1、題 目 據報導，2003年全國道路交通事故死亡人數為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當大的比例。 針對這種嚴重的道路交通情況，國家質量監督檢驗檢疫局2004年5月31日發布了新的車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗國家標準，新標準規定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克百毫升）。 大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次

2、遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結果會不一樣呢？第1頁/共36頁問 題1. 對大李碰到的情況做出解釋；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答： 1)酒是在很短時間內喝的； 2)酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。3. 怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。4. 根據你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？第2頁/共36頁參考數據1. 人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2. 體重約70kg的某人在短時間內喝

3、下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數據如下： 時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516酒精含量3835282518151210774第3頁/共36頁假 設1.假設喝啤酒后，啤酒中的酒精全部進入胃腸（含肝臟），然后經過胃腸滲透到體液。2.假設酒精從胃腸向體液的轉移速度，與胃腸中的酒精濃度（或含量）成正比。3.假設體液中的酒精消耗（向外排出、分解或吸收）的速度，與體液中的酒精濃度（或含量）成正比。4.對問題一，假設大李在下午6點接受檢查

4、，之后由于停車、等待等原因耽誤了一定時間T0（這里不妨設T0=0.5小時），即大李第一次檢驗到第二次喝酒之間間隔為半小時。5.對問題一，假設大李在兩次喝酒時都是將酒瞬時喝下去并立即進入胃腸中，沒有時間耽擱。6.假設酒在很短時間內喝完即將酒瞬時喝下去并立即進入胃腸中，沒有時間耽擱。7.假設酒在較長一段時間內喝時是勻速喝下去。8.假設體液的密度為1千克/升.第4頁/共36頁 一個人血中酒精含量取決于他的飲酒量、體內原有的酒精含量以及喝酒方式等。有科普知識知道，酒精是經胃腸（主要是肝臟）的吸收與分解進入體液的，酒精從胃腸（含肝臟）向體液轉移情況如圖所示： f(t) k12 k21 k11 胃 腸 體

5、液圖圖1 返回 返回 第5頁/共36頁符號說明:k11：酒精從胃腸滲透到（除體液外）其它地方的速率系數;k12：酒精從胃腸進入體液的速率系數；k21：酒精在體液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系數；f(t):酒精進入胃腸的速率；x：胃腸中的酒精含量；y：體液中的酒精含量；a：每瓶酒中的酒精含量；N：飲酒的瓶數；V： 人體體液的體積；t ： 時間；第6頁/共36頁對問題一建立模型及求解一：建立模型 根據假設的條件及圖1可以看出：x1(t)的變化率由從胃腸進入體液的酒精-k11x1和從胃腸滲透到（除體液外）其它地方的酒精-k12x1組成；y1(t)的變化率是由從胃腸進入體液的酒精k12x1與體

6、液中消耗（向外排出、分解或吸收）的酒精-k21y1組成。所以，可以建立以下微分方程： ykxkyxkxkx12111211121111 (1)返回 如圖第7頁/共36頁 1）大李在中午12點喝一瓶啤酒時，即在t=0時胃腸中的酒精量x1（0）為一瓶酒中的酒精a與飲酒瓶數N的乘積，而此時體液中的酒精量y1(0)為零，所以初始條件為：體液中酒精濃度為：求出N=1時 的值，判斷c(6)20是否成立 VttCy)()(1VCy) 6() 6(1 (3)返回0)0()0(11yxNa (2)第8頁/共36頁2）大李第二次喝酒時胃腸和體液中已經有酒精，所以在第二次喝酒即t=0時胃腸中的酒精量x2(0)為N瓶

7、酒中的酒精質量Na與第一次喝酒后殘留在胃腸中的酒精質量x1（T1)之和，而此時體液中的酒精質量y1(0)為第一次喝酒后殘留在體液中的酒精質量y1(T1)。因此大李第二次喝酒的模型如下：根據題意判斷 是否成立。VttCaNyTyyTxxykxkyxkxkx)()()()0()()0(21121122212122212211220)14()14(121VCTyT第9頁/共36頁 二.對問題一求解 微分方程： （4）是可分離變量的微分方程，（5）是一階線性非齊次微分方程，通過求解，得出它滿足初始條件 ： -（4） -（5）ykxkyxkxkx12111211121111 0)0()0(11yxNa第

8、10頁/共36頁上述方程的特解為： ， 令 ， ， ， extkkNa)(11211)(211211)(211211121eekkkkyttkkkNa ka12kk1211k21exatNa1)(1eeyttN第11頁/共36頁 根據題目所給的飲兩瓶酒的數據，此時N=2，據高斯-牛頓算法可得： ， ， 利用非線性最小二乘法擬合見圖2. 180. 21755. 054468 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 圖圖2 第12頁/共36頁 將以上數據代入問題一的模型中，可求得大李在中午12點飲一瓶啤酒，即N=1時，到下午6點第一次檢查

9、時體液中的酒精含量(即血液中的酒精含量)： ,所以大李通過 第一次檢查。 大李第二次喝酒模型的方程解為： , eextTaN)1 (12)1 ()1(112eeeeyttTTN209616.19)6()6(1VCy第13頁/共36頁 考慮到大李在下午6點接受檢查，之后由于停車等待等原因耽誤了一定時間，假設大李從第一次檢驗到第二次喝酒之間間隔05小時，代入數據計算可得第二次檢驗時，大李血液中酒精含量為：202448(毫克百毫升)。這就解釋了大李在第一次喝酒通過檢查，第二次喝同樣的酒且經過更長的時間檢查卻被定為飲酒駕車的情況，因為第二次喝酒時有第一次喝酒的殘留量。第14頁/共36頁問題二在喝了3瓶

10、啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下答：1）酒是在很短時間內喝的 短時間內喝下的模型，已在問題一中得到求解，即向上述兩式中代入具體數據得喝三瓶啤酒需12.25小時，半斤白酒需13.6小時內駕車就會違反新標準。)(1eeyttN20)()(1VttCy第15頁/共36頁問題二 :(2) 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答： 酒是在較長一段時間（比如2小時）內喝的。 問題二（2）的分析： 對于第二問，x(t)的變化率由從胃腸進入體液的酒精 k12x，從胃腸滲透到(除體液外)其它地方的酒精-k11x以及酒精進入胃腸的速率f(

11、t)組成。y(t)的變化率由從胃腸進入體液的酒精k12x與在體液中消耗(向外排出、分解或吸收)的酒精-k21y組成。在飲酒期間(0tT). 假設酒精進入胃腸的速度是勻速的，則酒精進入胃腸的速率為f(t)=Na/T，飲酒后，無酒精進入胃腸，所以f(t)=0，因此，建立微分方程模型如下： 如圖第16頁/共36頁 因在t=0時胃腸中的酒精質量 x(0)和體液中的酒精質量 y(0)都為零。 故初始條件為 體液(或血液)中酒精的濃度為： 問題二即求滿足 f(t)20的時間t范圍)(0)0()(,)( )()( 21121211TtTtTNatfykxktytfxkxktx其中0)0(0)0(yxVtyt

12、C)()(第17頁/共36頁 在一個較長時間內喝下的微分方程中，f(t)是個分段函數，所以需要分段求解，我們將其轉化為兩個微分方程：)6( ,00)0(0)0()( /)( 11121112112111TtyxykxktyTNaxkxktx第18頁/共36頁 微分方程組(6)的解為： 微分方程組(7)的解為：)11(),1(11tttteeeTNyeTaNx)7( ,)()0()()0()( )( 121222121222122112TyyTxxykxktyxkxktx)()()(,)(1211212tttteekTxeTyyeTyx第19頁/共36頁再代入具體參數值進行計算可得多少時間內駕車

13、違反新規定，列表如下：3瓶啤酒(500ml，5。) 半斤白酒(38。)短時問內喝完1225小時136小時2小時內喝完1328小時1463小時第20頁/共36頁問題三：怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高 ? 問題三分為兩種情況：第一種情況是酒在很短的時間內喝的，第二種情況是酒在較長一段時間內喝的。 第一種情況：酒在很短的時間內喝的，要求血液中酒精含量最高的時間，即求體液中酒精含量函數 y(t)的最值點。用極值與最值的關系，因最值存在，且駐點唯一，故可通過求解駐點得到。即求滿足y(t)=0的時間t。其中 y(t)滿足以下微分方程(1)及初始條件(2)，(3)。初始條件（2）（3）方程（1）第2

14、1頁/共36頁第一種情況是酒在很短的時間內喝下的，在問題一中已經求得結果：)(tteeNy第22頁/共36頁 令y=0，可得 可見無論喝多少酒，體液中酒精的含量達到最高所用的時間均為1.3255小時lnlnt圖像3曲線分別表示喝1瓶、2瓶。5瓶啤酒體液中酒精的含量走勢圖246128141016108967105432109108910789105789106578910465789103465789102346578910123465789100123465789102012346578910420123465789106420123465789108642012346578910108642

15、012346578910121086420123465789141210864201234657891614121086420123465789 第23頁/共36頁問題三 估計血液中酒精含量什么時間內最高第一種情況：酒是在很短的時間內喝完的第二種情況：酒是在很長的一段時間內喝完的酒精在人體內的代謝圖第24頁/共36頁酒精進入人體后的代謝情況、酒精進入人體后的代謝情況、 f(t) k12 k21 k11 問題四問題四問題三問題三 胃腸 體液第25頁/共36頁 yxtytfxxtxkkkk12121211其中 TtTtTNatf00初始條件為： x(0)=0，y(0)=0 返回第26頁/共36頁模

16、型三求解：酒是在較長的時間內喝的，體液中酒精含量的表達式為分段函數。0tTeettNaTNatx1Tt tyNaeTTNa1第27頁/共36頁酒精含量在什么時間內最高？則0 y喝酒的時間Ti（i=1,2、8）喝酒所用時間（小時）酒精含量達到最高點時間11.913922.651033.483544.371355.291766.232977.088088.1530第28頁/共36頁t1234567800.20.40.60.81.01.21.41.61.8c圖中點組成的圖形表示持續喝酒時體液中酒精含量的變化，曲線表示喝完酒后體液中酒精含量的變化第29頁/共36頁問題四：如果天天喝酒，是否還能繼續開車設：每天喝酒N瓶，第i次飲酒與第i+1次飲酒的時間間隔為Ti？與問題一相似！ 0001112111211121111yxykxkyxkxkxNatt返回第30頁/共36頁第二天體液中酒精含量的微分方程 TyyTxxykxkyxkxkxaNatt11