1、第 PAGE 5 頁 共 NUMPAGES 5 頁2013屆高三理科數學一輪復習15函數模型及其應用【考點解讀】函數模型及其應用：B級【復習目標】了解指數函數、對數函數、冪函數、簡單分段函數等函數模型的意義，并能進行簡單應用?；顒右唬夯A知識1常用的函數模型有： ，二次函數， ， ， ，冪函數。2指數函數、對數函數、冪函數的增長速度的比較：一般的，在區間上，盡管函數都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次上”。隨著x的增大，的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度會越來越慢，因此，總會存在一個，當時，有。3函數模型的應用實例的基本題型：（1）給定函數模型解決實

2、際問題；（2）建立確定性的函數模型解決問題；（3）建立擬合函數模型解決問題4函數建模的基本程序收集數據畫散點圖選擇函數模型求函數模型檢驗用函數模型解釋實際問題。5解應用題的一般程序（1）讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是基礎.（2）建：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型.熟悉基本數學模型，正確進行建“模”是關鍵的一關.（3）解：求解數學模型，得到數學結論.一要充分注意數學模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優化過程.（4）答：將數學結論還原給實際問題的結果.6解答數學應用題的關鍵兩點：（一）認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的

3、實際背景，然后進行科學的抽象、概括，將實際問題歸納為相應的數學問題；（二）要合理選取參變量，設定變元后，就要尋找它們之間的內在聯系，選用恰當的代數式表示問題中的關系，建立相應的函數、方程模型，最終求解數學模型使實際問題獲解?；顒佣夯A練習1某商場對顧客實行購物優惠活動，規定一次購物付款總額：如果不超過200元，則不予優惠，如果超過200元但不超過500元，則按標價給予9折優惠，如果超過500元，其500元按條給予優惠，超過500元的部分給予7折優惠.某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設他一次購買上述同樣的商品，則應付款 元。2某種細菌在培養過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩

4、個），經過3小時，這種細菌由1個可繁殖成 512 個。3圓柱軸截面的周長L為定值，那么圓柱體積的最大值是 () 。4將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應為 。5如圖，以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長為定值L，這塊場地的長為時，場地面積最大，最大面積是_.活動三：典型例題例1 通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設f(t)表示學生注意力隨時間t（分鐘）的

5、變化規律（f(t)越大，表明學生注意力越集中），經過實驗分析得知： （1）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？ （2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？ （3）一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？解：（1）當，是增函數，且；，是減函數，且.所以，講課開始10分鐘，學生的注意力最集中，能持續10分鐘.（2），故講課開始25分鐘時，學生的注意力比講課開始后5分鐘更集中.當時，；當，（3）令，則學生注意力在180以上所持續的時間28.574=24.572

6、4，所以，經過適當安排，老師可以在學生達到所需要的狀態下講授完這道題.例2 某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產100臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本），銷售收入R(x) 萬元滿足R(x)=.假定該產品銷售平衡，那么根據上述統計規律.（1）要使工廠有盈利，產品x應控制在什么范圍？（2）工廠生產多少臺產品時贏利最大？并求此時每臺產品的售價為多少？解：依題意，G（x)=x+2,設利潤函數為f(x),則（1）要使工廠有贏利，則有f(x)0.當0 x5時，有0.4x2+3.2x2.

7、80,得1x7,15時，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.綜上，要使工廠贏利，應滿足1x5時f(x)8.25=3.2所以當工廠生產400臺產品時，贏利最大，此時只須求x=4時，每臺產品售價為=2.4（萬元/百臺）=240（元/臺）.例3 某外商到一開放區投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.（1）若扣除投資及各種經費，則從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后，外商為開發新項目，有兩種處理方案：年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？解：由題意知，每年的經費是以12為

8、首項，4為公差的等差數列，設純利潤與年數的關系為 （1）純利潤就是要求 解得 知從第三年開始獲利 （2）年平均利潤當且僅當n=6時取等號. 故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時n=6， 當n=10時，. 故第種方案共獲利128+16=144（萬美元），故比較兩種方案，獲利都是144萬美元。但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第方案. 活動四：自主檢測1某學校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經工程技術人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為

9、445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設計這幢宿舍樓的樓高層數，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費用和征地費用之和）.解：設樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為，征地費用為元，樓層建筑費用為：，從而當且僅當時，總費用y最少故當這幢宿舍樓的樓高層數為20層時，最少總費用為1000A元。2（2004年普通高等學校春季招生考試數學試題（北京卷理工19）某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元.（1）當

10、一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？（2）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數的表達式；（3）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤實際出廠單價成本）解：()設每個零件的實際出廠價恰好降為51元，一次訂購量為x0個，則 因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元。()當0 x100時，P=60當100 x550時，當x550時，P=51所以()設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則當x=500時，L=6000；當x=1000時，L=11000

11、因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個，利潤是11000元。3隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現有職員人（140420，且為偶數），每人每年可創利萬元.據評估，在經營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數不得小于現有職員的，為獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？解 設裁員人，可獲得的經濟效益為萬元,則 =依題意 0.又140420, 70210.(1)當0,即70,即140210時， , 取到最大值; 綜上所述，當70140時，應裁員人；當140210時，應裁員人.4甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米時）的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元. 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米時）的函數，并指出函數的定義域； 為了使全程運輸成