1、第六章相關系數檢驗一般來說，在回歸模型的基本假設中，有一個假設條件是最為重要的，這就 是假設變量之間在概率意義上存在線性關系；亦即E（Y）=a + X或E（七）二0。這 里的“概率意義”，雖說與確定意義有差別，但由于概率意義的前提必須承認規 律的存在；故我認為，這里的“線性關系”與確定意義下的“線性關系”并無根 本性的區別。因此，我們可以說，概率意義上的線性關系仍是一般意義上的線性 思路或方法，只是分析的條件有所放松而已。現在我們要問，在建立回歸模型時，這個假設條件成立嗎？顯然需要進行檢 驗，需要建立一種檢驗方法。61、建立相關系數檢驗方法的基本思路實際上，建立相關系數檢驗方法的基本思路是較為

2、簡單和清晰的。其基本思 路是：建立一種方法（A 2）,希望此方法在測定被解釋變量Y的總的變化中，推 出回歸直線能夠解釋的部分有多大；即通過兩者之比的大小，來推斷回歸模型效 果的好壞。下面簡要介紹其方法的建立過程：首先，我們有Y的總的變化可表示為：回歸直線能夠解釋的部分： 由此我們可以得到，回歸直線沒有（或不能）解釋的部分為: 因而我們有Y 的總的變差二y 2 =(y + e )2 =(y 2 + 2 e + e 2) TOC o 1-5 h z ii iii i i其中， y e = (px )(y - px ) = P ( x y -p x2.) =p (xtI II III II=0(注意

3、：& = Y-pX,.Y =(x + pX,.y = Y - Y =(x-B -de-px = px，另夕卜i iii人e. = Y - Y所以人人c 、=y -y = y -Px)。i i i i i i我們最終有Y的總的變差一y 2 = (y. + e )2 = (y,2 + 2 y e + e 2)= (y 2 + e 2)ii iii i ii i亦即Y的總的變差二回歸直線能夠解釋的部分部分+回歸直線不能夠解釋的部分顯然這個結論是十分重要的，在計量經濟學中已有許多類似的結果。沒有這 樣的結果，我們的方法就建立不起來，也沒有什么意義了。我們也應進一步思考， 為什么會有這樣好的結果呢？這實

4、際上正是線性方法或線性思想的特征或優勢 所在。6 2、相關系數的計算和特征根據建立相關系數的基本思路，我們用R 2表示相關系數，則有R 2二已由解釋變量說明的部分：Y的總的變差_Zy.2 Z(Y-Y)2、Z y 2 - Z (Y - Y)2 - ii由此可知：R 2達到最大值即 R 2 = 1；R 2達到最小值即 R2 =0；所以 0 R2 x2)* ii小、Zy2 pzx2.代入 i =iZ y 2 乙 y 2.P Z x 2Z y2一 Z xy 一而P = J 2 2，再代入則有 乙x 2i II(Z xy )2 Z X 2(Z xy )2=ii. i=i(ZX 2)2Z y2(Z y2

5、)(Zx 2)11i有)2這時-1 R 1，R=-1時，稱之為完全負相關，而R=1時，稱之為完全正相關。除了相關系數外，還有其他相關系數，如偏相關系數和復相關系數，它們都 是涉及到多元回歸問題的。其中，所謂偏相關系數是指度量在其他所有變量保持 不變的條件下，任意兩個變量之間的相關程度的系數。而復相關系數是指多個變 量的相關系數中，例如Y，X1，X尸,X.，對于其中的變量Y的復相關系數是 指除Y以外的其它變量X1，X尸,X.對Y的相關程度的度量(具體內容這里略 去)。6 3、相關系數的應用相關系數的意義主要是在概率意義上反映了解釋變量與被解釋變量之間的 線性相關程度，亦即檢驗假設E（Y） = a

6、 + 0X 或 E（p ） =0相關系數最大的不足是不能給出變量之間的因果關系，亦即不能揭示變量之 間相互依賴的確切關系。正因為如此，相關系數高的原因是多種多樣：（1）Y和X分別互為變化的原因；（2）Y和X同時互為變化的原因；（3）量Y和X的變化是由另一個變量W引起的，而它們之間實際上并無直接的 因果關系；（4）變量X、Y之間的相關可能純粹是偶然的巧合，實際上并無任何因果關系。因此，僅僅知道相關系數的結果是不夠的，相關系數或相關分析不能給出X 和Y之間是如何關聯的。實際上，變量之間的因果關系的確定只能依賴于經濟理 論或主觀的經濟分析。另外，在實際應用中，人們往往采用相關系數來判斷變量之間的相關程度。 值得指出地是，相關系數只是說明變量之間相關程度的充分條件，而不是必要條 件。例如，相關系數高的確能說明變量之間的相關程度、或線性相關程度高；但 如果相關系數低，則不能說明變量之間的相關程度底，而只能說變量之間的線性 相關程度底，完全不能夠排除變量之間存在重要的非線性相關關系。一般來說，相關系數低，或回歸模型吻合度不好的主要原因有：（1）模型中各變量之間本來就不存在因果關系；（2）模型中漏掉了其它重要的變量；（3）變量之間關系的數學形式不正確（或成非線性關系）。在上述原因中，尤其以第三種原因最為重要和突出，其解決的主要方式是回歸模 型