1、關于分離變量法的應用第一張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月1非齊次邊界條件的處理：第二張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月2 思考題 非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問題應該如何求解？第三張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月3三維形式的直角坐標分離變量以三維空間中的熱傳導問題為例，考慮齊次泛定方程：考慮如下形式的解：代入方程可得：第四張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月4這樣得到如下兩個微分方程：第二個微分方程可以進一步分離變量，令：代入方程中整理可得：第五張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月5分析易得：時間部分的解為： 空間部分（滿足邊界條

2、件要求）的解通常為正弦函數和余弦函數的組合。因此，三維熱傳導問題的完整解為：第六張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月6例8.5 求解下列定解問題：第七張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月7求解本征值問題可得：第八張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月8相應地，這時，有：同時可求出 T：構造特解并疊加得到：第九張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月9代入初始條件可得：故定解問題：的解為：第十張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月10 在利用分離變量法求解定解問題的時候，對方程和邊界條件都要進行變量分離。一般而言，能否應用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關之外，

3、還和所選擇的坐標系有關系。這個時候要根據邊界情況來選取合適的坐標系。在進一步討論之前，我們引入正交曲線坐標系的概念。第十一張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月11例 8.5 求解如下定解問題：（P194，例4）第十二張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月12正交曲線坐標系 由三族互相正交的曲面定義的坐標系稱為正交曲線坐標系。正交曲線坐標系和直角坐標的關系為：例：柱坐標系第十三張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月13球坐標系 其他正交曲線坐標系還有拋物柱面坐標、橢球坐標等。第十四張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月14正交曲線坐標系中的Laplace算符第十五張，PPT共二

4、十四頁，創作于2022年6月15 一般地，我們總可以對齊次泛定方程的時間和坐標變量進行分離（和坐標系的選取無關）。現在我們就來考察在不同的正交曲線坐標系下對Laplace方程如何進行變量分離。第十六張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月16柱坐標系的情況第十七張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月17第十八張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月18第十九張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月19球坐標系的情況第二十張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月20第二十一張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月21例 8.5 求解如下定解問題：（P194，例4）第二十二張，PPT共二十四頁，創作于2022年6月22第二十