1、PAGE PAGE 782014屆高三數學研究性學習系列專題（思維提升能力拓展）PAGE PAGE 78 專題 集合、常用邏輯用語中相關問題的再研究 學習是一趟旅程，教師充當的是導游角色。在旅程開始前，何導游先介紹一下本次旅程我們要參觀的景點（相當于認知地圖Cognition-map），游覽前要對我們本次參觀的景點做到心中有數，游覽完本專題后回頭審查這份認知地圖，看看能否對此次旅程的所有景點有較深刻的印象，如果能做到這一點，恭喜你，我們不虛此行！ 學習完本專題，你應該要掌握下列問題的處理方法？1. 整數型（整除型）問題、不定方程問題；2. 單參數、雙參數不等式恒成立（有解）問題；3. “條件”

2、處理的優化方法；4. 兩組數列元素所成集合的交并集合的元素問題；5. 數列中隔項成等差（等比）數列問題；6. 復合函數的零點問題研究.【易錯題】1.（教L1例2）用列舉法表示 2.（教L2基7）集合，若，則實數的取值范圍是_ 3.（教L2例3）已知集合，滿足且，則實數 4.（2011屆高三蘇州期末考試19題改編）不等式的解集為_ 5.（教L3基6改編）命題“”的否定為_6.（教L3基8改編）函數為奇函數，則實數的取值集合為_ 7.（同心圓夢3）滿足的集合共_組；滿足集合關系的集合共有_組8.（三角形中的充要關系的判斷）在中，是的_條件；在中，是的_條件；在中，是為銳角三角形的_條件【專題研究、

3、方法梳理】專題1：整數型（整除性）問題研究類型1：方程型的整數型（整除性）問題引例1（理科做）：已知二項式，其中，且，在其二項展開式中，若存在連續三項的二項式系數成等差數列，問這樣的n共有多少個？引例2：已知，問是否存在正整數m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由？類型2：不等型的整數型（整除性）問題引例3：已知數列的通項公式為，是其前n項的和，問是否存在正整數，使得成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數對；若不存在，請說明理由.練習：1.已知等差數列的公差d不為0，等比數列的公比q為小于1的正有理數。若，且是正整數，則q等于 _2. m

4、N，若函數存在整數零點，則m的取值集合為 _3. 函數中，為負整數，則使函數至少有一個整數零點的所有的值的和為_4. 設均為大于的自然數，函數，若存在實數使得，則觸題生情：求函數的值域.（有幾種方法？哪種方法能體現本題的原型？）問題源頭分析：不定方程問題.【高考試題背景探源】（2012年江蘇20）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：（1）設，求證：數列是等差數列；（2）設，且是等比數列，求和的值5. 各項均為正偶數的數列a1，a2，a3，a4中前三項依次成公差為d（d0）的等差數列，后三項依次成公比為q的等比數列. 若，則q的所有可能的值構成的集合為 _ 專題2：集合與不等式恒成立（有解）的問題

5、研究引例：已知集合，集合（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍；總結：不等式恒成立問題的相關轉換策略，請分析下列恒成立的等價條件：1. =，其中ab0，有對一切xR恒成立；2. 函數，對任意都有成立；3. 函數（），若在區間上是減函數，且對任意的，總有；4. 已知函數，若存在，使得；5. 已知，若對，；6. 函數，若對任意的，總存在，使成立；7. 上題條件改為“若存在，總存在，使成立”呢？8. 函數，若對于任意的，均存在以為三邊長的三角形.練習：已知函數定義在區間a, b上，設“”為函數在集合D上最小值，“”為函數在集合D上最大值.設，()；，()若存在最小正整數k，使得對任意

6、的成立，則稱函數為區間上的“第k類壓縮函數”（）若函數，試寫出、的解析式；（）若m0，函數是上“第3類壓縮函數”，求實數m的取值范圍專題3：一類集合交集非空問題研究引例：（教L2例4）集合，若，則實數的取值范圍是_ 變式1：（2011年江蘇14）設集合，若，實數范圍是_變式2：設, 若 則實數m的取值范圍是_.專題4：兩組數列元素所成集合的交并集合的元素問題研究引例1：兩個集合和都各有100個元素，且每個集合中元素從小到大都組成等差數列，則集合中元素的最大值為_引例2：設數列an的通項公式為為數列bn的通項公式為bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*將集合AB中的元素從小到大依次

7、排列，構成數列c1，c2，c3，則cn的通項公式為_專題5：數列隔項成等差（等比）數列問題研究引例1：（教L4例2）已知數列滿足，求證：數列為等差數列的充要條件是拓展：若數列為公差為的等差數列，試探究數列為等差數列的充要條件，并加以證明.引例2：已知正項數列滿足，求證：數列為等比數列的充要條件是.拓展：若正項數列滿足：數列為公比為的等比數列，試探究數列為等比數列的充要條件，并加以證明.練習：數列滿足，則的前項和為_；專題6：復合函數的零點問題研究引例1：（教L4例4）已知函數，集合，. 若為單元素集，試求的值.引例2：已知，函數，如果函數與函數有相同的零點，試求實數的取值范圍.【高考試題背景探

8、源】（2012年江蘇高考）已知a，b是實數，1和是函數的兩個極值點（1）求a和b的值；（2）設函數的導函數，求的極值點；（3）設，其中，求函數的零點個數練習： 1. 函數方程有7個根的充要條件是_2. 已知函數，關于的方程，給出下列四個命題： 存在實數，使得方程恰有2個不同的實根； 存在實數，使得方程恰有4個不同的實根； 存在實數，使得方程恰有5個不同的實根； 存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.其中真命題的序號為_3. （2007年江蘇高考20）已知是不全為零的實數，函數，方程f（x）=0有實根，且f（x）=0的實數根都是g（f（x）=0的根，反之，g（f（x）=0的實數根都是f（x）=0

9、的根.（1）求的值；（2）若a=0，求的取值范圍. 專題 函數中相關問題的再研究 本專題的認知地圖，游覽完本景點，你應該能夠處理下列問題：1. 含參數的三次函數的最值問題及討論三層次問題2. 簡單的復合函數、含分式的復合函數、含根式的復合函數、多元變量函數的值域和最值問題；3. 恒成立問題中參數范圍的局部縮小策略4. 函數型方程（不等式）常見求解策略5. 常見的八類非基本初等函數的問題研究八類函數分別是：尖底、平底型折線函數、型函數、牛頓三叉函數、可化為二次函數的絕對值型的復合函數、對數與絕對值函數的復合函數、指數與絕對值函數的復合函數、對數與雙曲線型函數的復合函數、對數與二次函數的復合函數6

10、. 二次函數的零點分布問題、最值問題7. 高中數學中具有將指數下移功能的運算方式問題8. 函數與方程有三種等價語言的轉化問題【易錯題】1.（教L6練7）已知函數的定義域為，值域為，則的定義域為_；值域為_ 2.（教L6練8）已知函數的圖像與的圖像關于點對稱，則的解析式為_ 3.（教L7基8）函數的值域為_；函數的值域為_；函數（）的值域為_；的值域是_4.（教L8基6改編）函數的單調增區間為_已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是_ 5.（教L9例3）設為函數的對稱中心，則必有恒等式_根據上述結論，寫出函數的一個對稱中心為_6.（雙對稱性問題）已知定義在上的奇函數滿足，且在區間上是增函數

11、.若方程在區間上有四個不同的根，則7.（教L9練5）已知函數若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是_ 變式1：已知數列是單調遞增數列，且通項公式為則實數的取值范圍是_ 變式2：函數f(x)=在R不是單調函數，則實數的取值范圍是 _ 變式3：函數,其中. 若對任意的非零實數,存在唯一的非零實數,使得成立,則的取值范圍為_變式4：已知函數f(x)=，無論t取何值，函數f(x)在區間(-，+)總是不單調則a的取值范圍是 8.（教L12例3）已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是_ 9. （教L14基3）已知函數是定義在上的單調函數，若，則函數的零點個數為_ 10. 抽象函數雖然抽象，但總能從我

12、們所學的基本初等函數中找到一個具體函數支撐抽象性質，請各找出一個滿足下列條件的基本初等函數：（1）_；（2）_11. （教L16練4）已知偶函數滿足，當時，則 12.求的最小值為_（注重對結構的認知）拓展1：已知滿足則的最大值為_拓展2：設為實數，且滿足關系式，則【專題研究、方法梳理】專題1：含參數的三次函數的最值問題及討論三層次研究引例1：（教L6練9）函數的圖像上有兩點，且軸，點，其中，（1）試寫出用點的橫坐標表示面積的函數解析式；（2）記的最大值為求練習：已知函數，且試用含有的式子表示；（2）求的單調區間專題2：簡單的復合、含分式的復合、含根式的復合、多元變量函數的值域和最值問題第I類：

13、簡單的復合函數引例1：；第II類：帶分式的復合函數（換元、部分分式法、反解（判別式法）、公式法）引例2：直接寫出函數的值域為_，曲線的對稱中心為_；若添加條件，則值域為_；根據以上結論直接寫出函數的值域：；引例3：求函數的值域 變式：求函數的值域變式：求函數（）的值域引例4：求函數的值域第III類：帶根式的復合函數引例5：求函數的值域；思考：根式函數的值域如何研究？引例5：求函數的值域；變式1：求函數的值域；變式2：求函數的值域；變式3：求函數的值域；變式4：求函數的值域；思考：一般地，求函數（其中）的值域如何研究？第IV類：構造法求函數的值域問題引例6：求函數的值域是_探究拓展：多元函數的最

14、值問題研究1.設實數，若不等式對任意都成立，則的最小值為 _2.已知點到原點的距離為1，則的最大值為_3.，對于任意實數，的最大值為_4.已知關于的實系數一元二次不等式的解集為，則的最小值是 _專題3：恒成立問題中參數范圍的局部縮小策略引例1：（L7例4）若函數的定義域與值域均為區間（），求實數的取值范圍.引例2：已知函數，其中是自然數的底數，.若在上是單調增函數，則的取值范圍為_練習:1. 設aR，若x 0時均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，則a=_2. 對于總有成立，則= 3. 設f(x)奇函數，當時， f(x)2xx 2，若函數f(x)(xa，b)的值域為 eq f(1,b)，

15、eq f(1,a)，則b的最小值為_ ，實數的取值集合為_ 專題4：函數型方程（不等式）的常見求解策略 引例1：（天津高考）已知函數，若，則實數的取值范圍是_ 引例2：實數，函數，若，則= _練習：1.函數f(x)= eq blc(aal(x2+1，x0,1 ，xf(2x)的x的范圍是_ 變式：函數則滿足不等式的的范圍是_2.已知，求滿足的所有實數a專題5：八類常見非基本初等函數的問題研究函數模型一：尖底、平底型折線函數（且是等差數列）它的圖像是什么？一定是軸對稱圖像嗎？若是，對稱軸是什么？最小值何時取得？引例1：函數的最小值為_引例2：設函數的圖像關于直線對稱，則的值為_練習：，且，則滿足條

16、件的所有整數的和是_變式：下列命題中真命題的序號是 _（1）是偶函數；（2）在上是增函數；（3）不等式的解集為；（4）方程有無數個實數解拓展：已知函數f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100 x-1|，則當x= 時，f(x)取得最小值函數模型二： 型函數函數的圖像和性質如何研究？引例：函數的定義域是，若對任意的，都有，則實數的取值范圍是_ 練習：已知函數f(x)|exeq f(a,ex)|(aR)在區間0,1上單調遞增，則實數a的取值范圍是_函數模型三：牛頓三叉曲線稱為牛頓三叉曲線.運用數學方法，總結“牛頓三叉”函數的圖像和性質練習：1.已知函數在上為增函數，則的取值范圍為

17、變式：若條件改為上為減；上為增；上為減，結論分別如何？2.已知二次函數的圖像以原點為頂點，且過點（1，1），反比例函數的圖像與的兩個交點間的距離為8，。試判斷當時，關于的方程的實數解的個數為 函數模型四：可化為二次函數的絕對值型復合函數引例1：已知，函數（1）判斷函數的奇偶性，請說明理由；（2）求函數在區間上的最小值；（3）設，函數在區間上既有最大值又有最小值，請分別求出的取值范圍（只要寫出結果，不需要寫出解題過程）思考：已知，函數.求函數在區間1,2上的最小值.練習：1. 已知函數有最小值，則實常數的取值范圍是 變式：函數在上有最大值，則實數的取值范圍是_2. 已知函數，其中，且.（1）如果

18、函數的值域是，則實數的取值范圍為_；（2）如果函數的值域是，實數的最小值為_函數模型五：對數和絕對值函數的復合型函數引例：已知函數,.（）當時,求函數在區間上的最大值；（）若恒成立,求的取值范圍；（）對任意,總存在惟一的,使得成立,求的取值范圍.函數模型六：指數和絕對值函數的復合型函數引例：（2008江蘇卷20）若，為常數，且（）求對所有實數成立的充要條件（用表示）；（）設為兩實數，且,若.求證：在區間上的單調增區間的長度和為（閉區間的長度定義為）函數模型七：對數與雙曲線型函數的復合型函數引例：設是定義在區間上的函數，其導函數為.如果存在實數和函數，其中對任意的都有0，使得，則稱函數具有性質.

19、（1）設函數，其中為實數（i）求證：函數具有性質； （ii）求函數的單調區間；（2）已知函數具有性質.給定設為實數，且，若|0, 則實數b的取值范圍為_；不等式(3x2+a)(2x+b) 0對一切x(a，b)恒成立，其中a0，則b-a的最大值為_9.（教L44基5）不等式對于任意恒成立，實數的取值范圍是_ 10. 寫出柯西不等式并寫出等號成立的條件_ 【專題研究、方法梳理】專題1：求參數取值問題中的一類確定主元問題的研究引例1：設關于的不等式對于滿足的一切都成立，則的取值范圍是_ 引例2：（主元的選擇與確定）設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為，畫面的寬與高之比為（），畫面的上、下各留的空白，畫面的

20、左、右各留的空白，問怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最小？如果，那么為何值時，能使得宣傳畫所用紙張面積最小？練習1：若在上存在實數使得不等式成立，則實數的取值范圍是_ 2：（2010浙江）設，為實數，首項為，公差為的等差數列的前項和為，且滿足，則的取值范圍是_變式：試求的取值范圍3：若為等差數列，前項和為，求證：對于任意的，不能構成等比數列.專題2：一類區域的面積問題研究引例1：在平面直角坐標系中，已知平面區域，則平面區域的面積為_ 練習：1：，則滿足條件的點所形成的區域面積為_2：已知函數，若，且，則滿足條件的的點所圍成的面積為_3：如圖放置的等腰直角三角形ABC薄片(A

21、CB，AC2)沿x軸 滾動，設頂點A(x，y)的軌跡方程是y，則在其相鄰兩個零點間的圖象與x軸所圍區域的面積為 引例2：直角坐標系中，點集，點集所表示的區域的面積_練習：兩個正實數滿足，若當時，恒有，則以為坐標的點所形成的平面區域的面積等于_專題3：多元變量問題處理方法的系統研究一、變式換元法引例1：已知函數的導函數是，. 設是方程的兩根，則|的取值范圍為 _引例2：在中，已知三邊長滿足，則的取值范圍是_練習1：已知正數滿足：則的取值范圍是_練習2：（浙江大學自主招生試題）設為正實數，（1）如果，則是否存在以為三邊長的三角形？請說明理由；（2）對任意的正實數，試探索當存在以為三邊長的三角形時的

22、取值范圍.二、引入新元法引例：求函數的最大值變式1：已知實數滿足，則最小值為 變式2：已知，且，求的最大值為_變式3：設是正實數，且，則的最小值是 _ 三、確定主元法（具體見專題1）引例：已知實數滿足方程及,則的最小值是 練習：已知，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是_變式：設向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a b=,=60,則|c|的最大值為 專題4：幾類基本不等式問題研究第一類：設，則的最小值為_ 變式1：設，則的最大值為_ 變式2：設，則的最大值為_ 練習：設實數x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_第二類：若已知，則的最小值為 .變式：設是不全為零的

23、實數，求的最大值第三類：若是與的等比中項，則的最大值為_ 練習：已知，則的最大值為_ 變式：已知，則的最大值為_ 專題5：利用函數研究不等式的相關問題研究引例1：已知函數是定義在R上的奇函數且，當時，則不等式的解集是 練習1：定義在的可導函數滿足：為偶函數，則不等式的解集為 練習2：定義在的可導函數滿足： ，則當時，與（是自然對數的底數）的大小關系是 引例2：已知定義在的函數滿足：，。若，令，則使數列的前項和的最小自然數= _引例3：已知函數，方程的一個根為t，且，（1）求函數的導函數；求導函數的值域；（2）證明：，練習：1.設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：方程， 有實數根；函數的導數滿

24、足.（1）若函數為集合M中的任意一個元素，證明：方程只有一個實根；（2）判斷函數是否是集合M中的元素,并說明理由；（3）設函數為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，當且時,證明： 2. 已知函數是奇函數，且圖像在點為自然對數的底數）處的切線斜率為3. （1）求實數、的值;（2）若，且對任意恒成立，求的最大值;（3）當時，證明： 專題 解析幾何中相關問題的再研究 本專題的認知地圖，游覽完本景點，你應該能掌握處理下列問題的方法： 1. 一類與三角問題有關的最值問題與直角走廊問題的拓展研究 2. 兩類最值問題研究 3. 平行線間的一類三角函數問題的研究 4. 圓系方程問題研究 5. 和圓有關的

25、八類軌跡問題研究 貓的軌跡問題（達芬奇橢圓儀）、阿波羅尼斯圓、 運動軌跡面積問題、圓（圓錐曲線）的一組切線方程問題、圓的公切線問題、圓的包絡問題6. 橢圓中的系列問題研究 橢圓定義知多少與橢圓圓周角性質定理的拓展研究圓錐曲線中一類對稱問題、焦點三角形問題、一類向量成定比問題、幾類橢圓中點的存在性問題、橢圓的極坐標方程的相關問題研究、橢圓的極點和極線的相關問題研究、解析幾何中定的問題研究、解析幾何中的幾類最值問題【易錯題】1.（教L46基6）經過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程為_2.（教L46例1（1）直線的傾斜角的取值范圍為_變式：若已知，則直線的傾斜角大小為_ 3.（教L47

26、基6）已知直線，若三條直線共有三個不同的交點，則實數滿足的條件是_ 4.（教L47鞏3）若兩點到直線的距離均等于1，則直線的方程為_5.（教L49基4）動點滿足，為坐標原點，則的取值范圍是_6. 注意圓中的幾個結論：（看看你還記得么？）（1）相交弦定理；（2）直線與相切問題如果切點已知，則切線與切點與圓心連線垂直；（3）兩個等圓相切，則切點必為兩個圓心的中點；7.已知圓的半徑為1，為圓的兩條切線，為兩切點，的最小值為_8. 若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是_9. 已知圓，若圓上有且只有4個點到直線的距離為1，則r的取值范圍是_.引申：關于圓上點到直線l與距離為d的點的個數歸納？10. 若實

27、數a,b,c成等差數列，點P（-1,0）到動直線上的射影為M，已知點N（3,3），則線段MN長度的最大值為_.11. 已知點的坐標分別是，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，過的直線與軌跡有兩個不同的交點時，則直線的斜率的取值范圍是_ 12. 在平面直角坐標系xoy下，已知雙曲線（），右焦點為F，右準線為l,點A，B是右支上兩點， ，線段AB的中點M在右準線上的射影點為，則的最大值為 . 13.（教L53基7）若是雙曲線的左右焦點，點在雙曲線上，若點到焦點的距離等于9，則點到焦點的距離是 . 14.（教L53鞏3）過點與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_ 15.（教L54基2）拋物線的焦點坐標

28、為_ 16.（教55鞏4）若直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是_【專題研究、方法梳理】專題1：一類與三角問題有關的最值問題與直角走廊問題的拓展研究引例：已知直線過點，且與軸的正半軸、軸正半軸分別交于兩點（1）求面積最小值及此時直線的方程；（2）求最小值及此時直線的方程；（3）求最小值及此時直線的方程變式1：過點作直線交軸與軸交于兩點，若的面積為12，試問這樣的直線有幾條？ 變式2：已知過點的直線與軸正半軸、軸正半軸交于兩點，若面積為的直線條數為2條，則的取值范圍是_問題背景探源：直角走廊問題（拓展）引例 如圖，一條直角走廊寬為:1m，若一根鐵棒EF能水平地通過此直角走廊，求此根鐵棒的最大長度

29、變1：如圖，一條直角走廊寬分別為1m和8m，若一根鐵棒EF能水平地通過此直角走廊，求此根鐵棒的最大長度變2：如圖，一條轉角處角度為（）的等寬走廊寬為1m，若一根鐵棒EF能水平地通過此直角走廊，則此根鐵棒的最大長度為_變3：如圖，一條等寬直角走廊寬為2m，現有一轉動靈活的平板車，其俯視圖的外框為一矩形，它的寬為1，平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少？變4：一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁和外壁都是半徑為的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于，兩點，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是（1）若水平放置的木棒的兩個端點分別在外壁和上，且木棒與內壁圓弧相切于點設，試用表示木棒的長度；NMABCD

30、EFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值小結：解決直角走廊問題的基本思想方法：直角走廊問題的數學本質：專題2：兩類最值問題研究第一類引例：在直線：上（1）求一點，使到點和的距離之和最小；（2）求一點，使到點和的距離之差最大.變式1：以為一個頂點，試在軸上找一點，另在直線上找一點構成，使其周長最小.變式2：自發出的光線被軸反射后射到圓上，則光線走過的最短距離為_ 第二類引例：等腰三角形的腰上的中線長為，則的面積的最大值_變式1：等腰三角形的腰上的中線長為，則的周長的最大值為_變式2：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=kAC(k為常

31、數，且0k1)，BD=l為定長，則ABC的面積的最大值為 變式3：在正三棱錐P-ABC中，D為線段BC的中點，E在線段PD上，PE=kPD(k為常數，且0k0,.（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）【高考試題背景探源】橢圓極點和極線的定義與作圖：已知橢圓（ab0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線.極點和極線是成對出現的.從定義我們共同思考和討論幾個問題并寫下你的思考:（1）若點在橢圓上，則其對應的極線是什么?（2）橢圓的兩個焦點對應的極線分別是什么?（3）過橢圓外（上、內）任意一點，如何作出相應的極線？練習：(2009年福建) 已知橢圓C的離心率e，長軸的左右端點分別為（2，0），（2，0），如圖所示（1）求橢圓C的方程；（2）設直線xmy1與橢圓C交于兩點P，Q，直線與交于點S，試問：當m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由問題7：解析幾何中五類定的問題研究類型1：定直線問題已知、分別為橢圓:的上、下焦點,其中