1、工程振動測試技術劉習軍 教授天津大學機械工程學院力學系Theoretical Mechanics第8章 數字信號分析(II)-小波分析 小波分析是在Fourier分析的基礎上發展起來的，小波分析比Fourier分析有著許多本質性的進步。Fourier分析進行的是頻譜分析，小波分析提供了一種自適應的時域和頻域同時局部化的分析方法。它在局部時-頻分析中具有很強的靈活性，被喻為時-頻分析的顯微鏡。 小波分析方法已廣泛應用于信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、地震勘探、CT成像、故障監控等眾多的學科和相關技術的研究中。 小波分析是泛函分析、數值分析和廣義函數論等眾多學科知識結合結果。傅里葉變換是把

2、一個周期信號（時間變量為t的函數）分解為不同的頻率分量，這些基本的構造是正弦函數和余弦函數，例如：傅里葉級數為Theoretical Mechanics 小波變換是在克服傅立葉變換缺點的基礎上發展而來的，從信號處理的角度認識小波，需要傅立葉變換、傅立葉級數等基礎知識。其中8.1 傅里葉變換的特點Theoretical Mechanics其基函數分別為則對于非周期信號的傅里葉積分為 于是，周期函數x(t) 就與下面的傅立葉序列產生了一一對應，即 從數學上已經證明了，傅立葉級數的前N項和是原函數x(t) 在給定能量下的最佳逼近。 把信號 用正弦和余弦信號展開Theoretical Mechanic

3、s然后忽略掉與濾除頻率相應的系數。2、信號濾波：信號分析的作用1、信號壓縮： 將信號表示成傅里葉級數，只需利用有關系數即可重構?？蓧嚎s數據量。Theoretical Mechanics例如：則得若為噪音，則令0.3為0，重構即可濾波前的圖形 濾波后的圖形Theoretical Mechanics傅里葉變換的幾個重要性質：性質1、正交性性質2、系數收斂原理即隨著n 變大，傅里葉系數an 和bn 收斂于零。推論：壓縮原理 保留比較大的有限個傅里葉系數，舍去所有較小的傅里葉系數。（在反變換時只應用較大的數）性質3、 對稱性設 ，常數 ，則物理意義：對a1 ，信號x(t) 被橫向壓縮為x(at) ，此

4、時 X()卻被拉伸為 ，同理，對于a 1 ，信號x(t) 被橫向拉伸了， X() 被壓縮了。 例如：若a1，認為x(t) 、 x(at) 中t與a在同一時間軸上標注，則t變小。 如t=10，則at =10, t =10/a 則t 變小。性質4、 伸縮性質注：傅里葉級數只適合于濾除或壓縮具有近似周期性的信號。而對于局部信號就無能為力了。這種分析方法是信號的一種全局的變換手段，要么完全在時域，要么完全在頻域。利用傅里葉變換，可將一個時域信號 轉化到頻域 上，使得信號的頻域特性一目了然。因此，傅里葉變換在近、現代的工程領域中得到了非常廣泛的應用。 存在兩點不足：(1)不能分析信號時域的局部特性；(2

5、) 對非平穩信號的處理效果不好。Theoretical Mechanics傅氏變換的缺點： 只適用于分析平穩信號，對于非平穩信號無能為力； 為了得到一個時域信號的頻域特征，必須使用信號在時域中的全部信息，甚至將來信息； 如果信號在某一時刻的小領域內發生變化，而頻譜無法標定變化的時間位置和發生變化的強度； 對于包含高頻信息和低頻信息的信號來說，時域精度和頻域精度不容易調整。 即傅里葉變換不能分析局部時域信號的局部頻譜特性。Theoretical Mechanics非平穩信號如：音樂信號、語音信號等。 WFT的數學表達式為：正變換反變換傅里葉變換對8.2 短時傅里葉變換短時傅里葉變換是對傅里葉變換

6、的改進，增強了處理非平穩信號的能力，又稱為信號短時的時-頻分析或窗口傅里葉變換（WFT）Theoretical Mechanics時窗函數w(t-b)的時域局部化表現組成窗函數的條件 時窗函數，它與傅里葉分析的區別是在變換時引入了時窗函數w(t-b) 。并通過參數b的變化，來實現信號的局部化，b 表示平移的時間。在短時傅里葉變換中被用作窗函數的是Gaussian函數，它的表達式為， 參數 決定著窗函數的大小，如圖所示。a取1，0.25，0.625時的Gaussian函數窗函數 在時域內能夠分析的信號長度為其時窗半徑在頻域內能夠分析的信號的頻率范圍稱為頻窗半徑 為經數學推導， t、的大小為當參數

7、 a值的大小確定后，處于窗函數內的信號長度和可分析的頻率范圍也就隨之確定下來。當窗函數的中心移動到t=b位置時，時-頻窗的范圍為STFT 時-頻窗參數a的大小決定窗口的形狀，當窗函數為Gaussian函數時，窗口的面積為定值對于其它窗函數，由Heisenberg不確定性定理說明短時傅里葉變換的時間和頻率分辨率不可能同時達到最高。短時傅里葉變換的反演公式為局限性：時頻窗的形狀和大小是固定的，它無法自適應的調整分析窗口的大小，以較好的分析不同頻段的信號。 如何在信號分析時，找到一個自適應的時-頻局部化方法是關鍵所在。8.3 小波變換短時傅里葉變換中的窗函數如果選擇為Gaussian函數，則這種變換

8、被稱為Gabor變換。小波變換是在Gabor變換的基礎上發展而來的，它在窗函數中引入尺度參數來實現窗口函數的伸縮，從而達到在分析信號時自動調節時-頻窗的目的，這適應了實際分析的需要。小波變換很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態反?，F象并展示其成分，可以區分突發信號和穩定信號并確定其能量分布狀態，被譽為信號分析的“數學顯微鏡”。Theoretical Mechanics自適應窗函數的設計窗口Fourier變換（WFT）的變換公式為： 其思想是先將時域局部化為f(t)w(t-b)，再對其進行傅里葉變換。 換一個思維方式，若把w(tb)e+it看成為變換函數，即則 其中，“-”表示共軛。 一、 連續小波

9、變換將其抽象為Theoretical Mechanics 這樣也可把 看作對x(t)在時域和頻域都能起限制作用的窗函數。其中 b平移量(時間參數) a伸縮量(頻率參數)小波，顧名思義指小區域的波，是一種特殊的長度有限（緊支集）、快速衰減、均值為0的波形。 定義如下：設，且則按照如下方式生成的函數族稱為小波函數，其中 為基本小波或母小波?；拘〔?需滿足以下的允許性條件Theoretical Mechanics其中 小波特點1、具有快速衰減性 2、具有波動性連續小波變換表達式為稱為小波系數小波反變換公式傅氏變換 其中Theoretical Mechanics“”為傅氏變換記號。 由此可知，小波變

10、換是通過伸縮因子和平移因子的變化，小波窗沿時間軸移動在不同尺度上對整個時間域上的函數變化進行分析。 小波變換是把信號分解成母小波按不同尺度伸縮和平移的小波函數上。Theoretical Mechanics a）正弦波傅里葉變換 b）小波小波變換傅里葉變換與小波變換元素示意圖 物理意義：小波函數(t)相當于傅里葉變換中的e-jt，不同的是e-jt在（-，+）無衰減，(t)在很短時間內衰減。Theoretical MechanicsTheoretical Mechanics是 經平移和伸縮的結果其中b=1二、連續小波變換的時間-尺度特性當尺度參數a 增大時， 小波的時域寬度變窄，相當于鏡頭向目標推

11、進，在近距離下觀測目標（信號）的細節。當尺度參數a 固定時，時間參數b 的變化相當于目標（信號）做平行移動，但和目標的距離保持不變。其中 b平移量 a伸縮量小波系數Wx(a,b)是時間參數（平移因子 b）和尺度因子a 的函數，它是雙窗的，所以說小波變換是一種信號的時間-尺度分析?？梢宰詣诱{整時頻分辨率。用鏡頭觀測目標的例子可以形象說明 ：在尺度上的伸縮變化和時域上的平移變換與鏡頭相對于目標的推進(遠離)和平行移動是非常類似的。三、連續小波變換的時間頻率特性 在容許條件的基礎上，小波函數 在時域上是振蕩的，其傅里葉變換 在頻域上是一個帶通函數，而且在時域和頻域上均具有良好的局部性。根據帶通函數的

12、定義，其時-頻窗函數的主要參數為：時窗中心時窗半徑 頻窗中心 頻窗半徑 這些參數決定了時-頻窗函數的特性。Theoretical Mechanics時窗中心 時窗半徑 頻窗中心 頻窗半徑 有關計算公式時-頻窗面積為Theoretical Mechanics若取a=1,b=0，則標記為 ， ， ，說明了時-頻窗的中心與半徑與a、b的關系小波變換時-頻窗(a1a2) 信號經小波變換后，得到的結果用小波系數來表示為Wx(a,b) ，小波系數Wx(a,b) 是尺度參數a、平移參數b的函數。Theoretical Mechanics綜合以上分析，傅立葉變換、短時傅立葉變換和小波變換三者的基函數實際上都是

13、一組具有不同頻率不同時寬的函數簇。其區別在于，傅立葉變換的基函數是沒有衰減的，短時傅立葉變換和小波變換的基函數的兩端是很快衰減到零的，所以它們具有時間局部性。而小波變換的時寬又是變化的，因此小波變換的時頻分辨率也是變化的，具有多分辨率的分析特性。進行連續小波變換的思路（1）選擇小波函數及其尺度a值；（2）從信號起始位置開始，將小波函數和信號代入公式計算小波系數；（3）改變參數b，沿時間軸移動小波函數，在新的位置計算小波系數，直到信號終點；（4）改變尺度a值，重復(2)、(3)步。四、小波變換的基本步驟Theoretical Mechanics小波運算的基本步驟： (1) 選擇一個小波函數，并將

14、這個小波與要分析的信號起始點對齊； (2) 計算在這一時刻要分析的信號與小波函數的逼近程度，即計算小波變換系數C，C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數波形越相近，如圖所示。Theoretical Mechanics (3) 將小波函數沿時間軸向右移動一個單位時間，然后重復步驟(1)、(2)求出此時的小波變換系數C，直到覆蓋完整個信號長度，如圖所示：Theoretical Mechanics (4) 將所選擇的小波函數尺度伸縮一個單位，然后重復步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示 (5) 對所有的尺度伸縮重復步驟(1)、(2)、(3)、(4)。Theoretical Mechanics傅里

15、葉變換與小波變換的過程示意圖Theoretical Mechanics 小波系數表示小波與信號相似的程度，小波系數越大，兩者越相似。 小波系數的大小還反映了信號在這一頻率中心周圍的頻率成分的多少，小波系數越大，信號在這一頻率中心周圍的頻率成分就越多。四、小波函數圖形及選取不同的小波具有不同的時頻特征, 選用不同的小波進行信號處理會產生不同的分析結果，即小波函數的選擇十分重要，因此，選擇合適的小波是小波變換成敗的關鍵。因為小波函數直接影響著小波分析的結果。一般來說，可根據應用需要,選擇合適的小波，通常往往也通過經驗或不斷的試驗來選擇小波。從數學角度選擇小波函數，要依據正交、線性相位、連續、緊支撐

16、 “四項原則”來進行選擇。由于小波函數表達式不像傅里葉變換中的函數那么簡單，為了對小波函數有一個初步的了解，下面給出幾種常用小波的圖形。Theoretical Mechanics1、Daubechies小波一些常用的小波：Theoretical Mechanics2、Coiflets小波3、Symlets小波Theoretical Mechanics4、Morlet小波 5、Mexican Hat小波6、Meyer小波 由于小波選擇的靈活性，許多工作者定義了許多小波，在使用中可以根據解決的問題進行選擇。也可以自己定義小波，但要滿足小波的條件。例8-2、一個不同時段、不同頻率的信號組成了分時段信

17、號，在t=00.25s時段，頻率為100Hz，t=0.250.5s時段，頻率為200Hz，振幅均為1cm，其時間的交接點為0.25s，數學表達式為分別對其進行傅里葉變換和小波變換，分析其結果有何不同。解：選用采樣頻率 fs=4000Hz，采樣點數為N2000，則t=1/fs，采樣時長T=0.5s，生成的時間歷程曲線如圖所示，分別對其進行傅里葉變換和小波變換，求得結果如圖所示。t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=1/fs , f2=200Hz; 原時間歷程曲線局部放大圖t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=

18、1/fs , f2=200Hz; t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=1/fs , f2=200Hz; 傅里葉變換結果t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=1/fs , f2=200Hz; 小波變換結果在實際信號處理中，信號多是以離散形式存在的，因此用離散小波變換更方便。離散小波變換就是將尺度參數和位移參數進行離散取值。通常將a,b(t)中的連續變量a和b取作整數離散形式：8.4 離散小波變換對應的離散小波變為信號 的離散小波變換系數為離散小波變換的重構公式為離散小波變換僅僅是對參數a、b進行離散化處理，

19、而并沒有對信號 以及離散小波 中的時間 t 變量 進行離散化，因此，被稱為離散柵格 a、b 下的小波變換。目前，常用的方法是取 a0=2，b0=1 ，即按下面的式子對尺度因子和平移因子進行二進離散化二進離散小波二進離散小波可以看做一組倍頻程帶通濾波器，二進離散小波變換也因此可以看做是一組具有倍頻程帶通濾波功能的恒帶寬濾波過程。相應的小波變換為：Theoretical Mechanics8.5 正交小波的快速算法(Mallat算法)多分辨率分析是一種對信號的空間分解方法，分解的最終目的是力求構造一個正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。Mallat算法是一種用于實

20、現小波多分辨率分析的快速算法，它是由S.Mallat于1988年提出的一個突破性成果，它在小波分析中的作用就相當于快速傅里葉變換（FFT）在傅里葉變換中的作用。 Mallat算法的核心思想是由小波濾波器H、G和h、g對信號進行快速分解和重構。在Mallat算法中，H、G為分解濾波器，h、g為重構濾波器，四者之間的具體關系如下：在分解算法中，每一次分解信號都被分解為低頻和高頻兩個分量。分解算法如下：其中Aj 為信號x(t) 在第j層的低頻部分的小波系數，Dj 為信號x(t) 在第j層的高頻部分的小波系數。由此可知，Mallat算法每次只對信號的低頻部分進行分解，而再不分解高頻部分。Mallat分

21、解算法圖示重構算法可表示為Mallat重構算法圖示反映了信號在Mallat算法中的重構過程子帶信號與原始信號具有如下關系信號的3層小波分解及頻帶劃分規律x(t)為原信號，a為低頻部分，d為高頻部分，n為分解層次。它們包含了信號從高頻到低頻多個頻帶的信息，因此稱為多分辨率分析。同時還包含了原信號的時間信息 。 d1(fs/22-fs/2)a1(0-fs/22)a2(0-fs/23)d2(fs/23-fs/22)d3(fs/24-fs/23)x(t)(0-fs/2)a3(0-fs/24)Theoretical Mechanics 信號經小波變換表現為不同子頻帶分量之和，反映低頻的局部分析在低頻子頻

22、帶中，反映高頻的局部分析在高頻子頻帶中。 小波變換并不像傅里葉變換那樣把時域信號表示為若干精確的頻率分量之和，而是表示為若干描述子頻帶的時域分量之和。這是小波分析的特點。 例8-4 設一個由四個不同頻率的正弦信號組合而成的振動信號中夾雜瞬態衰減信號，數學表達式為試用小波變換中的Mallat計算法將其分解。 所包含的頻率成分15Hz30Hz45Hz60Hz130Hz采樣頻率：400Hz解：選取采樣頻率為400Hz，采樣點數為2048，選擇Daubechies小波db40，利用Mallat算法來分析信號，分解層數為3層，信號可被分解為4個分量，如圖所示。 原信號時間歷程曲線原信號的幅頻曲線小波變換

23、系數的時頻圖二進離散小波分解，分解三層各層信號頻率范圍： a1：0100Hz d1：100Hz200Hz a2：050Hz d2：50Hz100Hz a3：025Hz d3：25Hz50Hz重構一層的信號a1: 0100Hzd1: 100200Hzf=130Hz重構二層的信號a2: 050Hzd2: 50100Hzf=60Hz重構三層的信號a3: 025Hzd3: 2550Hz f=15Hz f=30Hz f=45Hz此次不能再分解由于30Hz 、45Hz的信號都在重構三層部分，小波變換不能再繼續將高層兩個頻率信號分開。若要必須將其分開時，在工程實際中可以根據工作需要，通過控制采樣頻率和選擇合

24、適的小波分量來獲取特定頻率成分的信號。也可選用小波包變換將其分解。8.6 小波包變換 Mallat算法每次僅僅是對信號的低頻分量（近似部分）進行分解，而沒有分解高頻分量（細節部分）。當我們需要把信號分解的很細時，僅僅靠Mallat算法可能不足以滿足分析的需要。小波包變換是在小波多分辨率分析的基礎上建立起來的，它可以對信號任意子帶的分量進行再次降半劃分。這就解決了多分辨率分析（Mallat算法）在信號的高頻區域內分辨率較低的缺點。小波包變換思路類似與Mallat算法，小波包分解也是按照分解尺度由低到高逐層向下分解，每層分解信號的所有子帶均被一分為二，并傳至下一層。每層子帶都將覆蓋原信號所占的頻率

25、，而第 j層共有2j 個子帶，它們均分了信號的整個可分析的頻域。一般情況下子帶的頻域將按照由低到高的順序排列。因為分解時每一層的小波基個數較多（第j 層共有2j 個小波基），所以此算法稱為小波包變換。小波包變換的快速算法設 x(t)為一時間信號，pij 表示第 j層上的第 i個小波包，稱為小波包系數，G、H為小波分解濾波器，H與尺度函數有關，G與小波函數有關。二進小波包分解的快速算法為：其中小波包分解快速算法應注意：分解得到的p是小波包系數，不是原信號在某個頻段的分量，根據小波變換理論，可將信號的原始數據作為處于最低層的小波包系數 。由此可知，原始信號經過以分析頻率fs的n層小波包分解后，頻域

26、將被分成2n 段，各小波包分量對應的頻段分別為若頻率信號較多，從理論上來說，只要取得n值足夠大，總是可將各頻段信號進行分解的。二進小波包重構的快速算法為式中h、g為小波重構濾波器，h與尺度函數有關，g與小波函數有關。小波包重構快速算法分析頻率為fs信號經過n層的小波包分解后，頻域共被分成2n 段。 小波包快速算法的三個關鍵的運算構成是：1、與小波濾波器卷積；2、隔點采樣；3、隔點插零。小波包快速算法與Mallat算法的區別只是對每個尺度上高頻部分的處理不同，在Mallat算法中，對各尺度上高頻部分不再予以進一步分解，而在小波包快速算法中，對各尺度上的高頻部分要再予以進一步分解。因此。和小波變換相比，小波包具有更精細的信號分析能力，實際上無