1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知復數，若，則的值為（ ）A1BCD2設命題函數在上遞增，命題在中，下列為真命題的是（ ）A

2、BCD3一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（ ）ABCD4已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（ ）ABCD5已知向量，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（ ）A2B1CD06已知函數的定義域為，且，當時，.若，則函數在上的最大值為（ ）A4B6C3D87已知函數為奇函數，則（ ）AB1C2D38關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學每人隨機

3、寫下一個都小于的正實數對；再統計兩數能與構成鈍角三角形三邊的數對的個數；最后再根據統計數估計的值，那么可以估計的值約為（ ）ABCD9已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD10某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）ABCD211一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區別），任取球，記其中黑球數為，則為（ ）ABCD12為比較甲、乙兩名高二學生的數學素養，對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗（指標值

4、滿分為5分，分值高者為優），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖，則下面敘述正確的是（ ）A乙的數據分析素養優于甲B乙的數學建模素養優于數學抽象素養C甲的六大素養整體水平優于乙D甲的六大素養中數據分析最差二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為_.14函數的極大值為_.15已知（為虛數單位），則復數_16已知平面向量與的夾角為，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱柱中，底面為正方形，平

5、面（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值18（12分）在平面直角坐標系中，曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.19（12分）平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，點（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于點，曲線與曲線交于點，求的面積20（12分）設數列an的前n項和為Sn，且a1=1,an+1=2

6、Sn+1，數列bn滿足a1=b1，點P(bn,bn+1)在x-y+2=0上，nN*. （1）求數列an，bn的通項公式；（2）設cn=bnan，求數列cn的前n項和Tn21（12分）已知，均為正項數列，其前項和分別為，且，當，時，.（1）求數列，的通項公式；（2）設，求數列的前項和.22（10分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應的特征向量參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】由復數模的定義可得：，求解關于實數的方程可得：.本題選擇D選項.2C【解析】命題：函數在上單調遞減，即可判斷出真假命題：在中，利用余弦函數

7、單調性判斷出真假【詳解】解：命題：函數，所以，當時，即函數在上單調遞減，因此是假命題命題：在中，在上單調遞減，所以，是真命題則下列命題為真命題的是故選：C【點睛】本題考查了函數的單調性、正弦定理、三角形邊角大小關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題3B【解析】根據空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎題.4D【解析】設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，解得，因

8、此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.5B【解析】先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應用，是基礎題.6A【解析】根據所給函數解析式滿足的等量關系及指數冪運算，可得；利用定義可證明函數的單調性，由賦值法即可求得函數在上的最大值.【詳解】函數的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，則，即，故函數在上單調遞增，故，令，故，故函數在上的最大值為4.故選：A.【點睛】本題考查了指數冪的運算及化簡，利

9、用定義證明抽象函數的單調性，賦值法在抽象函數求值中的應用，屬于中檔題.7B【解析】根據整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數.而為奇函數，為偶函數，所以為偶函數，故，也即，化簡得，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查根據函數的奇偶性求參數值，屬于基礎題.8D【解析】由試驗結果知對01之間的均勻隨機數 ，滿足，面積為1，再計算構成鈍角三角形三邊的數對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值【詳解】解：根據題意知，名同學取對都小于的正實數對，即，對應區域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數能與構成鈍角三角形

10、三邊，則有，其面積；則有，解得故選：【點睛】本題考查線性規劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題. 線性規劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.9B【解析】由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，為的中點，.，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.10B【解析】首先

11、根據題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結果.【詳解】根據圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關特征求得結果.11A【解

12、析】由題意可知，隨機變量的可能取值有、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、，則，.因此，隨機變量的數學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.12C【解析】根據題目所給圖像，填寫好表格，由表格數據選出正確選項.【詳解】根據雷達圖得到如下數據：數學抽象邏輯推理數學建模直觀想象數學運算數據分析甲454545乙343354由數據可知選C.【點睛】本題考查統計問題，考查數據處理能力和應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據

13、是以為底邊的等腰三角形，得到 ，從而有，根據，得到，再利用導數法求的范圍.【詳解】設，由橢圓的定義得 ，由雙曲線的定義得，所以，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，即 ，因為，所以 ，因為，所以，所以，即，而，因為，所以在上遞增，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14【解析】對函數求導，根據函數單調性，即可容易求得函數的極大值.【詳解】依題意，得.所以當時，；當時，.所以當時，函數有極大值.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數研究函數的性質，考查運算求解能力以及化歸轉化思想，屬基礎題.15【解析】解：故答案為：【點睛】本題考查復

14、數代數形式的乘除運算，屬于基礎題.16【解析】根據已知求出，利用向量的運算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數量積運算，考查計算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）連接，設，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據線面平行判定定理可證得結論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用二面角的空間向量求法可求得結果.【詳解】（1）連接，設，連接，在四棱柱中，分別為的中點，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系設，四邊

15、形為正方形，則，設為平面的法向量，為平面的法向量，由得：，令，則，由得：，令，則，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關系的證明、空間向量法求解二面角的問題；關鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法，易錯點是求得法向量夾角余弦值后，未根據圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角，造成余弦值符號出現錯誤.18（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由消去參數，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）設為曲線上一點，點到曲線的圓心的距離，結合可得最值，的最大值為，從而得解.試題解析：（1）的普通方程為.曲線的極坐標方程為，曲線的普通方程為，即.（2）設為曲線上一點，則點到曲

16、線的圓心的距離 .，當時，d有最大值.又P，Q分別為曲線，曲線上動點，的最大值為.19（1）（2）【解析】(1)根據題意代入公式化簡即可得到.(2)聯立極坐標方程通過極坐標的幾何意義求解，再求點到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解：（1）曲線，即曲線的極坐標方程為直線的極坐標方程為，即，直線的直角坐標方程為（2）設，解得又，（舍去）點到直線的距離為，的面積為【點睛】此題考查參數方程，極坐標，直角坐標之間相互轉化，注意參數方程只能先轉化為直角坐標再轉化為極坐標，屬于較易題目.20（1）an=3n-1，bn=1+(n-1)2=2n-1（2）Tn=3-123n-2-2n-123n-1=3-n+

17、13n-1.【解析】（1）利用an與Sn的遞推關系可以an的通項公式；P點代入直線方程得bn+1-bn=2，可知數列bn是等差數列，用公式求解即可.(2)用錯位相減法求數列的和.【詳解】(1)由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n2)，兩式相減得an+1-an=2an，an+1=3an(n2)又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1故an是首項為1，公比為3的等比數列所以an=3n-1由點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上，所以bn+1-bn=2則數列bn是首項為1，公差為2的等差數列則bn=1+(n-1)2=2n-1(2)因為cn=bnan=2n-13n-1，所以Tn=1

18、30+331+532+2n-13n-1則13Tn=131+332+533+2n-33n-1+2n-13n，兩式相減得：23Tn=1+23+232+23n-1-2n-13n所以Tn=3-123n-2-2n-123n-1=3-n+13n-1【點睛】用遞推關系an=Sn-Sn-1(n2)求通項公式時注意n的取值范圍，所求結果要注意檢驗n=1的情況；由一個等差數列和一個等比數列的積組成的數列求和，常用錯位相減法求解.21（1），（2）【解析】（1），所，兩式相減，即可得到數列遞推關系求解通項公式，由，整理得，得到，即可求解通項公式；（2）由（1）可知，即可求得數列的前項和.【詳解】（1）因為，所，兩式相減，整理得，當時，解得，所以數列是首項和公比均為的等比數列，即，因為，整理得，又因為，所以，所以，即，因為，所以數列是以首項和公差均為1的等差數列，所以；（2）由（1）可知，即.【點睛】此題考查求數列的通項公式，以及數列求和，關鍵在于對題中所給