1、7 平穩時間序列預測法7.1 概述7.2 時間序列的自相關分析7.3 單位根檢驗和協整檢驗7.4 ARMA模型的建模 7.1 概 述 時間序列 取自某一個隨機過程，那么稱： 一、平穩時間序列過程是平穩的隨機過程的隨機特征不隨時間變化而變化過程是非平穩的隨機過程的隨機特征隨時間變化而變化 寬平穩時間序列的定義：設時間序列，對于恣意的t,k和m，滿足： 那么稱 寬平穩。 嚴平穩時間序列的定義： 一切的統計特性不隨時間的平移而變化 Box-Jenkins根本思想：用數學模型描畫時間序列本身的相關性，并假定這種自相關性不斷延續，用該模型預測未來的值。 ARMA模型是描畫平穩隨機序列的最常用的一種模型。

2、 Box-Jenkins方法提供了對時間序列進展分析、預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統方法。 ARMA模型的三種根本方式： 自回歸模型AR：Auto-regressive； 挪動平均模型MA：Moving-Average； 混合模型ARMA：Auto-regressive Moving-Average。 假設時間序列 滿足其中 是獨立同分布的隨機變量序列,且滿足： 那么稱時間序列 服從p階自回歸模型。 二、自回歸模型滯后算子多項式 的根均在單位圓外，即 的根大于1。 自回歸模型的平穩條件： 例1 AR(1)模型的平穩性條件。對1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數學期望，得到

3、Xt的方差由于Xt僅與t相關，因此，E(Xt-1t)=0。假設該模型穩定，那么有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：在穩定條件下，該方差是一非負的常數，從而有 |1。 而AR(1)的特征方程的根為 z=1/ AR(1)穩定，即 | 1，意味著特征根大于1。 對高階自回模型AR(p)來說，多數情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有一些有用的規那么可用來檢驗高階自回歸模型的穩定性： (1)AR(p)模型穩定的必要條件是： 1+2+p1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可負，AR(p)模型穩定的充分條件是： |1|+|2|+|p|p，t與t-k間的偏自相關系數為零。樣本的偏自

4、相關函數的計算其中： 1、時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關系的特征。運用自相關分析圖判別時間序列的隨機性，普通給出如下準那么： 假設時間序列的自相關函數根本上都落入 置信區間 ，那么該時間序列具有隨機性； 假設較多自相關函數落在置信區間之外， 那么以為該時間序列不具有隨機性。時間序列特性分析注：在B-J方法中，測定時間序列的隨機性，多用于模型殘差，以評價模型優劣。 2、判別時間序列能否平穩，是一項很重要的任務。運用自相關分析圖斷定時間序列平穩性的準那么是： 假設時間序列的自相關函數在k3時都落入置 信區間 ，且逐漸趨于零，那么該時間序列具有平穩性；假設時間序列的自相關函數更多地

5、落在置信區 間外面，那么該時間序列不具有平穩性。 注：在B-J方法中，只需平穩的時間序列才干建立ARMA模型，否那么必需經過適當的處置使序列滿足平穩性要求。例對某種趨勢的時間序列進展差分處置。但很多序列不能經過差分到達平穩，而且差分雖然消除了序列的趨勢易于建模，但也消除了序列的長期特征，實踐的經濟序列差分普通不超越兩次。 3、時間序列的季節性斷定準那么： 月度數據，調查k=12,24,36, 時的自相關系數能否與0有顯著差別；季度數據，調查k=4,8,12, 時的自相關系數能否與0有顯著差別 。注1：實踐問題中常遇到季節性和趨勢性同時存在的情況，應先剔除序列趨勢性，在識別季節性。 注2：包含季

6、節性的時間序列也不能直接建模，應先進展季節差分消除，季節差分普通不超越一階。三、ARMA模型的自相關分析 AR(p)模型的偏自相關函數是以p步截尾的，自 相關函數拖尾； MA(q)模型的自相關函數具有q步截尾性，偏 自相關函數拖尾； 可用以上兩個性質來識別AR和MA模型的階數 ARMA(p,q)模型的自相關函數和偏相關函數都 是拖尾的。 圖 ARMA(p,q)模型的ACF與PACF實際方式 ACF PACF 模型1： tttXXe+=-17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF17.4 ARMA模型的建模 一、模型階數確

7、實定 1基于自相關函數和偏相關函數的定階方法 對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關函數和樣本偏自相關函數的截尾性斷定模型的階數。假設樣本的偏自相關函數是以p步截尾的，模型為AR(p) ；假設樣本的自相關函數具有q步截尾性，模型為MA(q)； 假設樣本的自相關函數和偏相關函數都是拖尾的，模型為ARMA(p,q) 。1自相關函數的截尾性統計檢驗：對于每一個q,計算 .M 取為 或者 ， 對于MA(q)模型，當kq時， 調查其中滿足 的個數能否占M個的68.3%或者95.5%以上。 2偏自相關函數的截尾性統計檢驗：對于每一個p,計算 M 取為 或者 ， 對于AR(p)模型，當kp時，

8、調查其中滿足 的個數能否占M個的68.3%或者95.5%以上。 假設對于序列 和截尾，即不存在上述的 來說，均不和斷定平穩時間序列 ，那么可以為ARMA模型。 普通地，對ARMA模型 它們均值為0，可遞推得到殘量估計現作假設檢驗：是來自白噪聲的樣本 令3殘差項的白噪聲檢驗：Q統計量檢驗其中取 左右。 那么當成立時，服從的分布。 對給定的顯著性程度，假設，那么回絕，即模型與原隨機序列之間擬合得不好，那么以為模型與原隨機序列之間擬合需重新思索得較好，模型檢驗被經過。建模；假設自在度為注：上機操作時，普通看Q統計檢驗的相伴概率 (1)用AR1擬合時間序列，調查其殘差樣本的自相關函數 能否q1步截尾，

9、那么模型為ARMA(1, q1 ),否那么；(2)用AR2擬合時間序列，調查其殘差樣本的自相關函數 能否q2步截尾，那么模型為ARMA(1, q2 )，否那么；(3)繼續增大p，反復上述做法，直至殘差序列的樣本自相關 函數截尾為止4Tasy和TiaoARMA模型定階法1950年-1998年北京城鄉居民定期儲蓄比例選擇適宜的ARMA模型擬合可以思索擬合模型為AR(1),ARMA(1,3)延續讀取70個化學反響數據可以嘗試運用AR(1)，MA(1)和ARMA(1,1)模型擬合該序列2基于F 檢驗確定階數3利用信息準那么法定階AIC準那么和BIC準那么此外，常用的方法還有：1967年，瑞典控制論專家

10、K.J.Astrm教授將F檢驗準那么用于對時間序列模型的定階。原理(模型階數簡約原那么 parsimony principle)： 設yt(1tn)是零均值平穩序列，用模型AR模型擬合檢驗統計量：結論假設FF，那么回絕原假設，以為AR(p)適宜；假設FF ，那么回絕原假設，模型階數仍有上升的能夠；假設F1時，ARMA(1,1)預測值也是由如下差分方程決議的。(3) 向前L步預測公式(L2) 三、預測誤差 由于預測只能建立在到t時辰為止的可用信息的根底上，因此，根據最小均方誤預測的第二個準那么，以及平穩可逆序列可以表示成傳送函數方式的結論，可以將預測值 表示成可以估計的項t，t-1，的加權和的方

11、式：由上得以t為原點，向前L步的預測誤差為：由于t是白噪聲，故有：誤差方差為：注：預測誤差的估算是1， p算和1，q估計都為正確的假設，實踐中參數經過估計得到的，且估計量是隨機變量，有均值和方差，因此實踐誤差大于實際估計誤差。五、預測誤差的置信區間對于正態過程，預測誤差的分布為：所以：對yt+l預測的95%的置信區間為：因此：設為一AR(2)序列，其中求的自協方差函數。 例 1解答：Yule-Walker方程為：且：結合上面三個方程，解出： 例 2思索如下AR(2) 序列：假設知觀測值 1試預告2給出1預告的置信度為95%的預告區間。,解答：12預告的置信度為95%的預告區間分別為：7.3 單

12、位根檢驗和協整檢驗 一、平穩性的檢驗引言：前面我們討論的是平穩時間序列的建模和預測方法，即所討論的時間序列都是寬平穩的。一個寬平穩的時間序列的均值和方差都是常數，并且它的協方差有時間上的不變性。 但是許多經濟領域產生的時間序列都是非平穩的。呈現出明顯得趨勢性和周期性，序列不平穩，導致預測無效，產生錯誤回歸等問題。1、經過時間序列的趨勢圖來判別這種方法經過察看時間序列的趨勢圖來判別時間序列能否存在趨勢性或周期性。優點：簡便、直觀。對于那些明顯為非平穩的時間序列，可以采用這種方法。缺陷：對于普通的時間序列能否平穩，不易用這種方法判別出來。2、經過自相關函數(ACF)判別平穩時間序列的自相關函數(A

13、CF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我們可以根據這個特性來判別時間序列能否為平穩序列。假設時間序列具有上升或下降的趨勢，那么對于一切短時滯來說，自相關系數大且為正，而且隨著時滯k的添加而緩慢地下降。假設序列無趨勢，但是具有季節性，那末對于按月采集的數據，時滯12，24，36的自相關系數到達最大(假設數據是按季度采集，那么最大自相關系數出如今4，8，12， )，并且隨著時滯的添加變得較小。假設序列是有趨勢的，且具有季節性，其自相關函數特性類似于有趨勢序列，但它們是擺動的，對于按月數據，在時滯12，24，36，等處具有峰態；假設時間序列數據是按季節的，那么峰出如今時滯4，8，12， 等處。3、隨

14、機游走的單位根檢驗(Unit root test)隨機游走是一種非平穩過程，其實隨機游走一種特殊的齊次非平穩過程。 檢驗序列能否為隨機游走，通常利用David Dickey和Wayne Fuller的單位根檢驗。單位根的含義和檢驗原理如下：1單位根的含義2單位根的檢驗用Eviews進展單位根檢驗時給出了上述選項。 假設DF檢驗統計量比給定顯著程度臨界值大，不能回絕原假設，以為序列存在單位根，是非平穩的。ADF檢驗在DF檢驗中，經常由于序列存在高階滯后相關，使得隨機擾動不符合白噪聲假設，ADF檢驗修正了DF檢驗中的自相關問題。此外還有：PP檢驗：檢驗具有普通方式的單位根過程DFGLS檢驗： DF及ADF檢驗對含有時間趨勢的退勢平穩時間序列的檢驗失效古典的回歸方法：只能對平穩的時間序列進展回歸分析，或將非平穩的序列轉化為平穩序列再做回歸非平穩時間序列分析逐期差分后平穩，建立求和自回歸挪動平均模型,記為ARIMA(p,d,q)非平穩時間序