1、第五章第五章 矩陣的相似與相合矩陣的相似與相合21. 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量3說明說明1. 0, . x 特特征征向向量量特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而言言的的一、特征值與特征向量的概念一、特征值與特征向量的概念 , , , , 1 .AnnxAxxAxA 設(shè)設(shè)是是階階矩矩陣陣如如果果數(shù)數(shù)和和維維非非零零列列向向量量使使關(guān)關(guān)系系式式成成立立那那末末這這樣樣的的數(shù)數(shù)稱稱為為方方陣陣的的非非零零向向量量稱稱為為的的特特征征定定義義對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的值值特特征征向向量量2. ,xA 若若向向量量是是的的對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特征征向向量量 (0) .

2、kx kA 則則也也是是的的對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特征征向向量量 且且 對對應(yīng)應(yīng)特特征征向向量量的的非非零零線線性性組組合合也也是是的的特特征征向向量量. .44. 0 IA 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 0 . nIAA稱稱以以為為未未知知數(shù)數(shù)的的一一元元次次方方程程方方陣陣的的特特征征方方程程為為 ( ), , .fIAnA記記它它是是的的次次方方陣陣的的特特征征多多式式稱稱其其為為項(xiàng)項(xiàng)式式多多項(xiàng)項(xiàng)3. , ()0 , 0 .nAIA xIAA 階階方方陣陣的的特特征征值值就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組有有非非零零解解的的值值即即滿滿足足方方程

3、程的的都都是是矩矩陣陣的的特特征征值值51101. 430 . 102A 例例求求的的特特征征值值和和所所有有的的特特征征向向量量 2 110430(2)(1) , 102AIA 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為123 2, 1. A所所以以的的特特征征值值為為1 2 , (2)0. IA x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解方方程程由由解解:63101002410010100000IA 10 0 , 1p 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系11 (0) 2 . kp k 所所以以是是對對應(yīng)應(yīng)于于的的全全部部特特征征向向量量23 1 , ()0. IA x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解方方程程由由210101420012 ,101000IA 72

4、1 2 , 1p 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系223 (0) 1 .kp k 所所以以是是對對應(yīng)應(yīng)于于的的全全部部特特征征向向量量82112. 020 , . 413AA 例例求求的的特特征征值值與與所所有有的的特特征征向向量量 211020413IA 2(1)(2) , 123 1, 2. A 得得的的特特征征值值為為1 1 , ()0. IA x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解方方程程由由解解: :9111111030010,414000IA 11 0 , 1p 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系1 1 故故對對應(yīng)應(yīng)于于的的全全體體特特征征向向量量為為1 (0). kpk 1 1 , ()0. IA x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解方方程程由由

5、1023 2 , (2)0. IA x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解方方程程由由4114112000000,411000IA 得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為：23011, 0 , 14pp 23 2 : 所所以以對對應(yīng)應(yīng)于于的的全全部部特特征征向向量量為為223323 (,0). k pk pkk 不不同同時(shí)時(shí)為為線性代數(shù)11 , .1. TAnAA設(shè)設(shè)是是階階方方陣陣 則則 與與的的特特征征性性值值相相同同質(zhì)質(zhì)( )TTAfIA ()TIA IA : .TnAA由由此此例例可可得得階階方方陣陣與與其其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置陣陣有有相相同同的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式和和特特征征值值二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性

6、質(zhì)( ).Af 1212 () ,2., ijnnAa 設(shè)設(shè)階階方方陣陣的的特特征征值值質(zhì)質(zhì)為為性性121122(1);nnnaaa 12(2).nA 則則有有A的主對角元的的主對角元的和稱為和稱為A的跡，的跡，記記tr(A) 0 nAA設(shè)設(shè)階階方方陣陣可可逆逆的的充充要要條條件件是是 不不是是 的的特特征征推推值值. .論論 13證證()() A AxAx ( (2 2) )22, A xx , mmmA xx （是是正正整整數(shù)數(shù)）11 , (1) , (2) ( )(3) (2)3. mmAAAAmm 若若是是的的特特征征值值則則當(dāng)當(dāng)可可逆逆時(shí)時(shí)是是的的特特征征值值；是是的的特特征征值值是

7、是任任意意正正整整數(shù)數(shù) ；結(jié)結(jié)論論對對為為任任意意負(fù)負(fù)整整性性質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)也也成成立立. .()Ax (), x Axx 由由可可得得111()(), AAxAxA x11, A xx (1) , 0, A 當(dāng)當(dāng)可可逆逆時(shí)時(shí)1=(), mmmAA(3)(3)當(dāng)當(dāng) 是是負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,1).mmmA因因此此(=(=是是的的特特征征值值14 , . ( )( )( ). AxA 一一般般地地，若若是是的的特特征征值值且且為為一一個(gè)個(gè)多多項(xiàng)項(xiàng)式式, , 則則為為的的特特征征值值注注2121 1,1,2, 2-4 2-4 . 3. AAAIAAI 例例已已知知三三階階方方陣陣 的的特特征征值值為為求

8、求的的特特征征值值及及. 解解212-4AAI 的的特特征征值值為為21( 1)2( 1)4=5 ，2112(1)4=1 21(2)2(2)4=1 212-4 =(-5)( 1) 15.AAI 故故2012( ),mmxaa xa xa x 其其中中2012( ).mmAa Ia Aa Aa A 11121222 1,2, , ppiiippiiAAAAAAAnAAAip 性性質(zhì)質(zhì)4 4( () )分分塊塊上上( () )三三角角陣陣= =為為 階階方方陣陣, ,則則所所有有特特征征值值恰恰為為 的的下下全全部部特特征征值值. .1612121212 , , ,1, . , , , . mmm

9、mAmpppppp 設(shè)設(shè)是是方方陣陣的的個(gè)個(gè)特特征征值值依依次次是是與與之之對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量如如果果各各不不相相等等則則線線性性無無關(guān)關(guān)定定理理注意注意1.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.2.2.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量矩陣矩陣-樹；特征值樹；特征值-樹枝；特征向量樹枝；特征向量-樹葉樹葉.它們的特征它們的特征個(gè)不同的特征值個(gè)不同的特征值有有證：設(shè)方陣證：設(shè)方陣,:21mmA 使使。現(xiàn)設(shè)有常數(shù)。現(xiàn)設(shè)有常數(shù)向量分別為向量分別為mmxxx

10、ppp,:2121 AmmOpxpxpx等式兩邊左乘等式兩邊左乘2211 OAOpxpxpxAmm)(2211OApxApxApxmm )()()(2211Opxpxpxmmm )()()(222111 AmmmOpxpxpx等式兩邊再左乘等式兩邊再左乘)()()(222111 AmmmOpxpxpx等式兩邊再左乘等式兩邊再左乘)()()(222221121 )1, 2 , 1()()()(222111 mkOpxpxpxmmkmkk 的形式：的形式：把上列各式合寫成矩陣把上列各式合寫成矩陣 ),(111),(11221112211OOOpxpxpxmmmmmmm 由范德蒙行列式由范德蒙行列式

11、各不相同各不相同因?yàn)橐驗(yàn)?, 2 , 1(mii ),(),(2211OOOpxpxpxmm 左式第二個(gè)矩陣可逆左式第二個(gè)矩陣可逆 OpmiOpxiii但特征向量但特征向量所以有：所以有：), 2 , 1(線性無關(guān)。線性無關(guān)。mipppmix,), 2 , 1(021 192. 矩陣的對角化矩陣的對角化20一、相似矩陣與相似變換的概念一、相似矩陣與相似變換的概念-1-1 , , , , , . , .1A BnPP APBBAABAP APAPAB 設(shè)設(shè)都都是是階階矩矩陣陣若若有有可可逆逆矩矩陣陣使使則則稱稱是是的的或或說說矩矩陣陣與與相相似似對對進(jìn)進(jìn)行行運(yùn)運(yùn)算算稱稱為為相相似似矩矩陣陣對對進(jìn)

12、進(jìn)行行可可逆逆矩矩陣陣稱稱為為把把變變相相似似變變換換相相似似變變成成的的定定換換矩矩陣陣義義21證明證明 , AB與與相相似似11()IBPI PP AP 1()PIA P 1PIA P .IA 1 , , PPAPB 存存在在可可逆逆陣陣使使得得 , , .1.nABABAB若若階階矩矩陣陣與與相相似似則則與與的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式相相同同從從而而與與的的特特定定反反征征值值亦亦相相同同之之不不真真理理證畢證畢注注: 這里這里A,B的特征向量未必相同的特征向量未必相同.1, (), AxxAP Pxx 若若則則11111()()(), ()().PAPPxPxB PxPx即即或或22(1

13、) , det( )det( ), ( )( ); ABABtr Atr B 與與相相似似則則11 (2) , , , ;ABABAB 若若與與相相似似 且且可可逆逆 則則也也可可逆逆且且與與相相似似 (3) , , ; ABkAkBk與與相相似似 則則與與相相似似為為常常數(shù)數(shù) (4) , ( ) , ( ) ( ) .ABf xf Af B若若與與相相似似 而而是是一一多多項(xiàng)項(xiàng)式式 則則與與相相似似注注111 ().mmmPPAPBBPAPPA P 因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng)矩矩陣陣 滿滿足足時(shí)時(shí)，2312n 12, , . nAn 相相似似則則即即是是的的個(gè)個(gè)特特征征值值 nA若若階階方方陣陣與與對對角

14、角陣陣推推論論1 (1) , , , .nAPP APA 對對階階方方陣陣若若可可找找到到可可逆逆矩矩陣陣使使得得為為對對角角陣陣這這就就稱稱為為方方陣陣注注對對角角化化把把 (2) . 并并非非所所有有方方陣陣都都可可以以對對角角化化24( )( ), |.tr Atr BAB 由由得得212,200100 22020 .3100abcabc 1,2(2)4.abab 0, 1.ab 解解得得1, 0.ab 或或200100. 22 0203100, , .AaBbca b 例例1 1 如如果果矩矩陣陣與與相相似似求求的的值值25證證1 , , PP AP 假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣使使為

15、為對對角角陣陣12 (,). nPPp pp 把把用用其其列列向向量量表表示示為為二、方陣可對角化的條件二、方陣可對角化的條件 ( ) 2 .nAAAn階階矩矩陣陣與與對對角角矩矩陣陣相相似似 即即能能對對角角化化 的的充充分分必必要要條條件件是是有有個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特定定征征向向量量理理26121212 (,)(,) nnnA p ppp pp 即即1122(,).nnppp 1212(,)(,) nnA p ppAp ApAp , (1,2, ). iiiAppin 于于是是有有1122(,).nnppp 1 , , P APAPP 由由得得27 , .iiiAPpA 可可見見是

16、是的的特特征征值值而而的的列列向向量量就就是是的的對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特征征向向量量12 , , . nPp pp 又又由由于于可可逆逆 所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)得證得證 , , , , .AnnnPAPP 反反之之由由于于恰恰好好有有個(gè)個(gè)特特征征值值并并可可對對應(yīng)應(yīng)地地求求得得個(gè)個(gè)特特征征向向量量這這個(gè)個(gè)特特征征向向量量即即可可構(gòu)構(gòu)成成矩矩陣陣使使28 , . nAnA如如果果階階矩矩陣陣的的個(gè)個(gè)特特征征值值互互不不相相等等則則與與對對角角陣陣相相似似推推論論 , , ; , . AnAnA如如果果的的特特征征方方程程有有重重根根此此時(shí)時(shí)不不一一定定有有個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特

17、征征向向量量從從而而不不一一定定能能對對角角化化但但如如果果能能找找到到個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量還還是是能能對對角角化化說說明明 ().iiiinAmsArIAns 若若 階階方方陣陣有有個(gè)個(gè)不不同同的的特特征征值值，且且特特征征值值 的的重重?cái)?shù)數(shù)為為 ， 則則 可可對對角角化化的的充充要要條條件件為為定定理理291104601. 350 , : ? 361 (1) , , . AAPP APA 例例設(shè)設(shè)問問能能否否對對角角化化若若能能對對角角化化 求求出出可可逆逆陣陣使使為為對對角角陣陣; ;( (2 2) ) 求求 460350361IA 2(1) (2) 123 1, 2

18、. A 所所以以的的全全部部特特征征值值為為3012 1 ()0 IA x 將將代代入入得得方方程程組組121212360,360,360.xxxxxx 解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系121 ,0 200 .1 3 2 ()0, IA x 將將代代入入得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系123 , . 由由于于線線性性無無關(guān)關(guān)所以所以 A 可對角化可對角化.311 ,1 31注意注意312120101 (,01,1) P 若若令令1100 001.020PAP 則則有有即矩陣即矩陣 P 的列向量和對角矩陣中特征值的位置要的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)相互對應(yīng)11 00 0 10 .0

19、 02P AP 則則有有1232 01 ( , ,)101 ,011P 令令11 00 0 10.0 02P AP 則則有有1232 01 ( , ,)101 ,011P 令令10101102 011 0011 0 1010 1012 10110 0 2120APP 1011101110112 22 201 21 201 2221 線性代數(shù)33定理定理1對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).三、實(shí)對稱矩陣的對角化三、實(shí)對稱矩陣的對角化定理定理1 1的意義的意義 , ()0, 0 , .iiiAIA xIA 由由于于對對稱稱矩矩陣陣的的特特征征值值為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)所所以以齊齊次次線線性性方方

20、程程組組是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程組組由由知知必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系從從而而對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可以以取取實(shí)實(shí)向向量量1)()()0(xxxxxAxxAxxxAx 則則證：設(shè)證：設(shè)),()()(AAAAAxAxxAxxAx 實(shí)對稱實(shí)對稱又又)()()()()()(是數(shù)是數(shù) xxxxxxxAxxxA 0)(0)2()1()2( xxxxxxxx 為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。 002xxx 是實(shí)系數(shù)方程是實(shí)系數(shù)方程皆為實(shí)數(shù)時(shí)皆為實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng)特征值當(dāng)特征值OxEAii)( 實(shí)實(shí)向向量量。所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 ,說明說明: : n n階方陣階方陣A

21、 A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有n n個(gè)特征值個(gè)特征值( (重根按重?cái)?shù)計(jì)算重根按重?cái)?shù)計(jì)算), ), 而而n n 階實(shí)階實(shí)對稱矩陣則有對稱矩陣則有n n個(gè)實(shí)特征值個(gè)實(shí)特征值( (重根按重?cái)?shù)計(jì)算重根按重?cái)?shù)計(jì)算) )線性代數(shù)3512121212 , , , , , 2 .Apppp 設(shè)設(shè)是是對對稱稱矩矩陣陣的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值是是對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量若若則則與與定定正正交交理理實(shí)對稱矩陣 A 的不同特征值的特征向量正交.即:,222111PAPPAP若21則1P與2P正交.APAPAPPP1111111)()( 21222121211PPPPAPPPP 0)(2121 PP 從而從而

22、。正交正交與與即即由于由于2121210,PPPP 1 , , , .3AnPPAPAn 定定設(shè)設(shè)為為階階對對稱稱矩矩陣陣則則必必有有正正交交矩矩陣陣使使其其中中是是以以的的個(gè)個(gè)特特征征值值為為對對角角元元素素的的對對角角矩矩陣陣?yán)砝矶ɡ碓O(shè) A 為 n 階對稱陣, 是 A 的特征方程的 r 重根,則特征向量所對應(yīng)的方程組：(A-I)X=0滿足：R(A-I)=n-r,從而方程組(A-I)X=0 的基礎(chǔ)解系中恰有 r 個(gè)解向量rPPP,21這 r 個(gè)線性無關(guān)向量就是的特征向量.(證略)ssrrrA,2121重重?cái)?shù)數(shù)依依次次為為的的特特征征值值為為證證：設(shè)設(shè) )(nrrrs21量，量，個(gè)線性無關(guān)的實(shí)

23、特征向個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征向恰有恰有對應(yīng)特征值對應(yīng)特征值isii), 2 , 1( 由由個(gè)個(gè)單單位位正正交交的的特特征征向向量量就就可可得得把把它它們們正正交交化化并并單單位位化化,ir.個(gè)這樣的特征向量共有nnrrrs21個(gè)個(gè)單單位位特特征征所所以以這這特特征征向向量量正正交交知知對對應(yīng)應(yīng)于于不不同同特特征征值值的的n,并并有有構(gòu)構(gòu)成成正正交交矩矩陣陣于于是是可可以以它它們們?yōu)闉榱辛邢蛳蛄苛肯蛳蛄苛績蓛蓛蓛烧唤?P里里面面可可的的特特征征值值為為。為為說說明明方方便便記記(,211nAAPP nPPP,),21：所所對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征列列向向量量為為能能有有相相同同的的),(),(),(

24、22112121nnnnPPPAPAPAPPPPA 。 APPAPPPPPnn12121),( AAAT1注：因?yàn)檎魂嚌M足PPAP 所以定理也可寫為：存在正交陣 使線性代數(shù)40利用正交矩陣將對稱矩陣?yán)谜痪仃噷ΨQ矩陣 A 化為對角矩陣化為對角矩陣, 五、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法五、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法(3) 將特征向量正交化將特征向量正交化, 單位化單位化;(4) 將第將第(3)步所得的向量構(gòu)成正交陣步所得的向量構(gòu)成正交陣 P, 即有即有 (2) ()0, ;iiIA xA 由由求求出出的的對對應(yīng)應(yīng)于于的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量(1) ; A求求的的

25、特特征征值值其具體步驟為其具體步驟為:1.P AP 線性代數(shù)4122021202IA (4)(1)(2) 0 123 4, 1, 2. 得得220212 . 020A 1. , , .PPAP 例例2 2 對對下下列列對對稱稱矩矩陣陣 試試求求正正交交矩矩陣陣使使為為對對角角陣陣(1) 第一步第一步 求求 A 的特征值的特征值線性代數(shù)42 ()0, 2iIA xA 第第二二步步 由由求求出出的的特特征征向向量量1 4, (4)0, IA x 對對由由得得1212323220,2320,240.xxxxxxx 解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系 122.1 2 1, ()0, IA x 對對由由得得121

26、32320,220,20.xxxxxx 解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系221.2 3 2, (2)0, IA x 對對由由得得1212323420,2320,220.xxxxxxx 解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系312 .2 線性代數(shù)43(3) (3) 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化, 單位化單位化123123 , 3 ,A 由由于于是是屬屬于于的的個(gè)個(gè)不不同同特特征征值值 , 1,2,3.iiii 令令1232,313 得得2231,323 3132.323 , .的的特特征征向向量量 故故它它們們必必兩兩兩兩正正交交122.1 221.2 312 .2 線性代數(shù)441232213332

27、12(,),333122333P 作作1400010.002P AP 則則(4) (4) 第四步第四步 將上述向量構(gòu)成正交陣將上述向量構(gòu)成正交陣?yán)? 教材教材P141 例例5.2.4線性代數(shù)453. 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型線性代數(shù)46一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念22212111222(,) nnnnf x xxa xa xa x 稱為稱為二次型二次型. .12 , 1nnx xx含含有有個(gè)個(gè)變變量量的的二二義義次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)定定 , ; ijaf復(fù)復(fù)二二當(dāng)當(dāng)是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)次次型型稱稱為為 , .ijaf當(dāng)當(dāng)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)稱稱為為實(shí)實(shí)二二次次型型12

28、1213131,1222nnnna x xa x xaxx線性代數(shù)47只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型2221122nnfk yk yk y 稱為二次型的稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形(或或法式法式).例如例如22212312313(,)2454;f x x xxxxx x 都為二次型都為二次型；222123123(,)44f x x xxxx 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. .123121323(,).f x x xx xx xx x 線性代數(shù)481. 用和號表示用和號表示22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x 對二次型對二次型 ,jiijaa 取取 2,i

29、jijijijjiija x xa x xa x x 則則于于是是2111121211nnfa xa x xa x x ,1. nijiji ja x x 2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xa x xa x 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法121213131,1222nnnna x xa x xaxx 線性代數(shù)49 , .Tfx AxA 則則二二次次型型可可記記作作其其中中為為對對稱稱矩矩陣陣11121112222212 , ,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax 記記1112111222221212(,)nnnnnnnnaaax

30、aaaxx xxaaax 22212111222(,) nnnnf x xxa xa xa x 121213131,1222nnnna x xa x xaxx2. 用矩陣表示用矩陣表示線性代數(shù)502221231223. 2346.fxxxx xx x 例例1 1寫寫出出二二次次型型的的矩矩陣陣A 123xxx123xxx120223 03 3 線性代數(shù)51三、二次型的矩陣及秩三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中在二次型的矩陣表示中, 任給一個(gè)二次型任給一個(gè)二次型, 就唯一地確定一個(gè)對稱矩陣就唯一地確定一個(gè)對稱矩陣; 反之反之, 任給一個(gè)對任給一個(gè)對稱矩陣稱矩陣, 也可唯一地確定一個(gè)二次型也

31、可唯一地確定一個(gè)二次型. 這樣這樣, 二二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系. ;Af對對稱稱矩矩陣陣叫叫做做二二次次型型的的矩矩陣陣 ;fA叫叫做做對對稱稱矩矩陣陣的的二二次次型型 .Af對對稱稱矩矩陣陣的的秩秩叫叫做做二二次次型型的的秩秩線性代數(shù)522221021?xxyy 在在平平面面上上表表示示什什么么曲曲線線四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形引例：引例：2222222222 731.xuvOxyOuvyuvvu坐坐標(biāo)標(biāo)系系逆逆時(shí)時(shí)針針( (2 2) )令令旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)4 45 5 得得坐坐標(biāo)標(biāo)系系得得 22521, , 2122u xy vyu

32、v ( (1 1) )令令 = = + +得得曲線為雙曲線！曲線為雙曲線！雙曲線？雙曲線？線性代數(shù)5311111221221122221122,.nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 設(shè)設(shè)四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型對于二次型, 我們討論的主要問題是我們討論的主要問題是: 尋求可逆的線性變換尋求可逆的線性變換, 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形. (),ijCc 記記則則上上述述可可逆逆線線性性變變換換可可記記作作.xCy Tfx Ax , Tfx Ax 將將其其代代入入有有() .TTyC AC y ()()TCyA Cy 線性

33、代數(shù)54說明說明2221122()TTnnyC AC yk yk yk y 2 , .fxCy 要要使使二二次次型型經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換變變成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形就就是是要要使使112212(,),nnnkykyyyyky .TC AC也也就就是是要要使使成成為為對對角角矩矩陣陣 1 , , ;T. xCyfABC AC 二二次次型型經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換后后其其秩秩不不變變但但的的矩矩陣陣由由變變?yōu)闉榫€性代數(shù)551 , , , . , TAPP APP AP 由由于于對對任任意意的的實(shí)實(shí)對對稱稱矩矩陣陣總總有有正正交交矩矩陣陣使使即即把把此此結(jié)結(jié)論論應(yīng)應(yīng)用用于于二二次次型型有有,1 2(), nij

34、ijijjii jfa x x aa 任任給給二二次次型型定定總總有有理理2221122,nnfyyy 12 , () .nijfAa 其其中中是是的的矩矩陣陣的的特特征征值值 , xPyf 正正交交變變換換使使化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形線性代數(shù)561. , ;Tfx AxA 將將二二次次型型寫寫成成矩矩陣陣形形式式求求出出122. ,;nA 求求出出的的所所有有特特征征值值123. ,;n 求求出出對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特征征向向量量1212124. , , , , , , (, , );nnnpppPppp 將將特特征征向向量量正正交交化化 單單位位化化 得得記記22211225. ,

35、.nnxPyffyyy 作作正正交交變變換換則則得得的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟線性代數(shù)571. 寫出對應(yīng)的二次型矩陣寫出對應(yīng)的二次型矩陣, 并求其特征值并求其特征值101011 ,112A 101011112IA (1)(3) 2221231231323. (,)222 ,.f xxxxxxx xx x 例例2 2用用正正交交變變換換把把下下列列二二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形并并寫寫出出所所用用的的正正交交變變換換矩矩陣陣從而得特征值從而得特征值1230, 1,3. 線性代數(shù)58從而得特征值從而得特征值1 0 ()0, IA x

36、將將代代入入得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系2. 求特征向量求特征向量2 1 ()0, IA x 將將代代入入得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系111;1 1230, 1,3. 211;0 2 3 ()0, IA x 將將代代入入得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系311 ;2 線性代數(shù)593. 將特征向量正交化將特征向量正交化111,1 211,0 3112 特征向量特征向量已是已是正交向量組正交向量組,4. 將正交向量組單位化將正交向量組單位化, 得正交矩陣得正交矩陣P1111p 131,313 2221p 121,20 線性代數(shù)604. 將正交向量組單位化將正交向量組單位化, 得正交矩陣得正交矩陣P1111p 131,313 2

37、221p 121,20 3331p 161,626 3112 線性代數(shù)614. 將正交向量組單位化將正交向量組單位化, 得正交矩陣得正交矩陣P1131,313p 2121,20p 3161,626p 得正交矩陣得正交矩陣111326111,32612036P 線性代數(shù)62于是所求正交變換為于是所求正交變換為112233111326111,32612036xyxyxy 此此時(shí)時(shí)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為,xPy 即即22233.fyy 線性代數(shù)63注意注意:1131,313p 2121,20p 3161,626p 若取正交矩陣若取正交矩陣111236111,23612036P 線性代數(shù)64則所求正交變換為

38、則所求正交變換為112233111236111,23612036xyxyxy 此此時(shí)時(shí)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為,xPy 即即22133.fyy 2.iPfy正正交交矩矩陣陣的的列列向向量量的的排排列列次次序序應(yīng)應(yīng)與與的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形中中前前的的系系數(shù)數(shù)對對應(yīng)應(yīng)注：注：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，如二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，如221212(,)9,f x xxx 11221,3xy xy令令得得221212(,).f yyyy線性代數(shù)66盡管一個(gè)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯盡管一個(gè)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的一的, 但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的, 項(xiàng)項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩數(shù)等于

39、二次型的秩.下面我們限定所用的變換為實(shí)變換下面我們限定所用的變換為實(shí)變換, 來來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì).慣性定理慣性定理線性代數(shù)6722211222221 12211 , , (0), (0), ,1, , ()Trrirrirrfx AxrxCyxPzfk yk yk ykfzzzkk 設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型它它的的秩秩為為有有兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)的的可可逆逆變變換換及及使使及及則則中中正正定定理理慣慣性性()()數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)與與中中正正定定理理負(fù)負(fù)( (負(fù)負(fù)) )數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)相相等等. .線性代數(shù)68222416fxyz 為為正定二次型正定二次型2212

40、3fxx 為為負(fù)定二次型負(fù)定二次型 ( ), 0, ( )0 ( (0)0), , ; 0 ( )0, , 1 .Tf xx Axxf xffAxf xfA 設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型如如果果對對任任何何都都有有顯顯然然則則稱稱為為正正定定二二次次型型并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣是是正正定定的的如如果果對對任任何何都都有有則則稱稱為為負(fù)負(fù)定定二二次次型型定定并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣是是負(fù)負(fù)定定的的義義例如例如正（負(fù)）定二次型的概念正（負(fù)）定二次型的概念線性代數(shù)69證證 , xCy 設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換使使21( )().niiif xf Cyk y 充分性充分性 0 (1, ).ikin 設(shè)設(shè)0,x

41、 任任給給10,yC x 則則21( )0.niiif xk y : 2 .Tfx Axn 實(shí)實(shí)二二次次型型為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件是是它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形的的個(gè)個(gè)定定系系數(shù)數(shù)全全為為正正理理必要性必要性 0,sk 假假設(shè)設(shè)有有 () ,sye 則則當(dāng)當(dāng)單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量時(shí)時(shí)()0.ssf Cek 0,sCe 顯顯然然.f這這與與為為正正定定相相矛矛盾盾故故0(1, ).ikin 正（負(fù)）定二次型的判定正（負(fù)）定二次型的判定線性代數(shù)70推論推論 對稱矩陣對稱矩陣 為正定的充分必要條件為正定的充分必要條件是是: 的特征值全為正的特征值全為正.AA線性代數(shù)71110,a 111221220,aaaa ,11110;nnnnaaaa 1111( 1)0,(1,2, ).rrrrraarnaa 這個(gè)定理稱為這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理霍爾維茨定理.對稱矩陣對稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是為負(fù)定的充分必要