1、2.3.1 變量之間的相關關系1第一頁，共四十九頁。 在學校，老師經常對學生經常這樣說：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題。” 按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著一種相關關系。這種說法有沒有依據呢？ 思考2第二頁，共四十九頁。 我們還可以舉出現實生活中存在的許多相關關系的問題。例如：3第三頁，共四十九頁。1商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系。 商品銷售收入與廣告支出經費之間有著密切的聯系，但商品收入不僅與廣告支出多少有關，還與商品質量、居民收入等因素有關。4第四頁，共四十九頁。 在一定范圍內，施肥量越大，糧食產量就越高。但是，施肥量并不是決定糧食產量的

2、唯一因素，因為糧食產量還要受到土壤質量、降雨量、田間管理水平等因素的影響。2糧食產量與施肥量之間的關系。5第五頁，共四十九頁。 在一定年齡段內，隨著年齡的增長，人體內的脂肪含量會增加，但人體內的脂肪含量還與飲食習慣、體育鍛煉等有關，可能還與個人的先天體質有關。3人體內脂肪含量與年齡之間的關系。6第六頁，共四十九頁。 對于上述各種問題中的兩個變量之間的相關關系，我們都可以根據自己的生活、學習經驗作出相應的判斷，因為“經驗當中有規律”。但是，如果只憑經驗辦事，還是很容易出錯的。因此，在分析兩個變量之間的關系時，還需要一些有說服力的方法。 1商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系。2糧食產量與施肥量之

3、間的關系。3人體內脂肪含量與年齡之間的關系。7第七頁，共四十九頁。事物之間的相互關系1、確定性關系 現象間存在著一一對應的嚴格的數量依存關系。對于某一個變量的每一個數值，都有另一個變量的確定數值與之對應，又稱為函數關系。函數8第八頁，共四十九頁。確定性關系：兩變量間的函數關系 圓的周長與半徑的關系： C2R速度、時間與路程的關系： LSTX與Y的函數關系： Ya+bX 9第九頁，共四十九頁。事物之間的相互關系2、相關關系 現象間存在的不嚴格的數量依存關系。對于某一個變量的每一個數值可以有另一個變量的若干個數值與之對應，又稱為相關關系，簡稱相關。1.變量間關系不能用函數關系精確表達2.一個變量的

4、取值不能由另一個變量唯一確定3.當變量 x 取某個值時，變量 y 的取值可能有幾個4.各觀測點分布在直線周圍10第十頁，共四十九頁。 相關關系的例子 商品的消費量(y)與居民收入(x)之間的關系 商品銷售額(y)與廣告費支出(x)之間的關系 收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關系 父親身高(y)與子女身高(x)之間的關系11第十一頁，共四十九頁。 自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性。這兩個變量之間的關系,叫做相關關系.變量間相關關系的概念: 函數是研究兩個變量之間的依存關系的一種數量形式.對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間的關系

5、就是一個函數關系.變量間函數關系的概念:相關關系與函數關系之間有什么異同點？12第十二頁，共四十九頁。相同點:兩者均是指兩個變量間的關系.不同點:函數關系是一種確定的關系;相關關系是一種非確定的關系.相關關系與函數關系的異同點:13第十三頁，共四十九頁。函數關系與相關關系的聯系（1）由于測量誤差存在，現實生活中函數關系常表現為相關關系；（2）由于現象間數量關系規律性，相關關系常借助函數關系近似描述。14第十四頁，共四十九頁。1.下列關系中,是帶有隨機性相關關系的是 .正方形的邊長與面積的關系;水稻產量與施肥量之間的關系;人的身高與年齡之間的關系;降雪量與交通事故發生之間的關系.2. 下列兩個變

6、量之間的關系哪個不是函數關系（ ）A角度和它的余弦值B. 正方形邊長和面積C正邊形的邊數和它的內角和 D. 人的年齡和身高D15第十五頁，共四十九頁?！締栴}】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據： 其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.616第十六頁，共四十九頁。思考1：對某一個人來說，他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能

7、表現出一定的規律性.觀察上表中的數據，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.617第十七頁，共四十九頁。思考2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數據進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，在直角坐標系中描出樣本數據對應的圖形.年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡535456

8、57586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.618第十八頁，共四十九頁。思考3：上圖具有什么特點，可以怎么稱呼？ 由一群離散的點組成，稱為散點圖 19第十九頁，共四十九頁。 左下角到右上角正相關思考4：觀察散點圖的大致趨勢，年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關系？ 20第二十頁，共四十九頁。思考5：反過來，一般地，如果兩個變量成正相關，那么這兩個變量的變化趨勢如何？ 一個變量隨另一個變量的變大而變大散點圖中的點：左下角到右上角21第二十一頁，共四十九頁。思考6：如果兩個變量成負相關，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什么特點？ 一個變量隨另一個變量的變大

9、而變小散點圖中的點：左上角到右下角22第二十二頁，共四十九頁。思考7：進一步思考，當人的年齡增加時，體內脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？ 23第二十三頁，共四十九頁。 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線，直線所對應的方程叫回歸方程。高爾頓（ Francis Galton ） 弗朗西斯高爾頓，英國科學家和探險家。1889年，他在研究祖先和后代身高之間的關系時發現，后代的身高會靠近父母身高的平均值，并把這種趨勢稱為“回歸現象”。后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量變化的方法稱為回歸方法。24第二十四頁，共四十九頁

10、。思考8：如何求回歸方程？ 25第二十五頁，共四十九頁。理論遷移例1 在下列兩個變量的關系中，哪些是相關關系？正方形邊長與面積之間的關系；作文水平與課外閱讀量之間的關系；人的身高與年齡之間的關系；降雪量與交通事故的發生率之間的關系.26第二十六頁，共四十九頁。自主練習：（1）兩個變量中具有相關關系的是（ ） A 喜鵲叫喜，烏鴉叫喪 B 人的身高和年齡 C 勻速行駛車輛的行駛距離與時間 D 球的體積與半徑（2）兩個變量之間關系是函數關系的是（ ） A 正方形的面積與周長 B 物理成績數學成績 C 年降雨量與年平均氣溫 D 圓上任意點的橫、縱坐標BA27第二十七頁，共四十九頁。C(3)下列圖形中具

11、有線性相關關系的兩個變量是28第二十八頁，共四十九頁。1對于兩個變量之間的關系，有函數關系和相關關系兩種，其中函數關系是一種確定性關系，相關關系是一種非確定性關系.3.一般情況下兩個變量之間的相關關系成正相關或負相關，類似于函數的單調性.2散點圖能直觀反映兩個相關變量之間的大致變化趨勢，利用計算機作散點圖是簡單可行的辦法，并根據趨勢判斷變量之間是否是線性相關.小結29第二十九頁，共四十九頁。2.3.2 回歸方程的求解30第三十頁，共四十九頁。思考8：如何求回歸方程？ 31第三十一頁，共四十九頁。整體上最接近 方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達一個使距

12、離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。32第三十二頁，共四十九頁。方案二: 在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側的點的個數基本相同。三、如何具體的求出這個回歸方程呢？33第三十三頁，共四十九頁。方案三: 在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數，將這兩個平均數作為回歸方程的斜率和截距。三、如何具體的求出這個回歸方程呢？34第三十四頁，共四十九頁。思考：這么多設計的數據處理方案中，有沒有較好的評價標準？ 回歸直線是過散點最多的直線 ？回歸直線是使上下點基本平均分布的直線 ？回歸直線是過兩個端點的直線 ？回歸直線是經過樣本中心的直線 ？回

13、歸直線是 -？35第三十五頁，共四十九頁。 求回歸方程的關鍵：如何用數學的方法來刻畫“從整體上看，各點與直線的距離最小”。 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線就叫做回歸直線。思考6：對一組具有線性相關關系的樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，設其回歸方程為 可以用哪些數量關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？ 36第三十六頁，共四十九頁?；貧w直線 實際上,求回歸直線的關鍵是如何用數學的方法來刻畫“從整體上看,各點到此直線的距離最小”.37第三十七頁，共四十九頁。38第三十八頁，共四十九頁。人們經過長期的實踐

14、與研究，已經找到了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式:y=ax+b39第三十九頁，共四十九頁。y=ax+b原理：各點到該直線的距離的平方和最小這一方法叫最小二乘法回歸直線特點：經過樣本中心點40第四十頁，共四十九頁。利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數據的回歸方程為 ，由此我們可以根據一個人年齡預測其體內脂肪含量的百分比的回歸值.若某人65歲，則其體內脂肪含量的百分比約為多少？ 37.1（0.57765-0.448= 37.1）41第四十一頁，共四十九頁。若某人65歲，可預測他體內脂肪含量在37.1附近的可能性比較大。能說他體內脂肪含量一定是37.1嗎？不能原因：線性回歸方程中的

15、截距和斜率都是通過樣本計算的，存在隨機誤差，這種誤差可以導致預測結果的偏差，即使截距斜率沒有誤差，也不可能百分百地保證對應于x，預報值Y能等于實際值y42第四十二頁，共四十九頁。例1：觀察兩相關變量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程解：設回歸方程為y=bx+a43第四十三頁，共四十九頁。小結：求線性回歸直線方程的步驟第一步：列表 ；第二步：計算 ；第三步：代入公式計算b,a的值；第四步：寫出直線方程。44第四十四頁，共四十九頁。用Excel求線性回歸方程，步驟如下:（1）進入Excel作出散點圖。（2）點擊“圖表”中的“添加趨勢線”，單擊“類型”中的“線性”，單擊“確定”，得到回歸方程。（選擇數據，“插入”散點圖，做好散點圖后，點擊圖中任何一個點將選中圖中散點，右鍵單擊彈出快捷菜單，選擇“添加趨勢線”即可。） （3）雙擊回歸直線，彈出“趨勢線格式”，單擊“選項”，選定“顯示公式”，最后單擊“確定”。45第四十五頁，共四十九頁。A46第四十六頁，共四十九頁。2、有關線性回歸的說法，不正確的是( ) A. 相關關系的兩個變量不是因果關系B. 散點圖能直觀地反映數據的相關程度C. 回歸直線最能代表線性相關的兩個變量之間的