)-E(X) 2來解.E(X) 1(1n)

21、_2_2D( ) X1 E( ) P1 X2 E( ) P2n(n 1)2 D(X)1 (12 n22n2)(n1)(1 2n)(n1)24n2 112解法二：由解法一可求得E(X)又 E(X2) 12 1 22 nn 1 o 221n -12_22-(12n )nn(n 1)(2n 1)_2_2- D(X) E(X ) E(X)(n 1)(2n 1)(n41)22n122 0件商品，求抽出次品數的例5.有一批數量很大的商品的次品率為1 %,從中任意地連續取出期望與方差。，所以【思路點撥】由于產品數量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響非常小可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的，

22、可以看作20次獨立重復試驗.利用二項分布的公式解答?！窘馕觥吭O抽出次品數為，因為被抽商品數量相當大，抽2 0件商品可以看作 20次獨立重復試驗，B(20,1%),所以Enp 20 1%0.2np(1 p) 201% (1 1%) 0.198【總結升華】.解答本題的關鍵是理解清楚：抽20件商品可以看作 20次獨立重復試驗，即 B(20,1%),從而可用公式：Enp, D np(1 p)直接進行計算；.以下抽查問題可以看作獨立重復試驗：(1)涉及產品數量很大，而且抽查次數又相對較少的產品抽查問題；(2)如果抽樣采用有放回地從小數量產品中抽取產品，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨

23、立的事件；但從小數量產品中任意抽取產品(即無放回地抽取)每次抽樣后次品率將會發生變化，即各次抽樣是不獨立的，不能看作獨立重復試驗。 舉一反三：【變式】若某批產品共 100件，其中有2 0件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數的期望、方差?！敬鸢浮坑深}知一次取出二等品的概率為0.2,有放回地抽取3件，可以看作3次獨立重復試驗，即取出二等品的件數 B(3,0.2),所以 E np 3 0.2 0.6,D np(1 p) 3 0.2 (1 0.2) 0.48.【高清課堂：離散型隨機變量的均值與方差40 8 73 7例題1】【變式2】有10件產品，其中3件是次品.從中任取2件，若抽到的次品

24、數為 X,求X的分布列，期望和 方差.【答案】10件產品中有3件次品.從中任取兩件次品數X可 能取值為OJrZ=d)=4=理心】)=等q發星裊點r Vom*的分布列為X012F715715115X的數學期望是司司=口乂工41: -1 + (2 -1)1 X 2 =515515515 75類型四、離散型隨機變量的期望和方差的應用例6. 甲、乙兩種水稻在相同條件下各種植100畝，收獲的情況如下:甲：由產量3003 2 033 03 4 0由數20254015乙:由產量3103 203303 40由數30204 01 0試評價哪種水稻的質量較好【思路點撥】本題是期望與方差的綜合應用問題.要比較甲、乙

25、兩種水稻的質量，需求出其平均畝產量并對其穩定情況進行比較 .題中只給出了畝產量與畝數關系，所以應先列出甲、乙兩種水稻的 畝產量的概率分布，再求其期望與方差.【解析】 設甲、乙兩種水稻的畝產量分別為X和丫貝UP(X 300)201P(X 330)且 P(丫 310)1004010030100P(X 52, p(x53P(Y 10320)340)320)251001510020100143o201一 ,540 P(Y 330)100 1 E(X) 300 - 532 , P(Y 340) 512320330 10100E(Y) 3103201041 33053405234051O10323,201

26、323 ,10即 E ( X)=E(Y),這表明兩種水稻的平均畝產量相同，進一步求各自的方差D(X) (3102323)D(Y) (3102323)1(32053一 (320102323)2323)1(33041一 (33052323)2323)(34052一 (3405，得323)2 2021323)10171 ,101。即V(X) V(Y),這說明乙種水稻的產量較為穩定，因此乙種水稻質量較好【總結升華】期望(均值)僅體現了隨機變量取值的平均水平.但如果兩個隨機變量的均值相等，還需比較其方差，方差大說明隨機變量的取值較分散(波動大工方差小說明取值較集中、穩定 .當我們希望實際的平均水平比較理

27、想時，則先求它們的均值，但不要誤認為均值相等時，它們都),一樣好，這時，還應看它們相對于均值的偏離程度，也就是看哪一個相對穩定(即比較方差的大小 相對穩定者就更好.如果我們希望比較穩定時，這時應先考慮方差，再考慮均值是否接近即可.舉一反三：【變式1】甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等.而兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件次數的概率分布分別為【答案】甲保護區的違規次數X1的數學期望和方差分別為：E (X 1)= 0 0.3+ 1 X0 .3+2 私 2+3X0 , 2=1.3;D(X i)= (0-1.3) 20.3+( 1-1.3) 2 X0.3

28、+( 2 - 1 .3)2X0.2+(3-1. 3)2X0 .2=1.21 . 乙保護區的違規次數置的數學期望和方差分別為：E (X2)=0X0. 1+1 X0.5+2 0.4= 1.3;229D(X2)= ( 0 1.3)X0 .1+( 1-1.3) X0.5+(21.3)2X0.4=0.41.因為E(X。=E(X2),D(Xi) D(X 2)，所以兩個保護區內每季度平均發生的違規事件次數是相同 的，但乙保護區內發生的違規事件次數更集中和穩定，而甲保護區內發生的違規事件次數相對分散，波動較大.【變式2】根據氣象預報，某地區近期有小洪水的概率為0 . 25,有大洪水的概率為 0.01,該地區某

29、工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失6 000 0元，遇到小洪水時要損失 1000 0元.為保護設 備，有以下3種方案：方案1:運走設備，搬運費為3800元：方案2:建保護圍墻，建設費為20 0 0元，但圍墻只能防小洪水；方案3:不采取措施，希望不發生洪水.試比較哪一種方案好.【答案】要比較哪一種方案好，只要把三種方案的損失的數學期望求出，哪一個小，哪一個方案就好.用Xi、X2、X 3分別表示三種方案的損失.采用方案1 :無論有無洪水，都損失38 0 0元，即X=3 8 0 0 .采用方案2:遇到大洪水時，損失2 0 0 0 +6000 0 = 62000 (元)；沒有大洪水時，損失2 0

30、00元， 即62000，有大洪水X22000，無大洪水60000,有大洪水同樣，采用方案 3:有X310000，有小洪水.0,無洪水于是，E(X 1)=380 0 ,E (X2)= 6 2 0 00 P (X2=6 2 000)+2000 P (X 2=20 0 0)=620 0 0X0.01+2000 (1-0.01) = 2 600,E (X3)=6 0 000 XP (X3=6 0 00 0)+ 1 0000 汨(X3=10000) + 0XP (X3= 0 )=60 0 00 X0.01 + 1 00 0 0X0.2 5 =3 1 00 .采用方案2的平均損失最小，所以方案2好.【高清

31、課堂：離散型隨機變量的均值與方差4 08737例題4】【變式3】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示一次購物量1至4件5至8件9至1 2件13 至 1 6件1 7件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11 . 522.53已知這1 00位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.(I)確定x,y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；&%中國教育出版網*#(n )若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不.超過.2. 5分鐘的概率.(注

32、：將頻率視為概率)【解析】(1)由已知，得25 y 10 55, x y 35,所以x 15, y 20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所以收集的10 0位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量隨機樣本,將頻率視為概率得P(X1)P(X2.5)1510020100,P(X 201 -,P(X 5301.5)100103)1003 -251 HYPERLINK l bookmark190 o Current Document 一,p(X 2),10100 41.10X的分布為X11 .522.53P3203101415110X的數學期望為3E(X) 1 面1.53c 1122

33、.5 -1045131.9.10(n)記A為事件“該顧客結算前的等候時間不超過2. 5分鐘”,Xi(i1,2)為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則P(A) P(X1 1且*2 1) P(X1 1且*2 1.5) P(X11.5且 X2 1).由于顧客的結算相互獨立，且X1, X2的分布列都與x的分布列相同，所以P(A) P(%1)P(X21) P(X11) P(X2 1.5)P(X1 1.5) P(X2 1)3203203320 103310 209809故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為一80三、課堂練習一、選擇題1 .設隨機變量 X的分布列如下表所示且 E(X) = 1.6,

34、則ab=()X0123P0 . 1ab0 .12(A)E =p,D 9pqD. -0. 4 ? 2 .已知E的分布列為E Fq, D e q23.已知隨機變量 X的分布列為:A.6B .9C. 3(B) Ep, DE=E 乒1 一、1P(X=k)=,3一.2p, D E= p- pk = 1、2、3,則 D(3 X+ 5)=()元，生產一件乙等品可獲利30元,的概率分別為0.6、0. 3和0.1,A. 3 6元？B. 3 7 元D. 44?. 一臺機器生產某種產品， 如果生產一件甲等品可獲利50生產一件次品，要貝t 20元,已知這臺機器生產甲等品、乙等品和次品則這臺機器每生產一件產品，平均預期

35、可獲得（）0.3 8 元D .39 元5.一牧場有10頭牛,因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發病率為0. 為馴DE等于（）02.設發病的牛的頭數A.0.2B. 0.8C. 0 .1966.甲、乙兩臺自動車床生產同種標準件，X表示甲機床生產1 000件產品中白次品數，Y表示乙機床生產1 00。件產品中的次品數，經過一段時間的考查,X、Y的分布列分別為B.乙比甲質量好?D.無法判定7.某種種子每粒發芽的概率都為0.9,現播種了 10 0 0粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種X0123p0. 70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據此判斷（）A.甲比乙質量好C .甲與乙質量相

36、同粒，補種的種子數記為 X,則X的均值為（）A.1 0 0B. 200 C .3 00D.4008.甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表：甲的成績環數78910頻數5555乙的成績環數78910頻數6446丙的成績環數78910頻數4664則有（）Si, S2, S3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差A. S3 s 1S2 B . S2S1 S3C. S 1 S2S3D. S2S3S1二、填空題9.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量&、溟，若E& =E3, DD算,則自動包裝機_量較好.0 .隨機變量 E的分布列如下：101Pabc1

37、其中a, b,c成等差數列 若E(),則D(a的值是3.節日期間，某種鮮花進貨價是每束2. 5元銷售價是每束5元;節后賣不出的鮮花以每束1.6元處理,根據前五年銷售情況預測，節日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的概率分布：X2 0 03 004 005 0 0P0.200.3 50.300. 1 5若進這種鮮花500束則期望利潤是 元.某射手有5發子彈，射擊一次，命中率是0 .9 ,如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用盡為止設損耗子彈數為 X,則E(X)=, D(X)=.(精確到0.01)三、解答題.已知盒中有1 0個燈泡 淇中8個正品，2個次品需要從中取出2個正品，每次取出1個，取出后

38、 不放回，直到取出2個正品為止設E為取出的次數，求E的分布列及EE.設在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取一個，并且取出后不再放回若以X和V分別表示取出次品和正品的個數.(1)求X的概率分布、期望值及方差 ；(2)求Y的概率分布、期望值及方差.有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設，為了對重點建設負責，政府到兩建材廠抽樣檢查 他們從中各取等量的樣品：檢查它們的抗拉強度指數如下：七1101201 2 51 3 013 5P0. 10.20.40 .10 .2刀1 0 01151251 3 01 45P0 . 10. 20.40.10.2其中E和刀分別表示甲、乙兩廠材料

39、的抗拉強度，在要求抗拉強度不低于12 0的條件下，比較甲、乙兩廠材料哪一種穩定性較好.【答案與解析】.【答案】 C【解析】 由 0. 1 + a+b+ 0 . 1=1 ,得 a+ b = 0. 8，？又由 E(X) =0X0. 1 + 1 X a+ 2 X 計 3X0. 1 = 1.6,得 a+2 b =1.3,？由解得 a=O.3,b=0. 5 ,a-b= 0. 2 ,故應選 C.【答案】D【解析】 B ( 1 ,q), p+q=1.【答案】 A?【解析】E(X)= (1+2+3)1=2 ,3D (X) = (1 2 )2+(2 2)2+( 32)2 X1 =23,? . D(3X+5) =

40、 9 D (X) =6.3.【答案】B【解析】由題意知每生產一件產品，平均預期可獲利0.6X5*0. 3X30 +0.1 X(-20) = 37(元).【答案】C【解析】根據二項分布的方差公式：DE=1 0 X0. 02X0.98= 0.196.【答案】A【解析】EX= 0 .7 X) + 1X0 .1+2 X 0.1+3 X01 =0.6 ,EY = 0XO. 5 + 1 X 0.3 2X02+3X0=) .7,因為EXS1S3。9.【答案】乙【解析】E3=E2說明甲、乙兩機包裝的重量的平均水平一樣.D3D泛說明甲機包裝重量的差別大,不穩定.，乙機質量好.1 0 .【答案】59【解析】依隨機

41、變量的分布列知 a+b+c=1,依a, b, c成等差數列知2 b=a+c則a_ .、1 一1又 E()一,則 a c 。 HYPERLINK l bookmark153 o Current Document 33-111斛得 a , b- ,c一。632故D()22/ 11 c 11 HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 10 -363311.【答案】7 0 6【解析】節日期間鮮花預售量為E(X) =200X 0.2 0 + 3 0 0X0. 3 5+ 4 00X0.30+5 0 0X0.15=40+10 5 + 1 2 0 +75=340 ,

42、則期望的利潤 Y=5X+1 . 6(50 0 X) -5 0 0X2.5= 3 .4X-450,E (Y) =3. 4 E (X)4 5 0 = 3.4 X 340Y 5 0=70 6。故期望利潤為70 6元。12.【答案】1 .1 10.12【解析】隨機變量 X服從超幾何分布，根據公式：期望 EX 1.方差DX 上小可求。PP1 3 .【解析】每次取1件產品，至少需2次，即E最小為2,有2件次品，當前2次取得的都是次品時, 以E可以取2,3,4 ,F4,所P(F2)87 28X-=;10 9 45c / 、_ 8/ , 2 * / _ 1428P (13 )X- X + X X; P (4)

43、=1 一 1445 15234P28141454515 E的分布列如下E 乒2 XP ( e=2) +3XP (衛=3)+ 4 XP (乒4)= 一914.【解析】（1）X的可能取值為0, 1, 2。 C0C3若X=0，表示沒有取出次品淇概率為P(X 0)C；2611，cJcA同理有P(X 1) CCC；2,P(X 2)22C:G1。Cl321o22X012P_6911122221- X的概率分布為E(X) 061191 2212 122D(X)121922132222_9_91588 88 44(2)Y的可能取值為1,2 ,3,顯然 X +Y= 3 。P(Y1) P(XP(Y3) P(X12

44、)， P(Y 2)2260) O11P(X1) 922Y123P1229226111- Y的概率分布為15 o- E(Y)E(3 X) 3E(X) 3Y=-X+3,- V(Y)(21) V(X)4415.【解析】0 xo .1+120X0 .2+125X0.4 +13 0 X0.1 + 135E(r)= 1 0 0X0 .1 + 1 1 5X0 .2+ 1 2 5 X0.4 + 1 30 X 0.1+145D (。=0.1 X(L 1 0 -125) 2+0. 2X (12 0-(1 3 5 -12 5 ) 2=50,125) 2+ 0 .4X( 1 25D( = 0. 1 X ( 1 00-

45、 1 2 5 )2+0. 2X ( 115 - 1 2 5) 2+ 0. 4.2=125,：0.2=1 , 2_ 2_1 2 5 ) +0.1 X (130-1 2 5) +0.2X (125- 1 25) 2+0. 1 X (130-125)2+0.2 X (14 125) 2=1 6 5 ,由于E ( ?=E(城，而D ( 9 DE 2,則自動包裝機 的質量較好.某射手有5發子彈，射擊一次，命中率是0.9,如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用盡為止，設損耗子彈數為 X,則E(X)= ,D(X) =.(精確到0.01)1 2.某保險公司新開設了一項保險業務，若在一年內事件 E發生，該公司要賠償 a元，設一年內事件E發生的概率為p,為使公司收益的期望值等于a的1 0%,公司應要求投保人交的保險金為 元.三、解答題.一袋中裝有6只球，編號為1, 2,3, 4,5, 6,在袋中同時取3只，求三只球中的最大號碼E的數學期望.某批產品的合格率為 98%檢驗員從中有放回地隨機抽取100件進行檢驗.(1)抽出的1 0 0件產品中平均有多少件正品 ？(2)求